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Manche Vorgänge laufen in Schritten ab: erst wird etwas verdoppelt, dann quadriert oder verschoben. Die Verkettung von Funktionen beschreibt genau solche Hintereinanderausführungen.
Was du nach dieser Seite kannst
- Ich kann innere und äußere Funktion unterscheiden.
- Ich kann verkettete Funktionen auswerten.
- Ich kann $f(g(x))$ und $g(f(x))$ unterscheiden.
- Ich kann einfache Verkettungen aufstellen.
- Ich erkenne die Bedeutung für die Kettenregel.
Eine Funktion nach der anderen
Bei einer Verkettung wird das Ergebnis einer Funktion zur Eingabe der nächsten Funktion. Die Reihenfolge ist dabei entscheidend.
Verkettung
Die Verkettung \(f\circ g\) bedeutet \((f\circ g)(x)=f(g(x))\). Zuerst wird \(g\) angewendet, danach \(f\).
Sei \(g(x)=x+2\) und \(f(x)=x^2\).
Dann ist \(f(g(x))=(x+2)^2\).
Für \(x=3\): erst \(g(3)=5\), dann \(f(5)=25\).
Bei \(f(g(x))\) steht \(g\) innen und wird zuerst gerechnet.
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Reihenfolge vergleichen
Verkettungen sind meist nicht vertauschbar. \(f(g(x))\) kann etwas anderes ergeben als \(g(f(x))\).
Mit \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=x+2\) gilt:
\(f(g(x))=(x+2)^2\).
\(g(f(x))=x^2+2\).
Für \(x=3\) sind das \(25\) und \(11\).
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Prüfungsmodus
Bei Ableitungen brauchst du die Verkettung für die Kettenregel. Frage immer: Was ist die innere Funktion, was passiert außen damit?
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Verkettung heißt: Eine Funktion liefert die Eingabe für die nächste. Die Reihenfolge entscheidet über den Term und ist später der Schlüssel zur Kettenregel.