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Definitionsmenge und Wertemenge einfach erklärt
Die Definitionsmenge enthält alle erlaubten Eingaben einer Funktion. Die Wertemenge enthält alle Ausgaben, die daraus tatsächlich entstehen. Du prüfst also zuerst: „Welche Zahlen darf ich für $x$ einsetzen?“ Danach fragst du: „Welche Werte kann $f(x)$ annehmen?“
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Eingaben und Ausgaben unterscheiden
Eine Funktion ordnet jedem erlaubten Eingabewert $x$ genau einen Ausgabewert $y=f(x)$ zu.
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge $D$ ist die Menge aller Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst.
Wertemenge
Die Wertemenge $W$ ist die Menge aller Werte, die als $y=f(x)$ für zulässige Eingaben tatsächlich entstehen. Wertebereich bedeutet dasselbe.
Gegeben sind $f(x)=2x$ und $D=\{1;2;3;4\}$.
- $f(1)=2\cdot1=2$
- $f(2)=2\cdot2=4$
- $f(3)=2\cdot3=6$
- $f(4)=2\cdot4=8$
Damit ist $W=\{2;4;6;8\}$. Die Definitionsmenge nennt die vier Eingaben; die Wertemenge sammelt ihre vier Ausgaben.
Die Definitionsmenge bestimmen
Wenn keine Definitionsmenge vorgegeben ist, suchst du die größtmögliche Menge zulässiger Eingaben. Beginne mit den reellen Zahlen und schließe alle verbotenen Werte aus.
Achte besonders auf diese Stellen:
- Bruch: Der Nenner darf nicht $0$ werden.
- Quadratwurzel: Unter der Wurzel darf keine negative Zahl stehen.
- Logarithmus: Sein Argument muss größer als $0$ sein.
Für $f(x)=2x-1$ gibt es keinen Nenner, keine Wurzel und keinen Logarithmus. Jede reelle Zahl darf eingesetzt werden:
$$D=\mathbb R$$
Bei $g(x)=\sqrt{x}$ muss $x\geq 0$ gelten. Deshalb ist
$$D=[0;\infty[=\mathbb R_0^+$$
Die Zahl $0$ ist erlaubt und wird deshalb mit einer geschlossenen Klammer aufgenommen.
Prüfe die Definitionsmenge vor der Wertemenge. Verbotene Eingaben dürfen bei der Suche nach Ausgaben nicht verwendet werden.
Die Wertemenge bestimmen
Für die Wertemenge untersuchst du nur zulässige Eingaben. Frage dann, welche kleinsten, größten oder grundsätzlich unmöglichen Ausgaben es gibt.
Für $f(x)=x^2$ mit $D=\mathbb R$ gilt:
- Ein Quadrat ist niemals negativ.
- Der Wert $0$ wird mit $x=0$ erreicht.
- Jeder positive Wert kann ebenfalls entstehen.
Daher ist
$$W=[0;\infty[=\mathbb R_0^+$$
Für $g(x)=x^3$ mit $D=\mathbb R$ entstehen negative, positive und auch der Wert $0$. Jede reelle Zahl wird erreicht:
$$W=\mathbb R$$
Weitere typische Begrenzungen sind:
- Eine Quadratwurzel liefert keine negativen Ausgaben.
- Sinus und Kosinus liefern nur Werte von $-1$ bis $1$.
- Bei einer positiven Basis liefert eine Exponentialfunktion nur positive Werte, niemals $0$ oder negative Werte.
Wertemengen quadratischer Funktionen
Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform lautet
$$f(x)=a(x-d)^2+e$$
Der Scheitelpunkt hat den $y$-Wert $e$. Weil $(x-d)^2$ niemals negativ ist, entscheidet das Vorzeichen von $a$, ob $e$ der kleinste oder der größte Funktionswert ist.
- Bei $a>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet: $W=[e;\infty[$.
- Bei $a<0$ ist die Parabel nach unten geöffnet: $W=]-\infty;e]$.
Gegeben ist
$$f(x)=3(x-2)^2+1$$
Der Faktor $3$ ist positiv, also ist die Parabel nach oben geöffnet. Der kleinste Wert ist $1$ und wird am Scheitelpunkt erreicht:
$$W=[1;\infty[$$
Gegeben ist
$$g(x)=-2(x-5)^2+4$$
Der Faktor $-2$ ist negativ, also ist die Parabel nach unten geöffnet. Der größte Wert ist $4$ und wird am Scheitelpunkt erreicht:
$$W=]-\infty;4]$$
Mengen und Intervalle richtig schreiben
Eine Menge einzelner Werte wird mit geschweiften Klammern angegeben:
$$W=\{1;2;3;4\}$$
Mit $\mathbb R\setminus\{0\}$ bezeichnest du alle reellen Zahlen außer $0$.
Bei Intervallen zeigen die Klammern, ob Randwerte dazugehören:
- $[-5;6]$: Beide Randwerte sind enthalten.
- $[2;9[$: $2$ ist enthalten, $9$ nicht.
- $]5;\infty[$: Alle Zahlen größer als $5$ sind enthalten, aber nicht $5$.
Eine geschlossene Klammer steht an einem enthaltenen Randwert. Eine offene Klammer steht an einem ausgeschlossenen Randwert. Bei $\infty$ und $-\infty$ ist die Klammer immer offen, weil Unendlich keine Zahl und damit kein enthaltener Randwert ist.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Das Intervall $[2;9[$ enthält die Zahl , aber nicht die Zahl . Die Wertemenge von $x^2$ bei reellen Eingaben beginnt bei .
Wertemenge, Zielmenge und Umkehrfunktion
Die Wertemenge enthält genau die Werte, die tatsächlich erreicht werden. Eine vorgegebene Zielmenge kann darüber hinaus Werte enthalten, die nicht erreicht werden.
Für $f(x)=x^2$ bei $D=\mathbb R$ ist die Wertemenge $W=[0;\infty[$. Als Zielmenge kann trotzdem $\mathbb R$ festgelegt sein. Die negativen Zahlen liegen dann zwar in der Zielmenge, werden von der Funktion aber nicht erreicht.
Wenn eine Funktion eine Umkehrfunktion besitzt, tauschen Definitions- und Wertemenge ihre Rollen:
- $D$ der ursprünglichen Funktion wird zu $W$ der Umkehrfunktion.
- $W$ der ursprünglichen Funktion wird zu $D$ der Umkehrfunktion.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Definitionsmenge und Wertemenge
- Definitionsmenge: erlaubte Eingaben
- Ausschlüsse: Nenner, Wurzel, Logarithmus
- Wertemenge: tatsächlich erreichte Ausgaben
- Parabel: Scheitelwert und Öffnungsrichtung
- Schreibweise: Mengen und Intervalle
- Umkehrfunktion: Mengen tauschen ihre Rollen
Abschluss-Check
Du kannst eine Funktion nun systematisch untersuchen: Eingaben prüfen, mögliche Ausgaben bestimmen und beide Mengen mit den passenden Klammern notieren.