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Eine Teilmenge ist wie eine kleinere Sammlung innerhalb einer größeren Sammlung. Danach kannst du Mengenbeziehungen lesen, mit Symbolen schreiben und typische Verwechslungen vermeiden.
- Ich kann Menge, Element und Teilmenge unterscheiden.
- Ich kann die Symbole $\in$, $\subseteq$ und $\subset$ deuten.
- Ich kann echte und unechte Teilmengen erkennen.
- Ich kann Mengenbeziehungen an Beispielen prüfen.
Mengen und Elemente
Eine Menge fasst Objekte zusammen. Diese Objekte heißen Elemente.
Teilmenge
Eine Menge \(A\) ist eine Teilmenge von \(B\), wenn jedes Element von \(A\) auch in \(B\) enthalten ist. Man schreibt \(A\subseteq B\).
\(A=\{2,4\}\) und \(B=\{1,2,3,4,5\}\). Jedes Element von \(A\) kommt auch in \(B\) vor. Also gilt \(A\subseteq B\).
Element von und Teilmenge von sind verschieden: \(2\in B\), aber \(\{2\}\subseteq B\).
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Echte Teilmenge
Manchmal soll die kleinere Menge nicht gleich der größeren sein. Dann spricht man von einer echten Teilmenge.
Echte Teilmenge
\(A\subset B\) bedeutet: \(A\) ist Teilmenge von \(B\) und \(A\) ist nicht gleich \(B\). Es gibt also mindestens ein Element in \(B\), das nicht in \(A\) liegt.
\(A=\{a,b\}\), \(B=\{a,b,c\}\). Dann ist \(A\subset B\), weil \(c\) zusätzlich in \(B\) liegt. Aber \(B\subset B\) ist keine echte Teilmenge, sondern nur \(B\subseteq B\).
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Leere Menge
Die leere Menge enthält kein Element. Sie ist Teilmenge jeder Menge, weil es kein Element gibt, das die Bedingung verletzen könnte.
Leere Menge
Die leere Menge wird \(\emptyset\) oder \(\{\}\) geschrieben. Sie enthält keine Elemente und ist Teilmenge jeder Menge.
Für \(M=\{5,6\}\) gilt \(\emptyset\subseteq M\). Außerdem gilt \(M\subseteq M\), denn jede Menge ist Teilmenge von sich selbst.
Prüfungsmodus
Prüfe Teilmengen immer Element für Element. Ein einziges fehlendes Element reicht, damit die Aussage falsch ist.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Eine Menge ist Teilmenge einer anderen, wenn alle ihre Elemente dort enthalten sind. \(\subseteq\) erlaubt Gleichheit, \(\subset\) meint echte Teilmenge. Verwechsle Teilmenge nicht mit Element.