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Umkehraufgaben einfach erklärt und sicher lösen
Eine Umkehraufgabe macht eine Rechnung rückgängig. Plus und Minus gehören dabei zusammen, ebenso Mal und Geteilt. Mit einer Umkehraufgabe kannst du fehlende Zahlen finden und Ergebnisse prüfen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Eine Rechnung rückwärts denken
Stell dir vor, du gehst sieben Schritte vor und danach sieben Schritte zurück. Am Ende bist du wieder am Ausgangspunkt. Genau diese Idee steckt hinter Umkehraufgaben.
Umkehraufgabe
Eine Umkehraufgabe verwendet dieselben beteiligten Zahlen, aber die entgegengesetzte Rechenart. Sie gewinnt eine Zahl der Ausgangsaufgabe zurück.
Die Rechenarten bilden zwei Paare:
- Addition und Subtraktion: Plus ↔ Minus
- Multiplikation und Division: Mal ↔ Geteilt
Der Frosch startet bei 4 und springt 7 Felder vor:
$4 + 7 = 11$
Die Umkehraufgabe führt ihn 7 Felder zurück:
$11 - 7 = 4$
Die zweite Rechnung macht die erste rückgängig.
Frage dich: Welche Rechnung bringt mich zum Anfang zurück?
Plus und Minus gehören zusammen
Bei einer Addition werden zwei Zahlen zusammengezählt. Aus der Summe kannst du jeden der beiden Summanden durch Subtraktion zurückgewinnen.
Aus der Addition
$8 + 5 = 13$
entstehen zwei Umkehraufgaben:
$13 - 5 = 8$
$13 - 8 = 5$
In allen drei Rechnungen kommen nur die Zahlen 8, 5 und 13 vor.
Du kannst auch mit einer Subtraktion beginnen:
$20 - 7 = 13$
Um die Subtraktion rückgängig zu machen, addierst du die weggenommene Zahl wieder:
$13 + 7 = 20$
Du erhältst den ursprünglichen Wert 20 zurück.
Bei Plus und Minus ist die größte der drei Zahlen die Summe. Sie steht bei den Minusaufgaben am Anfang.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Zur Aufgabe $14 + 5 = 19$ passt die Umkehraufgabe $ - = $. Aus Plus wird dabei .
Mal und Geteilt gehören zusammen
Eine Multiplikation fasst gleich große Gruppen zusammen. Eine Division zerlegt das Ergebnis wieder in solche Gruppen.
$4 \cdot 3 = 12$
Dazu gehören zwei Umkehraufgaben:
$12 : 3 = 4$
$12 : 4 = 3$
Beide Divisionen gewinnen einen Faktor der Malaufgabe zurück.
Wenn du eine Geteiltaufgabe kennst, kannst du sie mit einer Malaufgabe prüfen:
$12 : 3 = 4$ wird durch $4 \cdot 3 = 12$ geprüft.
Eine passende Umkehraufgabe ohne Rest entsteht hier, weil die Ausgangszahl vollständig in gleich große Gruppen geteilt werden kann.
Aufgabenfamilien erkennen und Tauschaufgaben unterscheiden
Mehrere Rechnungen mit denselben drei Zahlen bilden eine Aufgabenfamilie. Für 5, 4 und 9 lautet die Plus-Minus-Familie:
- $5 + 4 = 9$
- $4 + 5 = 9$
- $9 - 5 = 4$
- $9 - 4 = 5$
Dabei sind nicht alle Rechnungen Umkehraufgaben voneinander.
Tauschaufgabe
Bei einer Tauschaufgabe werden die Summanden einer Addition oder die Faktoren einer Multiplikation vertauscht. Das Rechenzeichen und das Ergebnis bleiben gleich.
So erkennst du den Unterschied:
- Umkehraufgabe: Die Rechenart wechselt, zum Beispiel von Plus zu Minus.
- Tauschaufgabe: Die Rechenart bleibt gleich, zum Beispiel $5 + 4 = 9$ und $4 + 5 = 9$.
Tauschaufgaben funktionieren bei Addition und Multiplikation. Bei Subtraktion und Division darfst du die Zahlen nicht einfach vertauschen: $9 - 5$ und $5 - 9$ haben nicht dasselbe Ergebnis.
Fehlende Zahlen finden und Ergebnisse prüfen
Umkehraufgaben helfen bei Aufgaben mit einer Lücke. Überlege zuerst, welche Zahl du durch die entgegengesetzte Rechenart zurückgewinnen kannst.
Gesucht ist die fehlende Zahl:
$\square + 6 = 19$
Die passende Umkehraufgabe lautet:
$19 - 6 = 13$
Also ist $\square = 13$. Die Probe bestätigt das Ergebnis:
$13 + 6 = 19$
Auch ein berechnetes Ergebnis kannst du prüfen.
Behauptung: $16 + 3 = 19$
Prüfung: $19 - 3 = 16$
Die Umkehraufgabe führt zur Ausgangszahl zurück. Das Ergebnis 19 passt daher zur Aufgabe.
Eine fehlgeschlagene Probe zeigt, dass mindestens eine beteiligte Rechnung nicht stimmt. Dann rechnest du die Ausgangsaufgabe noch einmal sorgfältig.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Umkehraufgaben
- Plus und Minus machen einander rückgängig
- Mal und Geteilt machen einander rückgängig
- Aufgabenfamilien verbinden Rechnungen mit denselben Zahlen
- Tauschaufgaben behalten die Rechenart bei
- Proben prüfen Ergebnisse
- Umkehrungen bestimmen fehlende Zahlen
Abschluss-Check
Du kannst Umkehraufgaben jetzt an zwei Merkmalen erkennen: Die beteiligten Zahlen bleiben zusammen, und die Rechenart wechselt zum passenden Gegenstück. Nutze dieses Wissen, um Aufgabenfamilien zu bilden, Lücken zu füllen und Rechnungen zu kontrollieren.