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Wertemenge bestimmen: Graphen und Parabeln
Die Wertemenge enthält alle Werte, die eine Funktion tatsächlich als Ergebnis annehmen kann. Du untersuchst also nicht, welche Zahlen du für $x$ einsetzen darfst, sondern welche Zahlen dabei für $y=f(x)$ herauskommen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Von zulässigen Eingaben zu möglichen Ausgaben
Eine Funktion ordnet jedem zulässigen Eingabewert $x$ genau einen Funktionswert $f(x)$ zu. Die zulässigen Eingaben bilden die Definitionsmenge. Alle tatsächlich entstehenden Ausgaben bilden die Wertemenge oder den Wertebereich.
Wertemenge
Die Wertemenge $W$ ist die Menge aller Werte $f(x)$, die entstehen, wenn du sämtliche zulässigen $x$-Werte aus der Definitionsmenge berücksichtigst. Ein einzelnes Ergebnis ist nur ein Element dieser Menge.
Für $f(x)=3x$ gilt bei $x=2$:
$$f(2)=3\cdot 2=6$$
Damit ist $6$ ein Element der Wertemenge. Weil jeder reelle Wert $y$ durch die Eingabe $x=y:3$ erreicht werden kann, lautet die gesamte Wertemenge $W=ℝ$.
Definitionsmenge: Was darf für $x$ eingesetzt werden? Wertemenge: Was kann als $f(x)$ herauskommen?
Die Wertemenge am Graphen ablesen
Im Koordinatensystem zeigt die waagerechte Achse die $x$-Werte und die senkrechte Achse die $y$-Werte. Für die Wertemenge betrachtest du deshalb die Höhen, die der Graph erreicht.
Gehe in drei Schritten vor:
- Wandere gedanklich von unten nach oben entlang der $y$-Achse.
- Prüfe bei jeder Höhe, ob der Graph dort mindestens einen Punkt besitzt.
- Untersuche an Grenzen, ob der Randwert wirklich angenommen oder nur angenähert wird.
Ein Tiefpunkt liefert einen kleinsten Funktionswert, ein Hochpunkt einen größten. Eine Asymptote kann auf einen Wert hinweisen, den der Graph nur annähert. Entscheidend bleibt immer: Berührt oder erreicht der Graph diese Höhe tatsächlich?
Ein Graph besitzt einen Tiefpunkt mit dem $y$-Wert $-2$ und nimmt darüber jede Höhe an. Dann gehört $-2$ dazu und es gilt:
$$W=[-2;∞[$$
Nähert sich ein Graph dagegen der Höhe $-2$ nur an, ohne sie zu erreichen, lautet das Intervall:
$$W=]-2;∞[$$
Wertemengen quadratischer Funktionen bestimmen
Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform lautet
$$f(x)=a\cdot(x-d)^2+e.$$
Ihr Scheitelpunkt hat den $y$-Wert $e$. Weil ein Quadrat nie negativ ist, entscheidet das Vorzeichen von $a$, ob $e$ der kleinste oder der größte Funktionswert ist.
- Für $a>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet. Dann gilt $W=[e;∞[$.
- Für $a<0$ ist die Parabel nach unten geöffnet. Dann gilt $W=]-∞;e]$.
Der Randwert $e$ gehört immer dazu, weil die Funktion ihn bei $x=d$ tatsächlich annimmt.
Gegeben ist
$$f(x)=3(x-2)^2+1.$$
- Der Faktor $a=3$ ist positiv: Die Parabel ist nach oben geöffnet.
- Der Scheitelwert ist $e=1$: Er ist der kleinste Funktionswert.
- Bei $x=2$ wird das Quadrat null, also ist $f(2)=1$.
Damit gilt:
$$W=[1;∞[$$
Für
$$g(x)=-2(x-5)^2+4$$
ist $a=-2$ negativ. Die Parabel ist nach unten geöffnet und besitzt den größten Funktionswert $4$:
$$W=]-∞;4]$$
Bei $a(x-d)^2+e$ verrät das Vorzeichen von $a$ die Richtung. Der Scheitelwert $e$ ist die eingeschlossene Grenze der Wertemenge.
Wertemengen richtig notieren und abgrenzen
Mit einer geschlossenen Klammer zeigst du: Der Randwert gehört zur Menge. Eine offene Klammer schließt ihn aus. $∞$ und $-∞$ sind keine erreichbaren Zahlen und stehen deshalb immer an einer offenen Seite.
- $[-5;6]$: alle Werte von $-5$ bis $6$, beide eingeschlossen
- $[2;9[$: $2$ eingeschlossen, $9$ ausgeschlossen
- $]5;∞[$: alle Werte größer als $5$
- $ℝ\setminus\{0\}$: alle reellen Zahlen außer $0$
- $\{1;2;3;4\}$: genau die vier genannten Werte
Zielmenge
Die Zielmenge gibt an, in welcher übergeordneten Menge die Ausgaben liegen sollen. Sie enthält die tatsächliche Wertemenge, kann aber zusätzliche Werte umfassen, die die Funktion nie annimmt.
Für $f(x)=x^2$ kann die Zielmenge $ℝ$ sein. Die tatsächliche Wertemenge ist jedoch $[0;∞[$, denn Quadrate sind nie negativ und jeder nichtnegative Wert kann als Quadrat entstehen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $f(x)=x^2$ ist die Definitionsmenge , die tatsächliche Wertemenge und der kleinste Funktionswert .
Eine vollständige Aufgabe lösen
Bestimme die Wertemenge von
$$f(x)=x^2-6x.$$
Der Term steht noch nicht in Scheitelpunktform. Ergänze ihn deshalb zu einem vollständigen Quadrat:
$$x^2-6x=(x-3)^2-9.$$
Nun erkennst du $a=1$ und $e=-9$.
- $a$ ist positiv, also ist die Parabel nach oben geöffnet.
- Der Scheitelwert $-9$ ist der kleinste Funktionswert.
- Bei $x=3$ wird der Wert $-9$ tatsächlich erreicht.
Daher lautet die Wertemenge:
$$W=[-9;∞[$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Wertemenge
- entsteht aus allen zulässigen Eingaben
- enthält alle tatsächlich erreichten Ausgaben
- wird am Graphen über erreichte Höhen abgelesen
- wird bei Parabeln durch Öffnung und Scheitelwert bestimmt
- wird mit Mengen oder Intervallen notiert
- ist von Definitionsmenge und Zielmenge zu unterscheiden
Abschluss-Check
Du kannst eine Wertemenge nun über den Weg zulässige Eingaben → mögliche Ausgaben verstehen. Am Graphen prüfst du erreichte Höhen; bei einer Parabel nutzt du Öffnungsrichtung und Scheitelwert.