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Trigonometrische Gleichungen sehen ungewohnt aus, weil Winkel sich wiederholen. Wenn du Periode und Grundlösung verstehst, werden sie überschaubar.
- Ich kann Sinus-, Kosinus- und Tangensgleichungen erkennen.
- Ich kann Grundlösungen im passenden Intervall finden.
- Ich kann Periodizität für alle Lösungen nutzen.
- Ich kann typische Fehler erkennen und mein Ergebnis prüfen.
Grundidee
Sinus und Kosinus wiederholen ihre Werte regelmäßig. Deshalb haben trigonometrische Gleichungen oft mehrere Lösungen.
Trigonometrische Gleichung
Eine trigonometrische Gleichung enthält eine Winkelfunktion wie \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) oder \(\tan(x)\) mit einer unbekannten Winkelgröße.
\(\sin(x)=0{,}5\) hat im Intervall \(0^\circ\) bis \(360^\circ\) die Lösungen \(30^\circ\) und \(150^\circ\).
Erst Grundwinkel finden, dann mit Symmetrie und Periode alle Lösungen ergänzen.
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Vorgehen Schritt für Schritt
Löse zuerst mit dem Taschenrechner oder bekannten Winkeln. Danach entscheidest du: Sinus spiegelt an \(180^\circ\), Kosinus an \(360^\circ\), Tangens hat Periode \(180^\circ\).
Löse \(\cos(x)=0{,}5\) für \(0^\circ\le x<360^\circ\). Grundwinkel \(60^\circ\). Kosinus ist in Quadrant I und IV positiv. Lösungen: \(60^\circ\) und \(360^\circ-60^\circ=300^\circ\).
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Typische Fehler und Prüfungsmodus
Achte auf das geforderte Intervall. Ohne Intervall gibst du allgemeine Lösungen mit Perioden an.
Im Bogenmaß ist die Periode von Sinus und Kosinus \(2\pi\), die Periode von Tangens ist \(\pi\).
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Trigonometrische Gleichungen löst du mit Grundwinkel, Symmetrie und Periode. Der wichtigste Prüfungsblick geht auf das Intervall und die gewünschte Einheit.