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Bogenmaß und Gradmaß einfach umrechnen
Gradmaß und Bogenmaß beschreiben denselben Winkel mit verschiedenen Zahlen. Der wichtigste Anker ist: $180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}$. Deshalb multiplizierst du beim Wechsel ins Bogenmaß mit $\frac{\pi}{180^\circ}$ und beim Wechsel ins Gradmaß mit $\frac{180^\circ}{\pi}$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Zwei Maße für denselben Winkel
Beim Gradmaß wird ein Vollkreis in $360$ gleich große Teile geteilt. Ein solcher Teil ist $1^\circ$. Daher gelten zum Beispiel:
- Vollwinkel: $360^\circ$
- gestreckter Winkel: $180^\circ$
- rechter Winkel: $90^\circ$
Bogenmaß
Das Bogenmaß eines Winkels ist die Maßzahl der zugehörigen Bogenlänge am Einheitskreis. Der Einheitskreis hat den Radius $r=1$. Die Einheit heißt Radiant und wird mit $\mathrm{rad}$ abgekürzt; häufig lässt man „rad“ weg.
Ein Vollkreis hat am Einheitskreis den Umfang $2\pi$. Deshalb entspricht $360^\circ$ dem Bogenmaß $2\pi$. Für einen Halbkreis folgt $180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}$ und für einen Viertelkreis $90^\circ=\frac{\pi}{2}\,\mathrm{rad}$.
Gradmaß und Bogenmaß sind keine zwei verschiedenen Winkel. Sie sind zwei Schreibweisen für dieselbe Winkelgröße – ähnlich wie zwei Einheiten für dieselbe Länge.
So rechnest du zwischen beiden Maßen um
Aus $180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}$ folgen die beiden Umrechnungen.
Vom Gradmaß ins Bogenmaß
$$\text{Bogenmaß}=\text{Gradmaß}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}$$
Kürze den Zahlenbruch möglichst, bevor du einen Näherungswert berechnest.
Gesucht ist das Bogenmaß von $60^\circ$.
$$60^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{60}{180}\pi=\frac{\pi}{3}$$
Das Gradzeichen kürzt sich. Exakt ist das Ergebnis $\frac{\pi}{3}\,\mathrm{rad}$, näherungsweise $1{,}047\,\mathrm{rad}$.
Vom Bogenmaß ins Gradmaß
$$\text{Gradmaß}=\text{Bogenmaß}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}$$
Gesucht ist das Gradmaß von $\frac{7\pi}{6}\,\mathrm{rad}$.
$$\frac{7\pi}{6}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=7\cdot30^\circ=210^\circ$$
Der Faktor $\pi$ kürzt sich. Der Winkel misst also $210^\circ$.
Wenn das Bogenmaß kein Vielfaches von $\pi$ ist, erhältst du meist einen Näherungswert. Für $1\,\mathrm{rad}$ gilt:
$$1\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx57{,}3^\circ$$
Wichtige Winkel erkennen und herleiten
Du musst eine Wertetabelle nicht blind auswendig lernen. Beginne mit $180^\circ=\pi$ und halbiere, drittele oder verdopple beide Seiten gleich.
| Gradmaß | Bogenmaß | Anteil am Vollkreis |
|---|---|---|
| $0^\circ$ | $0$ | $0$ |
| $30^\circ$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{12}$ |
| $60^\circ$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{1}{6}$ |
| $90^\circ$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{1}{4}$ |
| $180^\circ$ | $\pi$ | $\frac{1}{2}$ |
| $360^\circ$ | $2\pi$ | $1$ |
Aus $180^\circ=\pi$ folgt durch Dritteln:
$$60^\circ=\frac{\pi}{3}$$
Durch anschließendes Halbieren folgt:
$$30^\circ=\frac{\pi}{6}$$
So leitest du beide Werte her, statt sie nur zu merken.
