Mit Google fortfahren
Konstruieren mit Zirkel und Lineal einfach erklärt
Beim Konstruieren erzeugst du geometrische Figuren nach festen Regeln. Der Zirkel zeichnet Kreise und überträgt Längen. Das unmarkierte Lineal zeichnet Geraden, misst aber keine Strecken.
Du lernst hier, eine Mittelsenkrechte als Grundbaustein zu konstruieren, damit einen Kreis durch drei Punkte zu zeichnen und die Konstruktion zu begründen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was darfst du mit Zirkel und Lineal tun?
Bei einer klassischen Konstruktion verwendest du ein unmarkiertes Lineal. Eine aufgedruckte Skala darfst du nicht zum Messen benutzen.
Erlaubt sind insbesondere diese Handlungen:
- Zeichne eine Gerade durch zwei verschiedene gegebene Punkte.
- Verbinde zwei Punkte durch eine Strecke.
- Zeichne einen Kreis mit gegebenem Mittelpunkt durch einen zweiten Punkt.
- Übernimm eine vorhandene Länge in die Zirkelöffnung und trage sie an anderer Stelle ab.
- Markiere Schnittpunkte von Geraden, Strecken und Kreislinien.
Die mathematische Konstruktion ist exakt. Deine Zeichnung auf Papier bleibt jedoch eine möglichst sorgfältige Annäherung an diese ideale Konstruktion.
Grundkonstruktion
Eine Grundkonstruktion ist eine kurze, häufig benötigte Schrittfolge. Du kannst sie später wie einen fertigen Baustein in umfangreicheren Konstruktionen verwenden.
Wie konstruierst du eine Mittelsenkrechte?
Die Mittelsenkrechte einer Strecke steht senkrecht auf der Strecke und verläuft durch deren Mittelpunkt. Jeder Punkt auf ihr hat zu beiden Endpunkten den gleichen Abstand.
Gegeben ist die Strecke $AB$.
- Stich den Zirkel in $A$ ein und zeichne einen Kreis durch $B$.
- Behalte die Zirkelöffnung bei. Zeichne um $B$ einen Kreis durch $A$.
- Markiere die beiden Schnittpunkte der Kreise als $C$ und $D$.
- Zeichne mit dem Lineal die Gerade durch $C$ und $D$.
- Markiere ihren Schnittpunkt mit $AB$ als $M$.
Die Gerade $CD$ ist die Mittelsenkrechte von $AB$; $M$ ist der Mittelpunkt.
Warum stimmt das? Weil $C$ auf beiden Kreisen liegt, gilt $CA=CB$. Ebenso gilt $DA=DB$. Die Punkte $C$ und $D$ sind also von $A$ und $B$ gleich weit entfernt. Ihre Verbindungsgerade ist deshalb die Mittelsenkrechte.
Gleicher Radius um beide Endpunkte erzeugt zwei Punkte mit gleichem Abstand zu den Endpunkten. Ihre Verbindungsgerade ist die Mittelsenkrechte.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die beiden Kreise haben die Endpunkte $A$ und $B$ als . Ihre Zirkelöffnung bleibt . Die Gerade durch die beiden Kreisschnittpunkte steht auf $AB$. Ihr Schnittpunkt mit $AB$ ist der der Strecke.
Wie entsteht ein Kreis durch drei Punkte?
Durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, verläuft genau ein Kreis. Sein Mittelpunkt muss von allen drei Punkten gleich weit entfernt sein.
Gegeben sind die nicht auf einer Geraden liegenden Punkte $A$, $B$ und $C$.
- Zeichne die Strecken $AB$ und $BC$.
- Konstruiere die Mittelsenkrechte von $AB$.
- Konstruiere die Mittelsenkrechte von $BC$.
- Markiere ihren Schnittpunkt als $F$.
- Zeichne den Kreis mit Mittelpunkt $F$ durch $A$.
