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Eine Funktion ordnet Eingaben Ausgaben zu. Eine Umkehrfunktion läuft diesen Weg zurück: Aus dem Ergebnis wird wieder die ursprüngliche Eingabe. Das klappt aber nur, wenn jeder Wert eindeutig zurückverfolgt werden kann.
- Ich kann die Idee einer Umkehrfunktion erklären.
- Ich kann einfache Funktionen umkehren.
- Ich kann Definitions- und Wertebereich beachten.
- Ich kann den Graphen der Umkehrfunktion deuten.
Die Rückwärtsidee
Wenn \(f(3)=7\) gilt, soll die Umkehrfunktion aus 7 wieder 3 machen. Sie macht die Wirkung von \(f\) rückgängig.
Umkehrfunktion
Eine Umkehrfunktion \(f^{-1}\) ordnet jedem erlaubten Funktionswert wieder seine ursprüngliche Eingabe zu. Es gilt \(f^{-1}(f(x))=x\).
\(f(x)=x+4\).
Die Funktion addiert 4. Der Rückweg ist: 4 abziehen.
Also ist \(f^{-1}(x)=x-4\).
Probe: \(f(5)=9\) und \(f^{-1}(9)=5\).
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Umkehrfunktion berechnen
Du ersetzt \(f(x)\) durch \(y\), löst nach \(x\) auf und vertauschst danach die Variablennamen.
Bestimme die Umkehrfunktion von \(f(x)=2x-6\).
\(y=2x-6\)
\(y+6=2x\)
\(x=\frac{y+6}{2}\)
Variablen tauschen: \(f^{-1}(x)=\frac{x+6}{2}\).
Erst nach \(x\) auflösen, dann \(x\) und \(y\) tauschen.
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Wann eine Umkehrfunktion existiert
Eine Funktion ist nur umkehrbar, wenn kein Funktionswert doppelt vorkommt. Sonst wüsste der Rückweg nicht, welche Eingabe gemeint ist.
Eindeutigkeit
Eine Funktion ist eindeutig umkehrbar, wenn jeder y-Wert höchstens einmal vorkommt. Man sagt auch: Die Funktion ist injektiv.
\(f(x)=x^2\) ist auf allen reellen Zahlen nicht eindeutig umkehrbar.
Denn \(f(2)=4\) und \(f(-2)=4\).
Wenn du aber den Definitionsbereich auf \(x\ge 0\) einschränkst, ist der Rückweg \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\) eindeutig.
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Prüfungsmodus
Graphisch ist die Umkehrfunktion die Spiegelung des Graphen an der Geraden \(y=x\). Aber rechne trotzdem die Gleichung nach.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Eine Umkehrfunktion macht eine Zuordnung rückgängig. Du berechnest sie durch Auflösen nach \(x\) und anschließendes Tauschen der Variablen. Prüfe immer, ob der Rückweg eindeutig ist.