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Umkehrfunktion bestimmen: Schritt für Schritt
Eine Umkehrfunktion macht die Zuordnung einer Funktion rückgängig: Sie führt einen Funktionswert wieder zu seinem ursprünglichen Eingabewert zurück. Dazu vertauschst du die Rollen von $x$ und $y$ und löst die Gleichung entsprechend um.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine umkehrbare Funktion?
Eine gewöhnliche Funktion ordnet jedem erlaubten $x$ genau einen Wert $y$ zu. Für eine Umkehrfunktion muss zusätzlich auch die Rückrichtung eindeutig sein: Jeder Wert aus dem Wertebereich darf nur zu einem $x$ gehören.
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ kehrt die Zuordnung von $f$ um. Aus $f(x)=y$ folgt $f^{-1}(y)=x$.
Die Schreibweise $f^{-1}$ bedeutet hier nicht den Kehrwert $\frac{1}{f(x)}$.
Bei der Umkehrung wechseln Definitionsbereich und Wertebereich ihre Rollen:
$$D_{f^{-1}}=W_f$$
$$W_{f^{-1}}=D_f$$
Eine Gerade wie $f(x)=2x+2$ mit von null verschiedener Steigung nimmt jeden Funktionswert nur einmal an. Die vollständige Parabel $f(x)=x^2$ ist dagegen nicht umkehrbar: Zum Funktionswert $4$ gehören sowohl $x=2$ als auch $x=-2$.
Eine Umkehrfunktion existiert auf dem betrachteten Bereich nur dann, wenn jeder Funktionswert höchstens einmal angenommen wird.
So bestimmst du eine Umkehrfunktion
Gehe in vier Schritten vor:
- Schreibe $y=f(x)$.
- Löse die Gleichung nach $x$ auf.
- Vertausche anschließend die Variablennamen $x$ und $y$.
- Gib den vertauschten Definitions- und Wertebereich an.
Bestimme die Umkehrfunktion von $f(x)=2x+2$.
Zuerst setzt du $y=2x+2$ und löst nach $x$ auf:
$$y-2=2x$$
$$x=\frac{y-2}{2}=0{,}5y-1$$
Nun vertauschst du die Variablennamen:
$$f^{-1}(x)=0{,}5x-1$$
Da $D_f=W_f=\mathbb R$ gilt, sind auch Definitions- und Wertebereich der Umkehrfunktion gleich $\mathbb R$.
Jetzt bist du dran: Bestimme die Umkehrfunktion von
$$f(x)=\frac{2x+1}{3}.$$
Warum brauchen Parabeln eine Einschränkung?
Eine vollständige Parabel nimmt viele Funktionswerte zweimal an. Du musst deshalb einen Ast auswählen, bevor du sie umkehrst.
Betrachte
$$f(x)=3x^2+5.$$
Wir beschränken die Funktion auf den rechten Ast:
$$D_f=[0,\infty), \qquad W_f=[5,\infty).$$
Setze $y=3x^2+5$ und löse nach $x$ auf:
$$y-5=3x^2$$
$$x^2=\frac{y-5}{3}$$
Weil im gewählten Definitionsbereich $x\ge 0$ gilt, darfst du nur die positive Wurzel verwenden:
$$x=\sqrt{\frac{y-5}{3}}$$
Nach dem Variablentausch folgt:
$$f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{x-5}{3}}.$$
Die Bereiche werden vertauscht:
$$D_{f^{-1}}=[5,\infty), \qquad W_{f^{-1}}=[0,\infty).$$
Hättest du stattdessen den linken Ast mit $x\le 0$ gewählt, müsste die Umkehrfunktion negative oder null als Werte liefern. Dann wäre
$$f^{-1}(x)=-\sqrt{\frac{x-5}{3}}.$$
Das Vorzeichen vor der Wurzel hängt vom gewählten Parabelast ab. Es ist keine freie Wahl nach dem Auflösen.
So prüfst du dein Ergebnis
Du kannst eine Umkehrfunktion auf zwei Arten kontrollieren.
Rechnerische Probe
Setze $f(x)$ in die Umkehrfunktion ein. Für erlaubte $x$ muss gelten:
$$f^{-1}(f(x))=x.$$
Beim linearen Beispiel ergibt sich:
$$f^{-1}(f(x))=0{,}5(2x+2)-1=x.$$
Damit ist die ursprüngliche Eingabe wiederhergestellt.
Auch die umgekehrte Verkettung führt auf dem passenden Bereich zurück:
$$f(f^{-1}(x))=x.$$
Achte dabei immer auf die jeweiligen Definitionsbereiche.
Graphische Probe
Der Graph von $f^{-1}$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der Geraden $y=x$. Dabei werden die Koordinaten jedes Punktes vertauscht:
$$P(0\mid 1) \longleftrightarrow P'(1\mid 0).$$
Die graphische Spiegelung zeigt anschaulich, warum Definitions- und Wertebereich ihre Rollen wechseln.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Umkehrfunktion
- Bedeutung
- macht eine Zuordnung rückgängig
- vertauscht Eingabe und Ausgabe
- Voraussetzung
- jeder Funktionswert gehört zu höchstens einem x-Wert
- sonst Definitionsbereich einschränken
- Berechnung
- y gleich f(x) setzen
- nach x auflösen
- Variablen vertauschen
- Bereiche
- Definitionsbereich und Wertebereich tauschen
- Kontrolle
- Funktionen verketten
- Graph an y gleich x spiegeln
- Bedeutung
Abschluss-Check
Du kannst eine Umkehrfunktion nun bestimmen, wenn du zuerst die Eindeutigkeit der Rückrichtung prüfst, bei Bedarf den Definitionsbereich einschränkst und anschließend Gleichung, Bereiche und Probe sorgfältig zusammenführst.