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Dreiecksungleichung: Dreiecke sicher prüfen
Aus drei positiven Längen entsteht genau dann ein echtes Dreieck, wenn die beiden kürzeren Längen zusammen größer als die längste sind. So kannst du schon vor dem Zeichnen entscheiden, ob eine SSS-Konstruktion möglich ist.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So prüfst du drei Seitenlängen
Ein echtes Dreieck hat drei positive Seitenlängen $a$, $b$ und $c$. Für jede Seite muss gelten: Die beiden anderen Seiten sind zusammen länger als diese Seite.
$$a+b>c,\qquad a+c>b,\qquad b+c>a$$
Dreiecksungleichung
In einem echten, also nicht entarteten Dreieck ist die Summe der Längen zweier Seiten stets größer als die Länge der dritten Seite.
Für einen schnellen Test ordnest du die Längen von klein nach groß:
$$0 \lt a\le b\le c$$
Dann genügt eine einzige Prüfung:
$$a+b>c$$
Die anderen beiden Ungleichungen sind wegen der positiven Längen und der Sortierung automatisch erfüllt.
Kann man aus $3\,\text{cm}$, $4\,\text{cm}$ und $5\,\text{cm}$ ein Dreieck konstruieren?
Die Längen sind bereits geordnet. Du addierst die beiden kürzeren:
$$3\,\text{cm}+4\,\text{cm}=7\,\text{cm}$$
Weil $7\,\text{cm}>5\,\text{cm}$ gilt, existiert ein echtes Dreieck.
Warum die Regel funktioniert
Stell dir die Seiten als Wege zwischen drei Punkten $A$, $B$ und $C$ vor. Der direkte Weg von $A$ nach $B$ ist kürzer als der Umweg von $A$ über $C$ nach $B$, solange die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen.
Bei einer SSS-Konstruktion zeichnest du zuerst die längste Seite. Um ihre Endpunkte schlägst du Kreise mit den beiden übrigen Seitenlängen als Radien. Nur wenn sich die Kreise schneiden, kann ihr Schnittpunkt die dritte Ecke bilden.
Die Dreiecksungleichung ist nicht nur eine Rechenregel. Sie beschreibt, ob die beiden kürzeren Seiten die Endpunkte der längsten Seite überhaupt zu einer dritten Ecke verbinden können.
Größer, gleich oder kleiner
Nach dem Sortieren $0 \lt a\le b\le c$ gibt es drei Fälle.
| Vergleich | Geometrische Bedeutung | Ergebnis |
|---|---|---|
| $a+b>c$ | Die beiden kürzeren Seiten erreichen eine dritte Ecke außerhalb der Grundseite. | echtes Dreieck |
| $a+b=c$ | Alle drei Eckpunkte liegen auf einer Geraden. | entartete Figur, kein echtes Dreieck |
| $a+b \lt c$ | Die beiden kürzeren Seiten reichen nicht bis zueinander. | kein Dreieck |
Bei $2\,\text{cm}$, $3\,\text{cm}$ und $5\,\text{cm}$ gilt
$$2\,\text{cm}+3\,\text{cm}=5\,\text{cm}.$$
Die beiden kürzeren Strecken liegen dann hintereinander auf der längsten. Es entsteht keine Fläche und damit kein echtes Dreieck.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei geordneten positiven Längen entsteht ein echtes Dreieck, wenn die Summe der beiden kürzeren Seiten als die längste Seite ist. Bei Gleichheit ist die Figur . Ist die Summe kleiner, ist die Konstruktion .
Die umgekehrte Abschätzung
Die drei Dreiecksungleichungen lassen sich für eine ausgewählte Seite $c$ zusammenfassen:
$$|a-b| \lt c \lt a+b$$
Diese strikte Doppelungleichung gilt für ein echtes Dreieck. Die Seite $c$ muss also länger als der Unterschied der beiden anderen Seiten und zugleich kürzer als ihre Summe sein.
Zwei Seiten sind $4\,\text{cm}$ und $7\,\text{cm}$ lang. Für die dritte Seite $c$ muss gelten:
$$|7-4| \lt c \lt 7+4$$
also
$$3\,\text{cm} \lt c \lt 11\,\text{cm}.$$
$c=6\,\text{cm}$ ist möglich. Dagegen liegen $c=3\,\text{cm}$ und $c=11\,\text{cm}$ genau auf einem entarteten Grenzfall.
Vertiefung: Abstände statt Dreiecksseiten
Die Grundidee gilt allgemeiner für Abstände. Bezeichnet $d(X,Y)$ den Abstand zwischen zwei Punkten, dann gilt in einem metrischen Raum:
$$d(X,Y)\le d(X,Z)+d(Z,Y)$$
Hier steht bewusst $\le$ statt $\lt$. Der direkte Abstand kann genauso groß sein wie der Weg über $Z$, etwa wenn $Z$ auf einer kürzesten Verbindung von $X$ nach $Y$ liegt. Ein echter euklidischer Dreiecksrand verlangt dagegen die strikte Form.
Auch die umgekehrte Dreiecksungleichung gilt für Abstände:
$$|d(X,Z)-d(Z,Y)|\le d(X,Y)$$
Der Unterschied ist eine Frage des Geltungsbereichs: Bei drei beliebigen Punkten oder abstrakten Abständen ist Gleichheit erlaubt. Bei den Seiten eines echten euklidischen Dreiecks ist sie ausgeschlossen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Dreiecksungleichung
- echtes Dreieck: Summe der zwei kürzeren Seiten ist größer als die längste
- Grenzfall: Gleichheit ergibt eine entartete Gerade
- unmöglicher Fall: Summe ist kleiner als die längste Seite
- Konstruktion: Kreisschnitt liefert die dritte Ecke
- Abstände: direkter Weg ist höchstens so lang wie der Umweg