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Funktionen verstehen: Term, Tabelle und Graph
Eine mathematische Funktion ordnet jedem zulässigen $x$-Wert genau einen $y$-Wert zu. Du kannst dieselbe Funktion als Vorschrift, Wertetabelle oder Graph darstellen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Funktion?
Stell dir eine Eingabe-Ausgabe-Maschine vor: Du gibst einen zulässigen Wert $x$ ein und erhältst genau einen Wert $y$.
Funktion
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung: Jedem $x$ aus dem Definitionsbereich wird genau ein $y$ zugeordnet. Der zugehörige Wert heißt Funktionswert und wird als $f(x)$ geschrieben.
$x$ heißt unabhängige Variable. Der Wert $y=f(x)$ hängt von $x$ ab.
Wichtig ist die Richtung: Ein $x$ darf nicht zwei verschiedene Funktionswerte besitzen. Umgekehrt dürfen zwei verschiedene $x$-Werte denselben Funktionswert haben. Bei $f(x)=x^2$ gilt zum Beispiel $f(-2)=4$ und $f(2)=4$; trotzdem ist die Zuordnung eine Funktion.
Frage bei jeder Zuordnung: „Gibt es zu jedem zulässigen $x$ genau ein $y$?“ Nur dann ist sie eine Funktion.
Wie wird aus einer Vorschrift ein Wertepaar?
Die Schreibweise $f(x)=x^2+3$ heißt Funktionsgleichung. Der Ausdruck $x^2+3$ ist der Funktionsterm. Die Zuordnung kann auch als $x\rightarrow x^2+3$ geschrieben werden.
Um einen Funktionswert zu berechnen, setzt du den gewählten $x$-Wert überall im Term ein.
Gesucht ist der Funktionswert von $f(x)=x^2+3$ an der Stelle $x=-2$.
- Setze $-2$ für $x$ ein: $f(-2)=(-2)^2+3$.
- Quadriere zuerst: $(-2)^2=4$.
- Addiere $3$: $f(-2)=7$.
Das zugehörige Wertepaar ist $(-2\mid 7)$. Der Punkt $P(-2\mid 7)$ liegt auf dem Graphen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $f(x)=x^2+3$ setzt du für $x=1$ die Zahl ein. Dann ist $f(1)=$. Das Wertepaar lautet .
Wie hängen Tabelle und Graph zusammen?
Eine Wertetabelle sammelt ausgewählte Eingaben und ihre Funktionswerte. Für $f(x)=x^2+3$ erhältst du:
| $x$ | $-2$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $7$ | $3$ | $4$ | $7$ |
Jede Spalte liefert ein Wertepaar: $(-2\mid7)$, $(0\mid3)$, $(1\mid4)$ und $(2\mid7)$. Trägst du diese Punkte in ein Koordinatensystem ein, siehst du Punkte des Funktionsgraphen. Der vollständige Graph besteht aus allen Wertepaaren $(x\mid f(x))$ für zulässige $x$.
Beim Einzeichnen gehst du zuerst auf der $x$-Achse zur ersten Koordinate und danach parallel zur $y$-Achse zur zweiten Koordinate.
Einen Graphen als Zusammenhang lesen
Wenn du einen Graphen von links nach rechts liest, wächst $x$. Werden dabei auch die $y$-Werte größer, steigt der Graph. Werden sie kleiner, fällt er. Bleiben sie gleich, verläuft der entsprechende Abschnitt waagerecht.
Bei einem Zeit-Temperatur-Graphen zeigt ein steigender Abschnitt, dass die Temperatur mit der Zeit zunimmt. Der Graph ist kein Foto eines Weges oder einer Landschaft, sondern stellt den Zusammenhang zweier Größen dar.
Welche Werte dürfen hinein und können herauskommen?
Definitionsbereich
Der Definitionsbereich $\mathbb D_f$ enthält alle Werte, die du für $x$ einsetzen darfst.
Nicht jeder Term erlaubt jede reelle Zahl. Typische Prüfungen sind:
- Ein Nenner darf nicht $0$ werden.
- Unter einer Quadratwurzel darf im Bereich der reellen Zahlen keine negative Zahl stehen.
Wertebereich
Der Wertebereich $\mathbb W_f$ enthält alle Werte, die als $y=f(x)$ tatsächlich entstehen können.
Beim Beispiel $f(x)=x^2+3$ darf $x$ jede reelle Zahl sein. Also ist $\mathbb D_f=\mathbb R$. Weil ein Quadrat nie negativ ist, gilt stets $x^2+3\geq3$. Der kleinste Funktionswert ist $3$; der Wertebereich besteht aus allen reellen Zahlen ab $3$.
Definitionsbereich: Was darf ich einsetzen? Wertebereich: Was kann als Ergebnis herauskommen?
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Funktion als eindeutige Zuordnung
- Eingabe: $x$ aus dem Definitionsbereich
- Vorschrift: Funktionsterm
- Ausgabe: $y=f(x)$ aus dem Wertebereich
- Darstellungen: Gleichung, Wertetabelle und Graph
- Graphenverlauf: steigend, fallend oder waagerecht
Abschluss-Check
Du kannst Funktionen nun an ihrer Eindeutigkeit erkennen, Funktionswerte berechnen und dieselbe Zuordnung als Term, Tabelle und Graph lesen.