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Verteilungsfunktion: Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Verteilungsfunktion beantwortet für jeden Wert $x$ die Frage: „Wie wahrscheinlich ist es, dass die Zufallsvariable $X$ höchstens $x$ beträgt?“ Kurz:
$$F(x)=P(X\le x)$$
Sie sammelt also alle Wahrscheinlichkeiten links von $x$ einschließlich der Stelle $x$. Auf dieser Seite lernst du, Verteilungsfunktionen zu lesen, selbst aufzustellen und damit Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was sammelt die Verteilungsfunktion?
Stell dir vor, $X$ ist die Augenzahl eines fairen Würfels. Dann bedeutet
$$F(4)=P(X\le 4).$$
Gesucht sind die Ergebnisse $1$, $2$, $3$ und $4$. Weil jede Augenzahl die Wahrscheinlichkeit $\frac16$ hat, gilt:
$$F(4)=\frac16+\frac16+\frac16+\frac16=\frac46=\frac23.$$
Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariablen $X$ ordnet jedem Wert $x$ die kumulierte Wahrscheinlichkeit $F(x)=P(X\le x)$ zu. „Kumuliert“ bedeutet: Die Wahrscheinlichkeiten werden bis einschließlich $x$ angesammelt.
Die Schreibweise hilft beim Übersetzen:
- höchstens $x$, maximal $x$ oder nicht mehr als $x$ bedeutet $X\le x$ und damit $F(x)$;
- mehr als $x$ bedeutet $X>x$ und damit $1-F(x)$;
- genau $x$ bedeutet $X=x$ und ist im diskreten Fall nur die Wahrscheinlichkeit an einer einzelnen Stelle.
$F(x)$ ist keine Einzelwahrscheinlichkeit. Es ist die Summe oder angesammelte Fläche aller Wahrscheinlichkeiten bis einschließlich $x$.
Wie entsteht eine diskrete Treppenfunktion?
Eine diskrete Zufallsvariable nimmt einzelne, voneinander getrennte Werte an. Ihre Verteilungsfunktion entsteht, indem du die Einzelwahrscheinlichkeiten von links nach rechts addierst.
Betrachte ein Losspiel. Der Gewinn $X$ kann die Werte $-2\,€$, $1\,€$ und $2\,€$ annehmen:
| Gewinn $x$ | $P(X=x)$ | angesammelte Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| $-2\,€$ | $\frac16$ | $\frac16$ |
| $1\,€$ | $\frac23$ | $\frac16+\frac23=\frac56$ |
| $2\,€$ | $\frac16$ | $\frac56+\frac16=1$ |
Damit lautet die Verteilungsfunktion:
$$F(x)=\begin{cases}0,&x\lt-2,\\\frac16,&-2\le x\lt1,\\\frac56,&1\le x\lt2,\\1,&x\ge2.\end{cases}$$
Für $x=0$ liegt nur der mögliche Wert $-2$ links von $0$. Deshalb ist $F(0)=\frac16$.
Für $x=1$ gehören dagegen $-2$ und $1$ dazu. Deshalb ist $F(1)=\frac16+\frac23=\frac56$.
Der Wert an der Sprungstelle gehört bereits zur oberen Stufe. Das passt zum Zeichen $\le$ in $P(X\le x)$.
Der Graph ist eine Treppenfunktion:
- Zwischen zwei möglichen Werten bleibt $F$ konstant, weil dort keine neue Wahrscheinlichkeit hinzukommt.
- An einem möglichen Wert springt $F$ nach oben.
- Die Sprunghöhe bei $x$ ist genau $P(X=x)$.
So kannst du die Einzelwahrscheinlichkeit aus dem Sprung zurückgewinnen. Schreibe $F(x-)$ für den Wert, dem sich die Funktion von links nähert. Dann gilt:
$$P(X=x)=F(x)-F(x-).$$
Wie berechnest du Bereiche richtig?
Mit einer Verteilungsfunktion kannst du Wahrscheinlichkeiten für Bereiche berechnen. Drei Regeln sind besonders wichtig:
$$P(X\le b)=F(b)$$
$$P(X>b)=1-F(b)$$
$$P(a\lt X\le b)=F(b)-F(a)$$
Die letzte Regel funktioniert, weil $F(b)$ alles bis $b$ enthält. Wenn du $F(a)$ abziehst, entfernst du alles bis einschließlich $a$. Übrig bleibt der Bereich $a\lt X\le b$.
Beim fairen Würfel ist $F(5)=\frac56$ und $F(2)=\frac26$.
Für $2\lt X\le5$ rechnest du:
$$P(2\lt X\le5)=F(5)-F(2)=\frac56-\frac26=\frac36=\frac12.$$
Das Ergebnis passt zur Kontrolle: Die günstigen Augenzahlen 3, 4 und 5 sind drei von sechs gleich wahrscheinlichen Ergebnissen.
Bei einer diskreten Zufallsvariablen musst du auf offene und geschlossene Grenzen achten. Soll die untere Grenze dazugehören, brauchst du den linksseitigen Wert:
$$P(a\le X\le b)=F(b)-F(a-).$$
Für den Würfel gilt zum Beispiel $P(2\le X\le5)=\frac46$, denn 2, 3, 4 und 5 gehören dazu. Würdest du $F(2)$ abziehen, würdest du die 2 fälschlich entfernen.
