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Symmetrie hilft dir, Funktionsgraphen schneller zu verstehen und Fehler in Skizzen zu finden. Nach dieser Seite kannst du Achsen- und Punktsymmetrie rechnerisch prüfen.
- Ich kann Achsensymmetrie zur y-Achse erklären.
- Ich kann Punktsymmetrie zum Ursprung erklären.
- Ich kann $f(-x)$ berechnen.
- Ich kann gerade und ungerade Funktionen unterscheiden.
- Ich kann gemischte Terme als nicht symmetrisch erkennen.
Grundidee
Beim Prüfen ersetzt du jedes \(x\) durch \(-x\). Danach vergleichst du den neuen Funktionsterm mit dem ursprünglichen Term und mit seinem Gegenterm.
Symmetrie von Funktionen
Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn \(f(-x)=f(x)\) gilt. Sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn \(f(-x)=-f(x)\) gilt.
Prüfe \(f(x)=x^2+3\).
- Ersetze \(x\) durch \(-x\): \(f(-x)=(-x)^2+3\).
- \((-x)^2=x^2\).
- Also \(f(-x)=x^2+3=f(x)\).
Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Nur gerade Exponenten sprechen für y-Achsensymmetrie. Nur ungerade Potenzen ohne konstanten Anteil sprechen oft für Ursprungssymmetrie.
Schritt für Schritt
Für Punktsymmetrie vergleichst du \(f(-x)\) mit \(-f(x)\). Beide müssen wirklich gleich sein.
Prüfe \(g(x)=x^3-2x\).
- \(g(-x)=(-x)^3-2(-x)=-x^3+2x\).
- \(-g(x)=-(x^3-2x)=-x^3+2x\).
- Also \(g(-x)=-g(x)\).
Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Viele Funktionen sind weder achsen- noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Zum Beispiel mischt \(x^2+x\) gerade und ungerade Potenzen.
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Typische Fehler erkennen
Achte besonders auf Minuszeichen bei Klammern. \((-x)^2\) ist positiv, aber \((-x)^3\) bleibt negativ.
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Prüfungsmodus
Schreibe immer beide Vergleichsterme auf: \(f(-x)\) und bei Punktsymmetrie zusätzlich \(-f(x)\). So vermeidest du Bauchentscheidungen nach Exponenten.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
- Symmetrie prüfst du rechnerisch mit \(f(-x)\).
- Für y-Achsensymmetrie muss \(f(-x)=f(x)\) gelten.
- Für Ursprungssymmetrie muss \(f(-x)=-f(x)\) gelten.
- Vorzeichen bei Potenzen sind die häufigste Fehlerquelle.