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Verschiebung in der Geometrie einfach erklärt
Bei einer Verschiebung bewegst du jeden Punkt einer Figur gleich weit und in dieselbe Richtung. Die Figur ändert dabei nur ihre Lage: Sie wird weder gedreht noch verformt und bleibt mit der Ausgangsfigur deckungsgleich.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was passiert bei einer Verschiebung?
Stell dir eine Figur auf kariertem Papier vor. Du schiebst sie zum Beispiel fünf Kästchen nach rechts und drei Kästchen nach oben. Genau diese Bewegung führt jeder Punkt der Figur aus.
Verschiebung
Eine Verschiebung, auch Parallelverschiebung oder Translation, ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst. Jedem Ausgangspunkt $P$ wird genau ein Bildpunkt $P'$ zugeordnet. Der Pfeil von $P$ nach $P'$ ist für alle Punkte gleich lang und hat denselben Richtungssinn.
Weil alle Punkte dieselbe Bewegung ausführen, bleiben Form und Größe erhalten. Ausgangsfigur und Bildfigur sind deckungsgleich: Würdest du sie übereinanderlegen, passten sie exakt aufeinander.
Eine Verschiebung verändert die Lage, aber nicht die Form, die Größe oder die Ausrichtung einer Figur.
Wie liest du einen Verschiebungspfeil?
Ein Verschiebungspfeil beschreibt die gesamte Bewegung. Seine Länge gibt die Verschiebungsweite an. Seine Ausrichtung gibt die Richtung an, etwa waagerecht. Die Pfeilspitze zeigt den Richtungssinn, etwa nach rechts statt nach links.
Im Kästchenraster kannst du einen schrägen Pfeil als zwei Teilwege lesen: einen waagerechten Weg nach links oder rechts und einen senkrechten Weg nach oben oder unten.
Ein Pfeil bedeutet: 8 Kästchen nach rechts und 2 Kästchen nach unten.
Beginne an einem Punkt $A$. Gehe 8 Kästchen nach rechts und anschließend 2 Kästchen nach unten. Dort liegt der Bildpunkt $A'$. Für jeden weiteren Punkt wiederholst du genau diese beiden Teilwege.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die des Pfeils gibt die Verschiebungsweite an. Die Pfeilspitze zeigt den . Für alle Punkte einer Figur sind die Verschiebungspfeile .
Wie konstruierst du die Bildfigur?
Du brauchst den Verschiebungspfeil und die Eckpunkte der Ausgangsfigur.
- Wähle einen Eckpunkt.
- Übertrage den Verschiebungspfeil mit gleicher Länge und gleichem Richtungssinn auf diesen Punkt.
- Markiere das Pfeilende als Bildpunkt, zum Beispiel $A'$.
- Wiederhole das für alle übrigen Eckpunkte.
- Verbinde die Bildpunkte in derselben Reihenfolge wie die Ausgangspunkte.
Das Rechteck hat die Eckpunkte $A(2|1)$, $B(5|1)$, $C(5|3)$ und $D(2|3)$. Es soll 5 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben verschoben werden.
Für $A$ gilt: $2 + 5 = 7$ und $1 + 3 = 4$. Also ist $A'(7|4)$.
Mit demselben Rechenweg erhältst du:
- $B'(10|4)$
- $C'(10|6)$
- $D'(7|6)$
Verbinde $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ in dieser Reihenfolge. Das Bild ist wieder ein gleich großes, gleich ausgerichtetes Rechteck.
Verschiebe nicht nur einen Punkt. Übertrage denselben Pfeil auf jeden Eckpunkt und verbinde erst danach die Bildpunkte.
Woran erkennst du Verschiebungen und Muster?
Zwei deckungsgleiche Figuren können durch eine Verschiebung zusammenpassen. Deckungsgleichheit allein reicht aber noch nicht als Begründung: Die Figuren könnten auch gedreht oder gespiegelt worden sein.
Prüfe deshalb entsprechende Punkte. Sind die Pfeile von jedem Ausgangspunkt zu seinem Bildpunkt gleich lang, parallel und gleich gerichtet, liegt eine Verschiebung vor.
Verschiebungssymmetrie
Eine Figur ist verschiebungssymmetrisch, wenn eine erkennbare Grundfigur wiederholt durch dieselbe Verschiebung an neue Stellen gelangt. Eine solche Wiederholung kann ein Bandornament bilden.
Eine Grundfigur wird mehrfach jeweils 4 Kästchen nach rechts verschoben. Die Wiederholungen haben gleiche Form und Größe, und zwischen benachbarten Figuren gilt stets derselbe Verschiebungspfeil. So entsteht ein verschiebungssymmetrisches Bandornament.
Vertiefung: Welche Sonderfälle gibt es?
Bei einer Verschiebungsweite von 0 bleibt jeder Punkt an seinem Platz. Diese besondere Verschiebung heißt identische Abbildung.
Bei jeder Verschiebung mit einer Weite größer als 0 wechselt dagegen jeder Punkt seinen Platz. Es gibt dann keinen Fixpunkt, also keinen Punkt, der unverändert bleibt.
Eine Gerade, die parallel zum Verschiebungspfeil verläuft, wird als ganze Punktmenge auf sich selbst abgebildet. Sie heißt deshalb Fixgerade. Die einzelnen Punkte auf ihr bleiben dabei nicht fest; sie wandern nur zu anderen Punkten derselben Geraden.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Verschiebung
- Beschreibung: gleicher Pfeil für jeden Punkt
- Ergebnis: Lage neu, Form und Größe gleich
- Konstruktion: Eckpunkte verschieben und Bildpunkte verbinden
- Erkennen: entsprechende Punktpfeile vergleichen
- Muster: Grundfigur wiederholt verschieben
- Sonderfall: Weite 0 ist die identische Abbildung