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Teilmenge einfach erklärt: Regeln und Beispiele
Eine Menge $A$ ist eine Teilmenge von $B$, wenn jedes Element von $A$ auch in $B$ vorkommt. Du prüfst also die Elemente von $A$ einzeln. Schon ein fehlendes Element widerlegt die Teilmengenbeziehung.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Teilmengen Schritt für Schritt prüfen
Teilmenge
$A$ heißt Teilmenge von $B$, wenn jedes Element von $A$ auch Element von $B$ ist. Man schreibt $A \subseteq B$.
Gehe beim Prüfen so vor:
- Beginne mit der möglichen Teilmenge $A$.
- Suche jedes Element von $A$ in $B$.
- Sind alle enthalten, gilt $A \subseteq B$.
- Fehlt mindestens ein Element, gilt $A \nsubseteq B$.
Gegeben sind $A=\{2,3,5\}$ und $B=\{1,2,3,5,7\}$.
Die Elemente $2$, $3$ und $5$ aus $A$ kommen alle in $B$ vor. Daher gilt $A \subseteq B$.
Umgekehrt gilt $B \nsubseteq A$, denn zum Beispiel ist $1$ in $B$, aber nicht in $A$.
Für eine Widerlegung genügt ein Gegenbeispiel: Findest du ein Element aus $A$, das nicht in $B$ liegt, ist $A$ keine Teilmenge von $B$.
Echte Teilmenge oder gleiche Menge
Echte Teilmenge
$A$ ist eine echte Teilmenge von $B$, wenn $A \subseteq B$ gilt und beide Mengen nicht gleich sind. Man schreibt eindeutig $A \subsetneq B$.
Damit gibt es zwei Möglichkeiten:
- $A \subseteq B$ und $A=B$: Teilmenge, aber keine echte Teilmenge.
- $A \subseteq B$ und $A\ne B$: echte Teilmenge.
Für $A=\{3,4\}$ und $B=\{3,4,5\}$ gilt $A \subsetneq B$. Alle Elemente von $A$ liegen in $B$, und $B$ besitzt zusätzlich das Element $5$.
Für $C=\{3,4,5\}$ gilt dagegen $C=B$. Deshalb ist $C$ zwar eine Teilmenge von $B$, aber keine echte Teilmenge.
Das Zeichen $\subset$ wird nicht überall gleich verwendet. Es kann eine beliebige oder nur eine echte Teilmenge bedeuten. Mit $\subseteq$ und $\subsetneq$ vermeidest du diese Unklarheit.
Wichtige Regeln der Inklusion
Einige Teilmengenbeziehungen gelten unabhängig von den konkreten Elementen:
- Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge: $\varnothing \subseteq A$.
- Jede Menge ist Teilmenge ihrer selbst: $A \subseteq A$.
- Aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ folgt $A=B$.
- Aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq C$ folgt $A \subseteq C$. Diese Regel heißt Transitivität.
- Es gelten $A \cap B \subseteq A$ und $A \subseteq A \cup B$.
Seien $A=\{2\}$, $B=\{2,4\}$ und $C=\{1,2,3,4\}$.
Es gilt $A \subseteq B$ und $B \subseteq C$. Deshalb folgt mit der Transitivität $A \subseteq C$.
Zwei ungleiche Mengen müssen nicht unvergleichbar sein: Ist eine echte Teilmenge der anderen, sind sie ungleich und trotzdem vergleichbar. Unvergleichbar sind sie erst, wenn keine der beiden eine Teilmenge der anderen ist.
Alle Teilmengen in der Potenzmenge sammeln
Potenzmenge
Die Potenzmenge $\mathcal P(A)$ ist die Menge aller Teilmengen von $A$. Zu ihr gehören immer die leere Menge $\varnothing$ und die gesamte Menge $A$.
Für $A=\{1,2\}$ gibt es genau diese Möglichkeiten:
- kein Element auswählen: $\varnothing$,
- nur $1$ auswählen: $\{1\}$,
- nur $2$ auswählen: $\{2\}$,
- beide Elemente auswählen: $\{1,2\}$.
Daher gilt
$$\mathcal P(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}.$$
Die Potenzmenge enthält vier Elemente.
Für eine endliche Menge mit $n$ Elementen gilt
$$|\mathcal P(A)|=2^n.$$
Der Grund: Bei jedem Element gibt es zwei unabhängige Entscheidungen — aufnehmen oder nicht aufnehmen. Für drei Elemente entstehen deshalb $2^3=8$ Teilmengen.
Verwechsle Element und Teilmenge nicht: Ist $1\in A$, dann ist $1$ ein Element. Dagegen ist $\{1\}\subseteq A$ eine Menge mit einem Element.
Teilmengen selbst untersuchen
Gegeben sind
$$A=\{1,2,3,5,6\},\quad B=\{2,3,5\},\quad C=\{1,2,3,5,7\}.$$
Prüfe zunächst selbst:
- Ist $B$ eine Teilmenge von $A$?
- Ist $B$ eine echte Teilmenge von $C$?
- Ist $A$ eine Teilmenge von $C$?
- Sind $A$ und $C$ unvergleichbar?
Ausführliche Lösung der Untersuchung
- Ja. Die Elemente $2$, $3$ und $5$ aus $B$ liegen alle in $A$. Also gilt $B \subseteq A$.
- Ja. Alle Elemente von $B$ liegen in $C$, und $C$ enthält zusätzlich $1$ und $7$. Daher gilt $B \subsetneq C$.
- Nein. Das Element $6$ liegt in $A$, aber nicht in $C$. Also gilt $A \nsubseteq C$.
- Ja. Zusätzlich gilt $C \nsubseteq A$, weil $7$ in $C$, aber nicht in $A$ liegt. Somit ist keine der Mengen Teilmenge der anderen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Zum Prüfen von $A \subseteq B$ untersuchst du . Ein fehlendes Element ist ein . Haben zwei Mengen genau dieselben Elemente, sind sie .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Teilmenge
- prüfen: jedes Element vergleichen
- Gegenbeispiel: ein fehlendes Element
- unterscheiden: beliebig oder echt
- gleich: wechselseitige Inklusion
- Regeln nutzen
- leere Menge, Selbstinklusion, Transitivität
- Potenzmenge bilden
- jedes Element aufnehmen oder auslassen
- prüfen: jedes Element vergleichen