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Symmetrie von Funktionen einfach prüfen
Funktionsgraphen können Spiegel- oder Drehsymmetrien besitzen. Für die beiden Grundformen setzt du $-x$ ein: Gilt $f(-x)=f(x)$, ist der Graph zur $y$-Achse symmetrisch. Gilt $f(-x)=-f(x)$, ist er zum Ursprung punktsymmetrisch. Du lernst hier, beide Bedingungen sicher zu prüfen und verschobene Symmetrien davon zu unterscheiden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Zwei Grundsymmetrien erkennen
Bei einer Achsensymmetrie sind die beiden Graphenhälften Spiegelbilder. Bei einer Punktsymmetrie zum Ursprung deckt eine Drehung um $180°$ den Graphen wieder mit sich selbst.
Gerade Funktion
Eine Funktion heißt gerade, wenn ihr Definitionsbereich bezüglich $0$ symmetrisch ist und für jedes zulässige $x$ gilt: $f(-x)=f(x)$. Ihr Graph ist dann zur $y$-Achse symmetrisch.
Ungerade Funktion
Eine Funktion heißt ungerade, wenn ihr Definitionsbereich bezüglich $0$ symmetrisch ist und für jedes zulässige $x$ gilt: $f(-x)=-f(x)$. Ihr Graph ist dann zum Ursprung punktsymmetrisch.
Der Hinweis auf den Definitionsbereich ist wichtig: Wenn $x$ erlaubt ist, muss für diese Grundtests auch $-x$ erlaubt sein. Eine einzelne passende Zahl reicht nicht aus; die Gleichung muss für alle zulässigen $x$ gelten.
Gleicher Funktionswert bei $x$ und $-x$ bedeutet Spiegelung an der $y$-Achse. Entgegengesetzter Funktionswert bedeutet eine Drehung um den Ursprung.
Mit minus x rechnerisch prüfen
Das allgemeine Verfahren funktioniert auch bei Funktionen, für die kein einfacher Exponententest zur Verfügung steht:
- Ersetze jedes $x$ durch $(-x)$ und setze Klammern.
- Vereinfache Potenzen und Vorzeichen.
- Vergleiche das Ergebnis zuerst mit $f(x)$ und dann mit $-f(x)$.
- Formuliere die Symmetrieaussage genau.
Gegeben ist $f(x)=x^4-2x^2-3$.
$$f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2-3=x^4-2x^2-3=f(x)$$
Gerade Potenzen beseitigen das Minus. Deshalb ist der Graph zur $y$-Achse symmetrisch.
Gegeben ist $g(x)=x^5+2x^3-x$.
$$g(-x)=(-x)^5+2(-x)^3-(-x)=-x^5-2x^3+x$$
Klammere ein Minus aus:
$$g(-x)=-(x^5+2x^3-x)=-g(x)$$
Damit ist der Graph zum Ursprung punktsymmetrisch.
Auch bei $r(x)=x/(x^2+1)$ hilft die direkte Prüfung:
$$r(-x)=(-x)/((-x)^2+1)=-x/(x^2+1)=-r(x)$$
Die Funktion ist ungerade. Ihr Definitionsbereich besteht aus allen reellen Zahlen und ist bezüglich $0$ symmetrisch.
Der häufigste Rechenfehler entsteht durch fehlende Klammern. Aus $-(-x)$ wird $+x$, während $(-x)^2=x^2$ und $(-x)^3=-x^3$ gilt.
Polynome mit Exponenten einordnen
Bei einer ganzrationalen Funktion, also einem Polynom, kannst du oft schon an den tatsächlich vorkommenden Exponenten entscheiden:
- Nur gerade Exponenten: Der Graph ist zur $y$-Achse symmetrisch.
- Nur ungerade Exponenten: Der Graph ist zum Ursprung punktsymmetrisch.
- Gerade und ungerade Exponenten gemischt: Der Graph besitzt keine der beiden Grundsymmetrien.
Eine Konstante zählt als Potenz mit Exponent $0$, denn $c=cx^0$. Der Exponent $0$ ist gerade. Ein einzelnes $x$ hat den ungeraden Exponenten $1$.
$f(x)=4x^4+3x^2+2$ enthält die Exponenten $4$, $2$ und $0$. Alle sind gerade: Der Graph ist zur $y$-Achse symmetrisch.
$g(x)=2x^7-x^5+x$ enthält die Exponenten $7$, $5$ und $1$. Alle sind ungerade: Der Graph ist zum Ursprung punktsymmetrisch.
$h(x)=x^5+3x^3+1$ enthält die ungeraden Exponenten $5$ und $3$, aber auch den geraden Exponenten $0$. Daher besitzt der Graph weder Symmetrie zur $y$-Achse noch zum Ursprung.
Der Exponententest entscheidet nur über die Grundsymmetrien zur $y$-Achse und zum Ursprung. Gemischte Exponenten schließen eine verschobene Symmetrie nicht aus.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Polynom $p(x)=3x^6-2x^2+5$ sind die Exponenten . Sie sind alle . Der Graph ist deshalb .
Verschobene Symmetrien prüfen
Scheitern beide Grundtests, kann ein Graph trotzdem zu einer anderen senkrechten Geraden oder zu einem anderen Punkt symmetrisch sein. Dafür brauchst du einen vorgegebenen oder vermuteten Symmetrieort und prüfst ihn durch eine eigene Gleichung.
Symmetrie zur Geraden x gleich h
Für eine senkrechte Achse $x=h$ vergleichst du gleich weit links und rechts liegende Stellen:
$$f(h-x)=f(h+x)$$
Für $f(x)=(x-2)^2-3$ wird die Achse $x=2$ geprüft.
$$f(2-x)=((2-x)-2)^2-3=x^2-3$$
$$f(2+x)=((2+x)-2)^2-3=x^2-3$$
Beide Seiten sind gleich. Der Graph ist zur Geraden $x=2$ achsensymmetrisch.
Symmetrie zum Punkt P
Für einen Punkt $P(a|b)$ prüfst du:
$$f(a+x)-b=-(f(a-x)-b)$$
Damit verschiebst du den gedachten Mittelpunkt rechnerisch zum Ursprung und vergleichst entgegengesetzte Funktionswerte.
Gegeben ist $g(x)=x^3+x+1$ und der vermutete Symmetriepunkt $P(0|1)$.
$$g(0+x)-1=x^3+x$$
$$-(g(0-x)-1)=-((-x)^3-x)=x^3+x$$
Die Seiten stimmen überein. Der Graph ist punktsymmetrisch zu $P(0|1)$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Rufe zuerst die Vorderseite ab und erkläre die Regel in eigenen Worten. Drehe die Karte erst danach um.
Alles auf einen Blick
- Symmetrie von Funktionen
- Zur y-Achse: $f(-x)=f(x)$
- Zum Ursprung: $f(-x)=-f(x)$
- Polynom-Schnelltest: Exponenten prüfen
- Verschobene Achse: $f(h-x)=f(h+x)$
- Verschobener Punkt: Werte um $P(a|b)$ vergleichen
- Kontrolle: Definitionsbereich und Vorzeichen beachten
Die Entscheidung beginnt immer mit der Frage, welche Symmetrie du prüfen willst. Für die beiden Grundsymmetrien genügt $f(-x)$; bei einem Polynom liefert die Exponentenstruktur einen schnellen Hinweis. Andere Achsen oder Punkte brauchen ihre eigene Prüfgleichung.