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Kongruenzsätze: Dreiecke erkennen und konstruieren
Kongruenzsätze zeigen dir, welche Angaben ein Dreieck eindeutig festlegen. Stimmen die passenden Angaben bei zwei Dreiecken überein, sind die Dreiecke kongruent – also deckungsgleich. Verschieben, Drehen oder Spiegeln ändert daran nichts.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wann sind Dreiecke kongruent?
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie dieselbe Form und dieselbe Größe haben. Du könntest eines ausschneiden und durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln genau auf das andere legen.
Kongruenz
Kongruente Dreiecke sind deckungsgleich. Entsprechende Seiten sind gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß.
Für kongruente Dreiecke $ABC$ und $DEF$ schreibt man:
$$ABC \cong DEF$$
Die Reihenfolge der Buchstaben zeigt die Zuordnung: $A$ entspricht $D$, $B$ entspricht $E$ und $C$ entspricht $F$.
Die Lage eines Dreiecks auf dem Blatt ist unwichtig. Entscheidend sind Form, Größe und die richtige Zuordnung der Seiten und Winkel.
Welche vier Kongruenzsätze gibt es?
In den Abkürzungen steht S für Seite und W für Winkel. Die Reihenfolge verrät, wie die bekannten Größen liegen.
SSS – drei Seiten
Stimmen alle drei entsprechenden Seitenlängen überein, sind die Dreiecke kongruent.
Ein Dreieck besitzt Seiten von $7\,\text{cm}$, $5\,\text{cm}$ und $3\,\text{cm}$. Ein zweites Dreieck hat dieselben drei Seitenlängen. Beide Dreiecke sind nach SSS kongruent.
SWS – Seite, Winkel, Seite
Stimmen zwei entsprechende Seiten und der eingeschlossene Winkel überein, gilt SWS. Eingeschlossen bedeutet: Der Winkel liegt zwischen den beiden bekannten Seiten.
In beiden Dreiecken sind zwei Seiten $4\,\text{cm}$ und $5\,\text{cm}$ lang. Der Winkel zwischen ihnen beträgt jeweils $30^\circ$. Damit gilt SWS.
WSW – Winkel, Seite, Winkel
Stimmen eine Seite und die beiden an ihren Endpunkten anliegenden Winkel überein, gilt WSW. Sind ein anliegender und ein gegenüberliegender Winkel gegeben, lässt sich der dritte Winkel mit der Winkelsumme bestimmen. Die Zuordnung der Seite zu den Winkeln muss dabei bekannt sein.
Eine Seite ist $5\,\text{cm}$ lang. An ihren Endpunkten liegen Winkel von $30^\circ$ und $70^\circ$. Das Dreieck ist nach WSW eindeutig festgelegt. Der dritte Winkel beträgt $180^\circ-30^\circ-70^\circ=80^\circ$.
SsW – zwei Seiten und ein Gegenwinkel
Stimmen zwei Seiten und ein Winkel überein, gilt der Kongruenzsatz nur sicher, wenn der Winkel der längeren der beiden bekannten Seiten gegenüberliegt. Das große S in SsW erinnert an die längere Seite.
Gegeben sind Seiten von $6\,\text{cm}$ und $3\,\text{cm}$. Der Winkel $40^\circ$ liegt der Seite mit $6\,\text{cm}$ gegenüber. Das Dreieck ist nach SsW eindeutig festgelegt.
Wie wählst du den richtigen Satz?
Markiere zuerst alle bekannten Größen in einer Planfigur. Prüfe danach nicht nur ihre Anzahl, sondern auch ihre Lage.
- Drei Seiten bekannt: Prüfe SSS.
- Zwei Seiten und ein Winkel bekannt: Liegt der Winkel zwischen den Seiten, prüfe SWS.
- Zwei Winkel und eine zugeordnete Seite bekannt: Prüfe WSW oder bestimme zuerst den dritten Winkel.
- Zwei Seiten und ein Gegenwinkel bekannt: Prüfe, ob der Winkel der längeren bekannten Seite gegenüberliegt. Nur dann gilt SsW sicher.
Zwei gleiche Winkel allein beweisen keine Kongruenz. Dreiecke können dieselben Winkel, aber unterschiedlich lange Seiten besitzen. Dann haben sie dieselbe Form, jedoch nicht zwingend dieselbe Größe.
Zähle nicht nur S und W. Prüfe immer, wo der Winkel und die Seite liegen.
Existiert das Dreieck überhaupt?
Ein Kongruenzsatz beantwortet die Frage nach der Eindeutigkeit. Vorher musst du prüfen, ob die Angaben überhaupt ein Dreieck zulassen.
Drei Seiten prüfen
Bei drei Seiten gilt die Dreiecksungleichung: Die Summe der beiden kürzeren Seiten muss größer als die längste Seite sein.
