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Transformation von Funktionen einfach erklärt
Eine Funktionstransformation macht aus einer Funktion $f$ eine neue Funktion $g$. Änderungen außerhalb von $f(\,\cdot\,)$ wirken in $y$-Richtung; Änderungen im Argument wirken in $x$-Richtung. Besonders wichtig: Innen kehren sich Verschieberichtung und Skalierungsfaktor gegenüber dem ersten Blick um.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Innen oder außen: Wo greift die Veränderung an?
Eine Funktion ordnet einer Eingabe $x$ eine Ausgabe $f(x)$ zu. Deshalb gibt es zwei Angriffspunkte:
- innen am Argument: $f(x+c)$ oder $f(bx)$ verändert die Eingabe und damit die $x$-Richtung;
- außen am Funktionswert: $f(x)+d$ oder $a f(x)$ verändert die Ausgabe und damit die $y$-Richtung.
Argument und Funktionswert
Das Argument ist die Eingabe, die in $f$ eingesetzt wird. Der Funktionswert ist die zugehörige Ausgabe. In $f(2x)+3$ gehört $2x$ zum Argument; $+3$ wird erst danach zum Funktionswert addiert.
Innen wirkt horizontal, außen wirkt vertikal. Bei Veränderungen innen musst du besonders auf die umgekehrte Richtung beziehungsweise den Kehrwert achten.
Verschieben: Warum ist das Vorzeichen innen umgekehrt?
Für eine Verschiebung um $c$ nach rechts und $d$ nach oben gilt:
$$g(x)=f(x-c)+d$$
- $f(x-c)$ verschiebt um $c$ nach rechts.
- $f(x+c)$ verschiebt um $c$ nach links.
- $f(x)+d$ verschiebt für positives $d$ nach oben.
- $f(x)-d$ verschiebt für positives $d$ nach unten.
Warum bedeutet $x-c$ eine Bewegung nach rechts? Der ursprüngliche Eingabewert $0$ wird in der neuen Funktion erst bei $x=c$ erreicht, denn $c-c=0$.
Gegeben ist $f(x)=x^2$. Der Graph soll um $2$ nach rechts und $3$ nach unten verschoben werden.
- Ersetze jedes $x$ durch $x-2$: $f(x-2)=(x-2)^2$.
- Ziehe vom gesamten Funktionswert $3$ ab.
Damit erhältst du
$$g(x)=(x-2)^2-3.$$
Der Scheitelpunkt wandert von $(0|0)$ nach $(2|-3)$. Das bestätigt beide Richtungen.
Bei einem längeren Term musst du wirklich jedes $x$ ersetzen. Aus $f(x)=x^3-3x$ wird bei einer Verschiebung um $5$ nach rechts:
$$f(x-5)=(x-5)^3-3(x-5).$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $g(x)=f(x-4)+2$ wird der Graph um Einheiten nach rechts und um Einheiten nach oben verschoben. Für eine Verschiebung um $3$ nach links ersetzt du jedes $x$ durch .
Skalieren und spiegeln: Welcher Faktor wirkt?
Für positive Faktoren gelten diese Regeln:
| Term | Wirkung auf den Graphen |
|---|---|
| $g(x)=a f(x)$ | in $y$-Richtung mit Faktor $a$ |
| $g(x)=f(bx)$ | in $x$-Richtung mit Faktor $\frac1b$ |
Außen ist der Faktor direkt: Ein Faktor $a$ größer als $1$ streckt vertikal, ein Faktor zwischen $0$ und $1$ staucht vertikal. Innen gilt der Kehrwert: Ein Faktor $b$ größer als $1$ staucht horizontal, ein Faktor zwischen $0$ und $1$ streckt horizontal.
Für $f(x)=x^2$ soll der Graph in $x$-Richtung mit Faktor $2$ gestreckt werden. Im Argument brauchst du deshalb den Kehrwert $\frac12$:
$$g(x)=f\left(\frac12x\right)=\left(\frac12x\right)^2=\frac14x^2.$$
Die Rechnung zeigt auch eine Besonderheit der Parabel: Derselbe neue Term kann als vertikale Stauchung mit Faktor $\frac14$ beschrieben werden. Die gewählte Transformation und der vereinfachte Term sind beide korrekt.
Ein Minuszeichen erzeugt eine Spiegelung:
- $-f(x)$ spiegelt an der $x$-Achse;
- $f(-x)$ spiegelt an der $y$-Achse;
- $-f(-x)$ spiegelt am Ursprung.
