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Trassierung: Übergänge mit Polynomen berechnen
Trassierung bedeutet im Schulmodell: Du verbindest zwei vorgegebene Funktionsstücke durch eine neue Funktion. An beiden Anschlussstellen sollen je nach Aufgabe Funktionswert, Steigung und zusätzlich die zweite Ableitung übereinstimmen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Anschlüsse sollen zusammenpassen?
Links endet der Graph von $g$ bei $x_1$, rechts beginnt der Graph von $h$ bei $x_2$. Dazwischen suchst du eine Verbindungsfunktion $f$ auf $[x_1,x_2]$.
Trassierung
Bei einer schulischen Trassierungsaufgabe wird eine Funktion so bestimmt, dass sie zwei vorhandene Funktionsstücke mit vorgegebenen Übergangseigenschaften verbindet.
Die Bedingungen bauen aufeinander auf:
- Sprungfrei: An der Naht gibt es keine Lücke. Die Funktionswerte stimmen überein.
- Knickfrei: Zusätzlich zeigen die Tangenten in dieselbe Richtung. Die ersten Ableitungen stimmen überein.
- Im Schulmodell krümmungsruckfrei: Zusätzlich stimmen die zweiten Ableitungen überein.
| Übergang | bei $x_1$ | bei $x_2$ |
|---|---|---|
| sprungfrei | $f(x_1)=g(x_1)$ | $f(x_2)=h(x_2)$ |
| zusätzlich knickfrei | $f'(x_1)=g'(x_1)$ | $f'(x_2)=h'(x_2)$ |
| zusätzlich schulisch krümmungsruckfrei | $f''(x_1)=g''(x_1)$ | $f''(x_2)=h''(x_2)$ |
Knickfreiheit ersetzt die Wertbedingungen nicht. Ein knickfreier Anschluss braucht an jeder Naht denselben Funktionswert und dieselbe Steigung.
Wie wird aus den Bedingungen eine Funktion?
Du übersetzt jede Anschlussforderung in eine Gleichung. Danach wählst du einen Ansatz mit genügend frei bestimmbaren Koeffizienten.
Bei vier Bedingungen ist der Standardansatz:
$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$
Bei sechs Bedingungen verwendet man gewöhnlich:
$$f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+k$$
Der konstante Koeffizient heißt hier $k$, damit er nicht mit dem Funktionsnamen verwechselt wird. Die benötigten Ableitungen sind:
$$f'(x)=5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e$$
$$f''(x)=20ax^3+12bx^2+6cx+2d$$
So gehst du vor:
- Berechne Werte und benötigte Ableitungen der Randfunktionen an $x_1$ und $x_2$.
- Formuliere alle Anschlussbedingungen.
- Setze das allgemeine Polynom und seine Ableitungen ein.
- Löse das lineare Gleichungssystem.
- Setze die Koeffizienten in den Ansatz ein.
- Prüfe jede Anschlussbedingung am fertigen Polynom.
Die Gradangaben sind Standardansätze. Die Bedingungen müssen miteinander vereinbar und für eine eindeutige Lösung hinreichend unabhängig sein. Wird der höchste Koeffizient null, hat die Lösung tatsächlich einen niedrigeren Grad.
Wie sieht eine vollständige Rechnung aus?
Links gilt $g(x)=x^2-2$ für $x\le 0$, rechts gilt $h(x)=-1$ für $x\ge 2$. Gesucht ist eine knickfreie Verbindung $f$ auf $[0,2]$.
Die Randdaten sind:
$$g(0)=-2,\qquad g'(x)=2x,\qquad g'(0)=0$$
$$h(2)=-1,\qquad h'(x)=0,\qquad h'(2)=0$$
Daraus folgen:
$$f(0)=-2,\qquad f'(0)=0,\qquad f(2)=-1,\qquad f'(2)=0$$
Mit
$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$
und
$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$
liefern die Bedingungen bei $x=0$ sofort $d=-2$ und $c=0$.
Bei $x=2$ erhältst du:
$$8a+4b=1$$
$$12a+4b=0$$
Subtrahierst du die erste Gleichung von der zweiten, folgt:
$$4a=-1,\qquad a=-\frac14$$
Einsetzen in $12a+4b=0$ ergibt:
$$-3+4b=0,\qquad b=\frac34$$
Damit lautet die Verbindungsfunktion:
$$f(x)=-\frac14x^3+\frac34x^2-2 \quad \text{für } 0\le x\le 2$$
Anschlussprobe
Die Ableitung lautet:
$$f'(x)=-\frac34x^2+\frac32x$$
Am linken Rand gilt $f(0)=-2$ und $f'(0)=0$. Am rechten Rand gilt $f(2)=-1$ und $f'(2)=0$. Wert und Steigung stimmen an beiden Nahtstellen überein.
Grenzen des Schulmodells
In vielen Schulaufgaben heißt die Übereinstimmung von $f''$ „krümmungsruckfrei“. Die geometrische Krümmung eines Graphen ist aber im Allgemeinen nicht einfach seine zweite Ableitung. Das zeigt $y=x^2$: Die zweite Ableitung ist überall $2$, doch die geometrische Krümmung ist nicht überall gleich stark.
Eine echte Verkehrswegplanung verbindet nicht bloß zwei Graphen durch ein beliebiges Polynom. Straßen und Gleise haben Breite; außerdem spielen beispielsweise Sicherheit, Gelände und Bauwerke eine Rolle. In der Praxis werden unter anderem Geraden, Kreisbögen und Klothoiden verwendet. Das Schulmodell bleibt nützlich, weil du daran Ableitungen, Randbedingungen und lineare Gleichungssysteme übst.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Trassierung im Schulmodell
- Anschlussbedingungen
- Funktionswerte für Sprungfreiheit
- erste Ableitungen für Knickfreiheit
- zweite Ableitungen im schulischen Modell
- Rechenweg
- Randdaten bestimmen
- Polynom ansetzen
- Gleichungssystem lösen
- Bedingungen prüfen
- Einordnung
- vereinfachtes Polynommodell
- reale Planung mit weiteren Anforderungen
- Anschlussbedingungen