Durchführbarkeit: Weil $A$, $B$ und $C$ nicht auf einer Geraden liegen, schneiden sich die beiden Mittelsenkrechten in einem Punkt.
Richtigkeit: $F$ liegt auf der Mittelsenkrechten von $AB$, also gilt $FA=FB$. Zugleich liegt $F$ auf der Mittelsenkrechten von $BC$, also gilt $FB=FC$. Damit ist $FA=FB=FC$. Der Kreis um $F$ durch $A$ verläuft deshalb auch durch $B$ und $C$.
Liegen $A$, $B$ und $C$ auf einer Geraden, schneiden sich die benötigten Mittelsenkrechten nicht. Dann gibt es keinen Kreis durch alle drei Punkte. Die Bedingung „nicht auf einer Geraden“ ist daher notwendig.
Wie beschreibst und prüfst du eine Konstruktion?
Eine fertige Zeichnung zeigt nicht zuverlässig, in welcher Reihenfolge sie entstanden ist. Eine vollständige Lösung hält deshalb den Konstruktionsweg fest.
Prüfe vier Teile:
- Ausgangslage: Welche Punkte, Geraden, Kreise und Bedingungen sind gegeben?
- Ziel: Welches Objekt soll entstehen und welche Eigenschaften muss es besitzen?
- Konstruktionsbeschreibung: Welche erlaubten Schritte führst du in welcher Reihenfolge aus?
- Prüfung: Ist jeder Schritt ausführbar, und warum erfüllt das Ergebnis alle geforderten Eigenschaften?
Beim Kreis durch drei Punkte lautet die entscheidende Bedingung: Die Punkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen. Der entscheidende Richtigkeitsnachweis lautet: Der gefundene Mittelpunkt hat zu allen drei Punkten denselben Abstand.
Wo liegen die Grenzen der Werkzeuge?
Mit Zirkel und unmarkiertem Lineal lassen sich viele, aber nicht alle geometrischen Aufgaben exakt lösen. Möglich sind unter anderem Konstruktionen, die auf den Grundrechenarten und wiederholtem Quadratwurzelziehen beruhen.
Nicht allgemein möglich sind beispielsweise:
- die Dreiteilung eines beliebigen Winkels,
- die Verdopplung eines Würfelvolumens,
- die Konstruktion eines flächengleichen Quadrats zu einem gegebenen Kreis.
Auch bei regelmäßigen Vielecken hängt die Konstruierbarkeit von der Eckenzahl ab. Das regelmäßige 17-Eck ist zum Beispiel konstruierbar; eine pauschale Aussage über alle regelmäßigen Vielecke wäre falsch.
Nicht konstruierbar
Nicht konstruierbar bedeutet hier: Unter den klassischen Regeln ist keine endliche, exakte Konstruktion mit Zirkel und unmarkiertem Lineal möglich. Mit zusätzlichen Werkzeugen oder als Näherung kann eine Aufgabe trotzdem lösbar sein.
Die Würfelverdopplung führt bei gegebener Kantenlänge auf die Kubikwurzel aus $2$, also auf $x^3=2$. Diese Länge entsteht nicht durch eine endliche Folge der klassischen Rechenoperationen und Quadratwurzeln. Darum ist die allgemeine Aufgabe mit Zirkel und Lineal nicht exakt lösbar.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Konstruieren mit Zirkel und Lineal
- Werkzeugregeln: Geraden zeichnen, Kreise zeichnen, Längen übertragen, Schnittpunkte markieren
- Grundbaustein: Mittelsenkrechte durch zwei gleich große Kreise
- Anwendung: Kreis durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte
- Prüfung: Bedingungen, Durchführbarkeit und Richtigkeit begründen
- Grenze: Nicht jede geometrische Aufgabe ist unter den klassischen Regeln exakt lösbar
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Abschlussfragen begründen kannst, beherrschst du nicht nur die Zeichenschritte: Du kannst auch erklären, warum die Konstruktion funktioniert und wann sie möglich ist.