Transformationen kombinieren und die Reihenfolge prüfen
Viele Veränderungen lassen sich so bündeln:
$$g(x)=a\,f\bigl(b(x-c)\bigr)+d$$
Für $a\neq0$ und $b\neq0$ bedeutet das:
- $c$: Verschiebung in $x$-Richtung;
- $d$: Verschiebung in $y$-Richtung;
- $\frac1{|b|}$: Skalierungsfaktor in $x$-Richtung;
- $|a|$: Skalierungsfaktor in $y$-Richtung;
- ein negatives $b$: zusätzlich Spiegelung an der $y$-Achse;
- ein negatives $a$: zusätzlich Spiegelung an der $x$-Achse.
Gegeben ist $f(x)=x^2$ und
$$g(x)=2f(x-1)+3=2(x-1)^2+3.$$
Der Graph wird um $1$ nach rechts verschoben, in $y$-Richtung mit Faktor $2$ gestreckt und um $3$ nach oben verschoben.
Der Punkt $(0|0)$ von $f$ landet bei $(1|3)$ auf $g$. Einsetzen bestätigt die Kontrolle: $g(1)=3$.
Die Reihenfolge darfst du nicht gedankenlos vertauschen. Erst an der $x$-Achse spiegeln und dann um $2$ nach oben verschieben ergibt $-f(x)+2$. Erst um $2$ nach oben verschieben und dann spiegeln ergibt $-(f(x)+2)=-f(x)-2$. Das sind im Allgemeinen verschiedene Graphen.
Manche Schritte lassen sich trotzdem vertauschen. Eine horizontale Verschiebung und eine vertikale Skalierung greifen an unterschiedlichen Größen an: $2f(x-5)$ entsteht unabhängig davon, welchen dieser beiden Schritte du zuerst beschreibst.
Markante Punkte übertragen und Transformationen erkennen
Kennst du einen Punkt $P(x_0|y_0)$ auf dem Graphen von $f$, dann gilt $y_0=f(x_0)$. Bei
$$g(x)=a\,f\bigl(b(x-c)\bigr)+d$$
wird daraus der Punkt
$$P'\left(c+\frac{x_0}{b}\,\middle|\,a y_0+d\right).$$
Die $x$-Koordinate wird horizontal skaliert und verschoben; die $y$-Koordinate wird vertikal skaliert und verschoben.
Auf $f$ liegen die Punkte $N(-2|0)$ und $H(1|3)$. Für $g(x)=2f(x-3)$ gilt $a=2$, $b=1$, $c=3$ und $d=0$.
- $N(-2|0)$ wird zu $N'(1|0)$.
- $H(1|3)$ wird zu $H'(4|6)$.
Die Nullstelle wandert um $3$ nach rechts. Beim Hochpunkt wandert die $x$-Koordinate ebenfalls um $3$; seine Höhe wird zusätzlich verdoppelt.
So helfen markante Punkte beim Erkennen:
- Eine reine horizontale Verschiebung addiert denselben Wert zu den $x$-Koordinaten von Nullstellen und Extrempunkten.
- Eine reine vertikale Skalierung lässt Nullstellen unverändert, multipliziert aber die $y$-Koordinaten.
- Eine Spiegelung an der $x$-Achse lässt Nullstellen unverändert und wechselt die Vorzeichen der $y$-Koordinaten; Hoch- und Tiefpunkte tauschen ihre Art.
- Nach einer vertikalen Verschiebung lassen sich neue Nullstellen im Allgemeinen nicht allein aus den alten Nullstellen ablesen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Transformation von Funktionen
- innen am Argument: $x$-Richtung, umgekehrte Richtung oder Kehrwert
- außen am Funktionswert: $y$-Richtung, sichtbares Vorzeichen oder direkter Faktor
- Verschiebung: $f(x-c)+d$
- Skalierung: $a f(bx)$
- Spiegelung: Minus innen oder außen
- Kombination: Reihenfolge prüfen
- Kontrolle: markante Punkte und Einsetzen nutzen
Abschluss-Check
Wenn du einen neuen Term untersuchst, frage immer in dieser Reihenfolge: Was steht innen? Was steht außen? Welche Reihenfolge ist vorgegeben? Welcher Punkt oder Funktionswert eignet sich zur Kontrolle?