Die sichere Standardregel lautet $P(a\lt X\le b)=F(b)-F(a)$. Im diskreten Fall entscheidet jedes $\lt$ oder $\le$ darüber, ob eine Sprungwahrscheinlichkeit dazugehört.
Was ändert sich bei stetigen Verteilungen?
Eine stetige Zufallsvariable kann Werte in ganzen Intervallen annehmen. Wenn sie eine Dichtefunktion $f$ besitzt, ist die Verteilungsfunktion die angesammelte Fläche unter der Dichte:
$$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt.$$
Die Höhe $f(x)$ ist dabei keine Wahrscheinlichkeit an der einzelnen Stelle. Für jeden einzelnen Wert gilt im stetigen Fall:
$$P(X=x)=0.$$
Deshalb machen offene oder geschlossene Intervallgrenzen bei stetigen Verteilungen keinen Unterschied. Zum Beispiel gilt:
$$P(a\lt X\lt b)=P(a\le X\le b)=F(b)-F(a).$$
Eine Zufallsvariable besitzt die Dichte
$$f(x)=\begin{cases}0,&x\lt0,\\\frac{x}{2},&0\le x\le2,\\0,&x>2.\end{cases}$$
Zwischen 0 und 2 sammelst du die Fläche durch Integration:
$$F(x)=\int_0^x\frac{t}{2}\,dt=\frac{x^2}{4}.$$
Insgesamt gilt daher:
$$F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0,\\\frac{x^2}{4},&0\le x\le2,\\1,&x>2.\end{cases}$$
Für den Bereich von $0{,}6$ bis $1{,}2$ erhältst du:
$$P(0{,}6\lt X\lt1{,}2)=F(1{,}2)-F(0{,}6)=0{,}36-0{,}09=0{,}27.$$
Woran erkennst du eine mögliche Verteilungsfunktion?
Nicht jede Funktion mit Werten zwischen 0 und 1 ist eine Verteilungsfunktion. Eine Verteilungsfunktion erfüllt immer diese Bedingungen:
- Sie fällt nie. Wenn $x$ größer wird, können nur weitere Ergebnisse hinzukommen. Deshalb ist $F$ monoton nicht fallend.
- Sie nähert sich links der 0. Für sehr kleine $x$ wird $P(X\le x)$ beliebig klein.
- Sie nähert sich rechts der 1. Für sehr große $x$ sind schließlich alle möglichen Ergebnisse erfasst.
- Sie ist rechtsstetig. An einer Sprungstelle gehört der Punkt wegen $X\le x$ bereits zum oberen Funktionswert.
Eine Verteilungsfunktion muss nicht überall streng steigen. Waagerechte Abschnitte bedeuten, dass in diesem Bereich keine Wahrscheinlichkeit liegt. Sprünge zeigen positive Einzelwahrscheinlichkeiten. Eine stetige Verteilungsfunktion muss wiederum nicht überall eine Dichte besitzen; für den schulischen Standardfall mit Dichte gilt jedoch $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt$.
Typische Fehlentscheidungen
- Ein fallender Abschnitt ist unmöglich: Gesammelte Wahrscheinlichkeit kann nicht verschwinden.
- Ein Funktionswert unter 0 oder über 1 ist unmöglich: Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1.
- Ein rechter Grenzwert kleiner als 1 ist unmöglich: Dann wäre ein Teil der gesamten Wahrscheinlichkeit nie erfasst.
- Ein Sprung ist nicht automatisch ein Fehler: Bei einer diskreten Verteilung ist er sogar typisch.
Wie vermeidest du die häufigsten Fehler?
Nutze bei jeder Aufgabe diese vier Schritte:
- Übersetze den Text. Schreibe zum Beispiel „höchstens $b$“ als $X\le b$.
- Prüfe die Art der Verteilung. Bei diskreten Verteilungen können Randpunkte positive Wahrscheinlichkeit tragen; bei stetigen nicht.
- Wähle die passende Regel. Nutze $F(b)$, $1-F(b)$ oder eine Differenz von Funktionswerten.
- Prüfe das Ergebnis. Eine Wahrscheinlichkeit muss zwischen 0 und 1 liegen und zum beschriebenen Bereich passen.
Im Losspiel gilt $F(1)=\frac56$. Die Fragen „höchstens $1\,€$“ und „genau $1\,€$“ klingen ähnlich, verlangen aber unterschiedliche Rechnungen:
$$P(X\le1)=F(1)=\frac56,$$
$$P(X=1)=F(1)-F(1-)=\frac56-\frac16=\frac23.$$
Der Unterschied ist die bereits vor 1 angesammelte Wahrscheinlichkeit $\frac16$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die Verteilungsfunktion beschreibt mit $F(x)=P()$ eine angesammelte Wahrscheinlichkeit. Für den Bereich $a\lt X\le b$ rechnest du $$. Bei einer diskreten Verteilung entspricht die Sprunghöhe an $x$ der Wahrscheinlichkeit $$. Bei einer stetigen Zufallsvariablen gilt für einen einzelnen Wert $$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Verteilungsfunktion $F(x)=P(X\le x)$
- Bedeutung: Wahrscheinlichkeit bis einschließlich $x$
- Diskret: Summe von Einzelwahrscheinlichkeiten
- Stetig mit Dichte: Fläche unter $f$
- Bereiche: Differenz zweier Funktionswerte
- Gegenbereich: $1-F(x)$
- Eigenschaften: nicht fallend, rechtsstetig, Grenzen 0 und 1