Winkel können auch negativ oder größer als ein Vollwinkel sein. Das Vorzeichen beschreibt die Drehrichtung: Gegen den Uhrzeigersinn zählt positiv, im Uhrzeigersinn negativ. Die Umrechnungsformeln bleiben unverändert.
Bogenmaß, Bogenlänge und Taschenrechner unterscheiden
Das Bogenmaß gehört zum Winkel. Die Bogenlänge $b$ gehört dagegen zu einem konkreten Kreis und hängt zusätzlich vom Radius $r$ ab.
Ist $\alpha$ im Gradmaß angegeben, gilt:
$$b=\frac{\alpha\pi r}{180^\circ}$$
Ist der Winkel als Bogenmaß $\varphi$ angegeben, lässt sich derselbe Zusammenhang kurz schreiben:
$$b=r\cdot\varphi$$
Am Einheitskreis ist $r=1$. Dann gilt $b=\varphi$; genau deshalb kann die Bogenlänge dort die Maßzahl des Bogenmaßes darstellen.
Ein Kreisbogen gehört zu einem Winkel von $60^\circ$ und einem Kreis mit Radius $r=3\,\mathrm{cm}$.
Zuerst wandelst du den Winkel um: $60^\circ=\frac{\pi}{3}$. Dann rechnest du:
$$b=r\cdot\varphi=3\,\mathrm{cm}\cdot\frac{\pi}{3}=\pi\,\mathrm{cm}$$
Die Bogenlänge beträgt also exakt $\pi\,\mathrm{cm}$, näherungsweise $3{,}14\,\mathrm{cm}$.
Bei trigonometrischen Rechnungen muss der Taschenrechner zum Winkelmaß passen:
- DEG oder D steht für Gradmaß.
- RAD oder R steht für Bogenmaß.
Prüfe vor einer Sinus-, Kosinus- oder Tangensrechnung die Anzeige. Eine richtige Eingabe im falschen Modus liefert ein unpassendes Ergebnis.
Jetzt wendest du die Umrechnung selbst an
Bearbeite die Aufgaben zuerst ohne Blick auf den Lösungsweg.
- Wandle $150^\circ$ exakt ins Bogenmaß um.
- Wandle $\frac{5\pi}{3}\,\mathrm{rad}$ ins Gradmaß um.
- Ein Kreis hat den Radius $4\,\mathrm{cm}$. Berechne die Bogenlänge zu einem Winkel von $\frac{\pi}{2}$.
- Erkläre den Fehler: Jemand rechnet $45^\circ\cdot\frac{180^\circ}{\pi}$, um das Bogenmaß zu bestimmen.
Lösungen
- $150^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}$. Das exakte Bogenmaß ist $\frac{5\pi}{6}\,\mathrm{rad}$.
- $\frac{5\pi}{3}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=5\cdot60^\circ=300^\circ$.
- $b=r\cdot\varphi=4\,\mathrm{cm}\cdot\frac{\pi}{2}=2\pi\,\mathrm{cm}$. Die Länge beträgt näherungsweise $6{,}28\,\mathrm{cm}$.
- Der Faktor gehört zur Gegenrichtung. Von Grad zu Bogenmaß muss mit $\frac{\pi}{180^\circ}$ multipliziert werden. Richtig ist $45^\circ=\frac{\pi}{4}$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Winkelgröße
- Gradmaß: Vollkreis $360^\circ$
- Bogenmaß: Vollkreis $2\pi\,\mathrm{rad}$
- Grundbeziehung: $180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}$
- Umrechnen
- Grad zu Bogenmaß: mal $\frac{\pi}{180^\circ}$
- Bogenmaß zu Grad: mal $\frac{180^\circ}{\pi}$
- Anwenden
- Bogenlänge: $b=r\cdot\varphi$
- Taschenrechner: DEG oder RAD prüfen
Abschluss-Check
Wenn du bei jeder Aufgabe zuerst die Richtung des Einheitenwechsels bestimmst und anschließend Einheit sowie Größenordnung prüfst, kannst du Gradmaß, Bogenmaß und Bogenlänge sicher auseinanderhalten.