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Funktionen helfen dir, Zusammenhänge zu beschreiben: Preis und Menge, Zeit und Strecke, Temperatur und Uhrzeit. Eine Eingabe führt dabei eindeutig zu einer Ausgabe.
Hier lernst du, was eine Funktion ist, wie du sie als Tabelle, Formel und Graph erkennst und wie du typische Aufgaben entscheidest.
- Ich kann erklären, was eine Funktion ist.
- Ich kann Eingabewert und Funktionswert unterscheiden.
- Ich kann Funktionswerte berechnen.
- Ich kann Wertetabelle und Graph verbinden.
- Ich kann erkennen, wann eine Zuordnung keine Funktion ist.
Was ist eine Funktion?
Eine Funktion ordnet jedem erlaubten Eingabewert genau einen Ausgabewert zu.
Funktion
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung: Zu jedem \(x\) aus dem Definitionsbereich gehört genau ein Funktionswert \(f(x)\).
Ein Eis kostet \(2\,€\).
Die Anzahl der Eiskugeln ist \(x\).
Der Preis ist \(f(x)=2x\).
Zu \(3\) Kugeln gehört genau ein Preis: \(f(3)=6\).
Ein x-Wert darf nicht zwei verschiedene y-Werte haben. Sonst ist es keine Funktion.
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Funktionswert berechnen
Der Ausdruck \(f(3)\) bedeutet: Setze \(x=3\) in die Funktionsgleichung ein.
Funktionswert
Der Funktionswert \(f(x)\) ist der Ausgabewert der Funktion zum Eingabewert \(x\).
Gegeben ist \(f(x)=3x+1\).
Berechne \(f(4)\):
\(f(4)=3\cdot4+1\)
\(f(4)=13\).
Gegeben ist \(g(x)=x^2-2\).
\(g(-3)=(-3)^2-2=9-2=7\).
Setze negative Zahlen in Klammern ein. Sonst entstehen Vorzeichenfehler.
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Tabelle, Graph und Formel
Eine Funktion kann auf verschiedene Arten dargestellt werden. Alle Darstellungen beschreiben denselben Zusammenhang.
Für \(f(x)=x+2\) entsteht diese Wertetabelle:
\(x=-1\): \(f(x)=1\)
\(x=0\): \(f(x)=2\)
\(x=1\): \(f(x)=3\)
Die Punkte \((-1|1)\), \((0|2)\) und \((1|3)\) liegen auf dem Graphen.
Graph
Der Graph einer Funktion ist die Menge aller Punkte \((x|f(x))\) im Koordinatensystem.
Aus einer Tabelle entstehen Punkte. Aus vielen Punkten erkennst du den Graphen.
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Keine Funktion erkennen
Nicht jede Zuordnung ist eine Funktion. Entscheidend ist, ob ein Eingabewert mehrere Ausgaben hat.
Zuordnung: "Kind \(\rightarrow\) Geburtsmonat" ist eine Funktion.
Jedes Kind hat genau einen Geburtsmonat.
Zuordnung: "Monat \(\rightarrow\) Kind mit Geburtstag" ist keine Funktion.
In einem Monat können mehrere Kinder Geburtstag haben.
Im Graphen hilft der Senkrecht-Test: Eine senkrechte Linie darf den Graphen höchstens einmal schneiden.
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Prüfungsmodus: Sprache übersetzen
In Aufgaben stehen Funktionen oft in Textform.
"Eine Taxifahrt kostet \(4\,€\) Grundpreis und \(2\,€\) pro Kilometer."
\(x\) ist die Kilometerzahl.
\(f(x)=4+2x\).
Bei \(10\) km:
\(f(10)=4+20=24\).
"Das Dreifache einer Zahl vermindert um 7."
Die Funktion ist \(f(x)=3x-7\).
Frage zuerst: Was wird eingesetzt? Was kommt heraus?
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Eine Funktion ordnet jedem erlaubten x-Wert genau einen Funktionswert zu. Du kannst Funktionen als Formel, Tabelle, Graph oder Text sehen.
Zum Rechnen setzt du den x-Wert ein. Zum Zeichnen machst du aus x und f(x) Punkte im Koordinatensystem.