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Verkettung von Funktionen einfach erklärt
Zwei Funktionen zu verketten bedeutet, sie nacheinander auszuführen. Bei $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ rechnest du zuerst mit der inneren Funktion $g$ und danach mit der äußeren Funktion $f$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was eine Verkettung bedeutet
Stell dir zwei Verarbeitungsschritte vor: Die erste Funktion erzeugt einen Zwischenwert. Diesen Zwischenwert verarbeitet die zweite Funktion weiter.
Funktionsverkettung
Die Verkettung von $g$ und $f$ ist
$$(f\circ g)(x)=f(g(x)).$$
Dabei ist $g$ die innere Funktion und $f$ die äußere Funktion. Das Zeichen $\circ$ heißt Verkettungszeichen.
Die Schreibweise $f\circ g$ wird „$f$ nach $g$“ gelesen. Die rechts stehende Funktion $g$ wird also zuerst angewandt.
Seien $g(x)=x+1$ und $f(x)=x^2$. Für $x=2$ entsteht die Rechenkette
$$2\xrightarrow{g}3\xrightarrow{f}9.$$
Daher gilt $(f\circ g)(2)=f(g(2))=f(3)=9$.
Wie du eine Verkettung berechnest
Für $(f\circ g)(x)$ gehst du in drei Schritten vor:
- Bestimme die innere Funktion $g$.
- Ersetze in $f$ jedes Argument durch den vollständigen Term $g(x)$.
- Vereinfache den entstandenen Term.
Gegeben sind
$$f(x)=x^2+x\qquad\text{und}\qquad g(x)=2x+1.$$
Gesucht ist $f\circ g$. Setze den gesamten Term $2x+1$ an beiden Stellen für das Argument von $f$ ein:
$$(f\circ g)(x)=(2x+1)^2+(2x+1).$$
Nun vereinfachst du:
$$(2x+1)^2+(2x+1)=4x^2+4x+1+2x+1=4x^2+6x+2.$$
Damit ist
$$(f\circ g)(x)=4x^2+6x+2.$$
Setze den inneren Funktionsterm immer vollständig ein. Klammern schützen davor, einzelne Summanden oder Rechenoperationen zu übersehen.
Warum die Reihenfolge wichtig ist
Beim Vertauschen der Funktionen ändert sich meist das Ergebnis. Dieses Verhalten heißt Nichtkommutativität.
Für $f(x)=x^2+x$ und $g(x)=2x+1$ wurde bereits berechnet:
$$(f\circ g)(x)=4x^2+6x+2.$$
In der umgekehrten Reihenfolge gilt dagegen:
$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=2(x^2+x)+1=2x^2+2x+1.$$
Die Terme sind verschieden. Deshalb gilt im Allgemeinen
$$f\circ g\ne g\circ f.$$
Bei drei Funktionen darfst du zwar die Gruppierung ändern, aber nicht ihre Reihenfolge. Das ist die Assoziativität:
$$(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h).$$
Beide Seiten führen zu $f(g(h(x)))$: zuerst $h$, danach $g$ und zuletzt $f$.
Wie du den Definitionsbereich prüfst
Eine Verkettung ist nur dort definiert, wo beide Rechenschritte erlaubt sind. Der Eingabewert muss zunächst zu $D_g$ gehören. Außerdem muss der Zwischenwert $g(x)$ im Definitionsbereich $D_f$ der äußeren Funktion liegen.
Definitionsbereich der Verkettung
Für $f\circ g$ gilt
$$D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}.$$
Die Bedingung $W_g\subseteq D_f$ garantiert, dass die Verkettung auf dem gesamten Definitionsbereich von $g$ möglich ist. Andernfalls kann ein eingeschränkter Definitionsbereich entstehen.
Seien
$$g(x)=3x-1\qquad\text{und}\qquad f(t)=\sqrt{t}.$$
Die Wurzelfunktion verlangt $t\ge0$. Daher muss der Zwischenwert die Bedingung
$$3x-1\ge0$$
erfüllen. Daraus folgt $x\ge\frac13$. Somit gilt
$$(f\circ g)(x)=\sqrt{3x-1}\quad\text{für}\quad x\ge\frac13.$$
Ein Wert wie $x=0$ ist für die lineare innere Funktion erlaubt, aber nicht für die Verkettung: Der Zwischenwert wäre $-1$, und $\sqrt{-1}$ ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert.
Wie du verschachtelte Funktionen zerlegst
Verketten funktioniert auch rückwärts: Du kannst einen komplizierten Term in eine innere und eine äußere Funktion zerlegen. Suche zuerst den Ausdruck, der als zusammengehöriger Zwischenwert verarbeitet wird.
Gegeben ist
$$h(x)=\frac{1}{x^2+1}.$$
Eine passende Zerlegung ist
$$u(x)=x^2+1\qquad\text{und}\qquad v(t)=\frac1t.$$
Dann gilt $h=v\circ u$, denn
$$(v\circ u)(x)=v(x^2+1)=\frac1{x^2+1}.$$
Die äußere Funktion $v$ ist bei $t=0$ nicht definiert. Hier entsteht trotzdem keine Einschränkung, weil $u(x)=x^2+1$ für reelle $x$ stets mindestens $1$ ist.
Mehrere Funktionen wertest du ebenfalls von innen nach außen aus:
$$(p\circ q\circ r)(x)=p(q(r(x))).$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Verkettung von Funktionen
- Bedeutung: Funktionen werden nacheinander ausgeführt
- Reihenfolge: von innen nach außen
- Berechnung: inneren Term vollständig einsetzen
- Definitionsbereich: jeder Zwischenschritt muss erlaubt sein
- Rechengesetze: nicht kommutativ, aber assoziativ
- Zerlegung: verschachtelte Terme in Bausteine aufteilen