Gegeben sind $20\,\text{mm}$, $0{,}3\,\text{dm}$ und $8\,\text{cm}$.
Zuerst rechnest du in Zentimeter um:
- $20\,\text{mm}=2\,\text{cm}$
- $0{,}3\,\text{dm}=3\,\text{cm}$
Nun vergleichst du:
$$2\,\text{cm}+3\,\text{cm}<8\,\text{cm}$$
Die beiden kürzeren Seiten reichen nicht bis zu einem Schnittpunkt. Ein solches Dreieck existiert nicht.
Zwei Winkel prüfen
Die Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen $180^\circ$. Sind zwei Winkel gegeben, muss ihre Summe kleiner als $180^\circ$ sein.
Für $65^\circ$ und $45^\circ$ bleibt als dritter Winkel:
$$180^\circ-65^\circ-45^\circ=70^\circ$$
Alle drei Winkel sind positiv. Die Winkelangaben sind daher möglich.
Wie konstruierst du ein Dreieck?
Beginne mit einer Planfigur. Sie muss nicht maßstabsgetreu sein, zeigt aber die Namen der Eckpunkte sowie die gegebenen Seiten und Winkel. Danach wählst du eine günstige Grundseite.
Vollständiges SSS-Beispiel
Gegeben sind $c=7\,\text{cm}$, $b=4{,}5\,\text{cm}$ und $a=6\,\text{cm}$.
- Zeichne $AB=c=7\,\text{cm}$.
- Zeichne um $A$ einen Kreisbogen mit Radius $b=4{,}5\,\text{cm}$.
- Zeichne um $B$ einen Kreisbogen mit Radius $a=6\,\text{cm}$.
- Nenne einen Schnittpunkt der Kreisbögen $C$.
- Verbinde $C$ mit $A$ und $B$.
Die drei Seiten legen das Dreieck nach SSS fest. Ein Schnittpunkt auf der anderen Seite von $AB$ liefert lediglich ein gespiegeltes und damit kongruentes Dreieck.
Vollständiges SWS-Beispiel
Gegeben sind $b=5\,\text{cm}$, $c=8\,\text{cm}$ und $\alpha=65^\circ$.
- Zeichne $AB=c=8\,\text{cm}$.
- Trage in $A$ den Winkel $\alpha=65^\circ$ an.
- Zeichne um $A$ einen Kreisbogen mit Radius $b=5\,\text{cm}$.
- Der Schnittpunkt mit dem freien Winkelschenkel ist $C$.
- Verbinde $C$ mit $B$.
Der Winkel $\alpha$ liegt zwischen den Seiten $b$ und $c$. Deshalb ist dies eine SWS-Konstruktion.
WSW-Konstruktion planen
Gegeben seien $b=5\,\text{cm}$, $\alpha=60^\circ$ und $\gamma=45^\circ$.
- Zeichne $AC=b=5\,\text{cm}$.
- Trage in $A$ den Winkel $\alpha=60^\circ$ an.
- Trage in $C$ den Winkel $\gamma=45^\circ$ an.
- Der Schnittpunkt der beiden freien Strahlen ist $B$.
Wie begründest du Kongruenz?
Bei einer Kongruenzbegründung gehst du in drei Schritten vor:
- Ordne die Eckpunkte, Seiten und Winkel einander zu.
- Nenne die übereinstimmenden Angaben und prüfe ihre Lage.
- Nenne den passenden Kongruenzsatz. Danach darfst du auf die Gleichheit weiterer entsprechender Seiten und Winkel schließen.
Für die Dreiecke $ABC$ und $DEF$ gilt:
- $AB=DE$
- $AC=DF$
- $\angle BAC=\angle EDF$
Die genannten Winkel liegen jeweils zwischen den beiden genannten Seiten. Daher sind die Dreiecke nach SWS kongruent:
$$ABC \cong DEF$$
Nun darfst du zum Beispiel folgern, dass die entsprechenden Seiten $BC$ und $EF$ gleich lang sind.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kongruenzsätze
- Bedeutung
- gleiche Form und Größe
- Lage und Spiegelung unwichtig
- Eindeutige Angaben
- SSS: drei Seiten
- SWS: eingeschlossener Winkel
- WSW: zugeordnete Seite und zwei Winkel
- SsW: Winkel gegenüber längerer Seite
- Vorprüfung
- Dreiecksungleichung
- Winkelsumme kleiner als 180 Grad
- Anwendung
- Planfigur erstellen
- Dreieck konstruieren
- Kongruenz begründen
- Bedeutung
Abschluss-Check
Wenn du Kongruenzsätze anwendest, prüfe immer in dieser Reihenfolge: Existieren die Angaben? Wie liegen Seiten und Winkel? Welcher Satz passt?