Vollständige Induktion

Manche Aussagen sollen für unendlich viele natürliche Zahlen gelten. Die vollständige Induktion beweist so etwas mit einem Start und einem sicheren Weitergehen.

    :::lernziele
    - Ich kann Induktionsanfang und Induktionsschritt unterscheiden.

• Ich kann eine Induktionsvoraussetzung formulieren.

• Ich kann Summenformeln beweisen.

• Ich kann typische Lücken vermeiden. :::

    ## Grundidee
  
    Stell dir eine Reihe Dominosteine vor. Der erste Stein fällt. Außerdem weißt du: Jeder fallende Stein stößt den nächsten an. Dann fallen alle Steine.
  
    :::definition Vollständige Induktion
    Die **vollständige Induktion** ist ein Beweisverfahren für Aussagen über natürliche Zahlen. Man zeigt einen Anfang und dann: Wenn die Aussage für n gilt, gilt sie auch für n+1.
    :::
  
    :::beispiel
    Für 1+2+...+n = n(n+1)/2 ist der Anfang n=1 richtig: links 1, rechts 1 mal 2 geteilt durch 2 = 1.
    :::
  
    :::merke
    Ohne Anfang kein Start. Ohne Schritt keine Kette.
    :::
  
    :::quiz
    ?1 Was zeigt der Induktionsanfang?
    + Dass die Aussage für den ersten Wert stimmt.
    - Dass alle Werte sofort geprüft sind. => Alle Werte folgen erst mit dem Schritt.
    ! Dass die Aussage für den ersten Wert stimmt. ist richtig.
    ?2 Was darfst du im Induktionsschritt annehmen?
    + Dass die Aussage für n gilt.
    - Dass die Aussage für n+1 schon bewiesen ist. => n+1 ist gerade das Ziel.
    ! Achte auf die genaue Regel und prüfe dein Ergebnis.
    :::
  
    ## Methode Schritt für Schritt
  
    Im Induktionsschritt nimmst du die Aussage für n an. Dann zeigst du sie für n+1, indem du den nächsten Summanden addierst und umformst.
  
    :::beispiel
    Aus n(n+1)/2 plus (n+1) wird (n+1)(n/2+1) = (n+1)(n+2)/2. Das ist genau die Formel für n+1.
    :::
  
    :::lueckentext
    Induktion braucht Anfang und {*Schritt|Diagramm}. Im Schritt nutzt du die {*Induktionsvoraussetzung|Wertemenge}.
    ! Wenn du die Schlüsselwörter richtig zuordnest, passt auch die Rechenidee.
    :::

Prüfungsmodus

In Klassenarbeiten erkennst du das Thema oft nicht am Namen, sondern an der Aufgabe. Frage dich zuerst: Was ist gegeben, was ist gesucht, und welche Bedingung muss am Ende stimmen?

    ## Alles auf einen Blick

    :::karten
    Anfang => erster Fall stimmt

Voraussetzung => Aussage gilt für n Schritt => daraus folgt n plus 1 :::

    :::mindmap
    Induktion

Anfang Voraussetzung Schritt Ziel für n plus 1 :::

    ## Abschluss-Check

    :::quiz
    ?1 Warum reicht es nicht, nur n=1,2,3 zu prüfen?
    + Weil damit nicht alle natürlichen Zahlen bewiesen sind.
    - Weil diese Werte immer falsch sind. => Beispiele ersetzen keinen allgemeinen Beweis.
    ! Entscheide zuerst, welche Information wirklich gefragt ist.
    ?2 Was ist eine gute Probe?
    + Du setzt dein Ergebnis wieder in die Aufgabe oder die Bedeutung ein.
    - Du vergleichst nur, ob die Zahl schön aussieht. => Eine Probe muss zur Aufgabe passen.
    ! Eine Probe schützt dich vor Vorzeichen-, Stellenwert- und Einheitenfehlern.
    ?3 Wie gehst du bei einer gemischten Aufgabe vor?
    + Erst Thema erkennen, dann passende Regel wählen, dann rechnen und prüfen.
    - Sofort irgendeine Formel einsetzen. => Die Formel muss zur Situation passen.
    ! Diese Reihenfolge hilft besonders in Klassenarbeiten.
    :::

    ## Zusammenfassung

    Vollständige Induktion ist ein sauberer Kettenbeweis. Du beweist den Start und dann, dass jeder wahre Fall den nächsten wahr macht.