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Trigonometrische Gleichungen lösen
Eine trigonometrische Gleichung enthält die Unbekannte im Argument von Sinus, Kosinus oder Tangens. Du formst sie zuerst in eine Grundform um, bestimmst passende Winkel und ergänzt wegen der Periodizität alle Wiederholungen. Ist ein Intervall vorgegeben, behältst du nur die Lösungen darin.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine trigonometrische Gleichung?
In einer trigonometrischen Gleichung steht die Unbekannte im Winkel, zum Beispiel in $\cos x$ oder $\sin(2x)$. Gesucht sind alle Winkel, die beide Seiten der Gleichung gleich machen.
Trigonometrische Gleichung
Eine trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte im Argument einer Winkelfunktion vorkommt. Beispiele sind $\cos x=0{,}5$, $\sin x=0{,}702$ und $\cos x+\cos(2x)=1$.
Achte vor dem Rechnen auf das Winkelmaß:
- Im Gradmaß wird eine volle Drehung als $360^\circ$ angegeben.
- Im Bogenmaß entspricht eine volle Drehung $2\pi$.
Sinus und Kosinus wiederholen sich nach $360^\circ$ beziehungsweise $2\pi$. Tangens wiederholt sich bereits nach $180^\circ$ beziehungsweise $\pi$.
Wie findest du alle Lösungen einer Grundgleichung?
Die Umkehrfunktionen $\arcsin$, $\arccos$ und $\arctan$ liefern zunächst einen Ausgangswinkel. Dieser eine Wert genügt bei Sinus und Kosinus meist noch nicht: Symmetrie und Periodizität erzeugen weitere Lösungen.
Prüfe zuerst, ob der Funktionswert möglich ist. Bei Sinus und Kosinus muss $a$ zwischen $-1$ und $1$ liegen. Der Tangens kann jeden reellen Wert annehmen.
Für $k\in\mathbb Z$ gelten im Bogenmaß diese Lösungsformen:
- Ist $\sin x=a$ mit $-1\leq a\leq1$ und $\alpha=\arcsin(a)$, dann gilt $x=\alpha+2k\pi$ oder $x=\pi-\alpha+2k\pi$.
- Ist $\cos x=a$ mit $-1\leq a\leq1$ und $\alpha=\arccos(a)$, dann gilt $x=\alpha+2k\pi$ oder $x=-\alpha+2k\pi$.
- Ist $\tan x=a$ und $\alpha=\arctan(a)$, dann gilt $x=\alpha+k\pi$.
Dabei steht $k\in\mathbb Z$ für jede ganze Zahl. So beschreibt eine kurze Formel unendlich viele periodische Lösungen. Bei besonderen Werten wie $a=1$ oder $a=-1$ können die beiden Sinus- oder Kosinusfamilien dieselben Winkel beschreiben.
Die Umkehrfunktion gibt einen Ausgangswinkel. Erst Symmetrie und Periodizität machen daraus die vollständige Lösungsmenge.
Löse $\cos x=0{,}5$ für alle reellen $x$.
Der bekannte Winkel ist $\alpha=\frac{\pi}{3}$, denn $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=0{,}5$.
Für den Kosinus verwendest du beide Familien:
$$x=\frac{\pi}{3}+2k\pi$$
oder
$$x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$
Die zweite Familie kann gleichwertig als $x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$ geschrieben werden.
Wie beschränkst du Lösungen auf ein Intervall?
Eine allgemeine Lösungsfamilie beantwortet die Frage nach allen reellen Lösungen. Bei einem Intervall prüfst du anschließend, welche ganzzahligen Werte von $k$ Winkel innerhalb der Grenzen liefern.
Bestimme die Lösungen von $\cos x=0{,}5$ im Intervall $[0;2\pi]$.
Aus den Lösungsfamilien kennst du
$$x=\frac{\pi}{3}+2k\pi$$
und
$$x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi.$$
Aus der ersten Familie liegt für $k=0$ der Wert $\frac{\pi}{3}$ im Intervall. Aus der zweiten Familie ist der Wert für $k=0$ negativ; mit $k=1$ erhältst du
$$-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5\pi}{3}.$$
Damit ist die Lösungsmenge
$$L=\left\{\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right\}.$$
Beide Werte liegen im Intervall und erfüllen die Ausgangsgleichung.
Wie löst du mehrstufige Gleichungen?
Viele Aufgaben sind nicht sofort eine Grundgleichung. Forme zuerst um, bis Sinus, Kosinus oder Tangens allein steht. Ergibt die Gleichung ein Produkt mit dem Wert null, setzt du die Faktoren nacheinander gleich null. Bei Potenzen können Ausklammern oder Substitution helfen.
Löse $2\cos x-1=0$ im Intervall $[0;2\pi]$.
- Addiere $1$: $2\cos x=1$.
- Teile durch $2$: $\cos x=\frac{1}{2}$.
- Löse die Kosinus-Grundgleichung.
- Wähle die Werte im Intervall aus.
Damit gilt
$$L=\left\{\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right\}.$$
Löse $\sin^2 x-\sin x=0$ im Intervall $[0;2\pi]$.
Klammere $\sin x$ aus:
$$\sin x(\sin x-1)=0.$$
Nach dem Nullprodukt muss mindestens ein Faktor null sein:
- $\sin x=0$ liefert $x=0$, $x=\pi$ und $x=2\pi$.
- $\sin x-1=0$ bedeutet $\sin x=1$ und liefert $x=\frac{\pi}{2}$.
Also ist
$$L=\left\{0;\frac{\pi}{2};\pi;2\pi\right\}.$$
Die beiden Randwerte $0$ und $2\pi$ gehören dazu, weil das Intervall geschlossen ist.
Bei $\sin^2 x=c$ gilt: Für $c<0$ gibt es keine reelle Lösung. Für $c\geq0$ musst du beim Wurzelziehen beide Vorzeichen beachten: $\sin x=\sqrt c$ oder $\sin x=-\sqrt c$. Ist außerdem $c>1$, liegen beide Werte außerhalb des Wertebereichs des Sinus und es gibt ebenfalls keine reelle Lösung. Prüfe nach einer Substitution immer den Wertebereich. Sinus und Kosinus können nur Werte von $-1$ bis $1$ annehmen. Ein Ergebnis wie $\sin x=-2$ liefert daher keine reelle Lösung.
Welche Strategie führt sicher zum Ziel?
Arbeite in dieser Reihenfolge:
- Kläre Winkelmaß und Intervall. Grad- und Bogenmaß dürfen nicht vermischt werden.
- Forme um. Bringe die Gleichung auf eine Grundform oder nutze Ausklammern beziehungsweise Substitution.
- Bestimme alle Lösungsfamilien. Berücksichtige Symmetrie und die richtige Periode.
- Schränke auf das Intervall ein. Prüfe passende ganzzahlige Werte von $k$ und die Randpunkte.
- Prüfe die Kandidaten. Setze sie in die Ausgangsgleichung ein und beachte Wertebereiche.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $\cos x=a$ liefert einen Ausgangswinkel. Wegen der entstehen Wiederholungen. Sinus und Kosinus nehmen nur Werte im Intervall an. Bei einem vorgegebenen Intervall bleiben nur die Lösungen innerhalb der übrig.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Trigonometrische Gleichungen
- erkennen: Unbekannte im Winkel
- vorbereiten: Winkelmaß und Intervall klären
- umformen: Grundform, Nullprodukt oder Substitution
- lösen: Umkehrfunktion, Symmetrie und Periodizität
- auswählen: Lösungsfamilien auf das Intervall beschränken
- prüfen: Ausgangsgleichung und Wertebereich beachten