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Funktionsgleichung aufstellen: Schritt für Schritt
Eine Funktionsgleichung ist eine Rechenvorschrift, die jedem erlaubten $x$-Wert genau einen $y$-Wert zuordnet. Beim Aufstellen wählst du zuerst die passende Funktionsform. Danach bestimmst du ihre unbekannten Werte aus den gegebenen Informationen.
Auf dieser Seite lernst du das für lineare und quadratische Funktionen. Am Ende kannst du dein Ergebnis mit einer Punktprobe kontrollieren.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Zuerst die passende Funktionsform wählen
Bevor du rechnest, musst du erkennen, welche Art von Funktion gesucht ist. Die Form legt fest, welche Werte du bestimmen musst.
Lineare Funktion
Eine lineare Funktion hat die Form $f(x)=mx+t$. Ihr Graph ist eine nicht vertikale Gerade. Dabei ist $m$ die Steigung und $t$ der y-Achsenabschnitt. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt $(0|t)$.
Quadratische Funktion
Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form $f(x)=ax^2+bx+c$ mit $a\ne0$. Ihr Graph ist eine Parabel. Ist der Scheitelpunkt bekannt, eignet sich häufig die Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ mit dem Scheitel $S(d|e)$.
Für die Anzahl der nötigen Angaben gilt:
- Bei $f(x)=mx+t$ sind zwei Werte unbekannt. Deshalb brauchst du normalerweise zwei unabhängige Angaben.
- Bei $f(x)=ax^2+bx+c$ sind drei Werte unbekannt. Drei geeignete Punkte können sie bestimmen.
- In der Scheitelpunktform sind $d$ und $e$ schon durch den Scheitel festgelegt. Dann reicht ein weiterer Punkt, um $a$ zu bestimmen.
Ein einzelner Punkt bestimmt eine lineare Funktion nicht eindeutig. Durch denselben Punkt verlaufen unendlich viele Geraden. Du brauchst zusätzlich etwa die Steigung, den y-Achsenabschnitt oder einen zweiten Punkt.
Eine vertikale Gerade wie $x=4$ lässt sich nicht als $y=f(x)$ darstellen: Zum selben x-Wert gehören dort mehrere y-Werte. Sie ist deshalb kein Funktionsgraph einer Funktion von $x$.
Eine lineare Gleichung am Graphen bestimmen
Am Graphen liest du zuerst den y-Achsenabschnitt ab. Anschließend bestimmst du die Steigung mit einem Steigungsdreieck:
$$m=(\Delta y)/(\Delta x)$$
Dabei beschreibt $\Delta x$ die waagerechte und $\Delta y$ die senkrechte Änderung. Gehst du nach rechts, ist $\Delta x$ positiv. Führt der Weg dabei nach unten, ist $\Delta y$ negativ und die Steigung ebenfalls negativ.
Eine Gerade schneidet die y-Achse bei $-1$. Daher ist $t=-1$. Ein passendes Steigungsdreieck führt $2$ Einheiten nach rechts und $1$ Einheit nach oben. Somit gilt:
$$m=1/2=0{,}5$$
Setze beide Werte in $f(x)=mx+t$ ein:
$$f(x)=0{,}5x-1$$
Lies $t$ direkt auf der y-Achse ab. Berechne $m$ als senkrechte Änderung geteilt durch waagerechte Änderung. Vertausche Zähler und Nenner nicht.
Ist statt eines Graphen der y-Achsenabschnitt und ein Punkt $P(x_P|y_P)$ gegeben, setzt du den Punkt in $y_P=mx_P+t$ ein und löst nach $m$.
Gegeben sind $t=2$ und $P(2|8)$.
$$8=2m+2$$
Ziehe auf beiden Seiten $2$ ab:
$$6=2m$$
Teile durch $2$:
$$m=3$$
Damit lautet die Gleichung:
$$f(x)=3x+2$$
Die Probe ergibt $f(2)=3·2+2=8$. Der gegebene Punkt liegt also auf dem Graphen.
Eine lineare Gleichung aus zwei Punkten aufstellen
Sind zwei Punkte $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ mit $x_1\ne x_2$ gegeben, gehst du in zwei Schritten vor:
- Berechne die Steigung mit $m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$.
- Setze $m$ und einen der Punkte in $y=mx+t$ ein und bestimme $t$.
Verwende in Zähler und Nenner dieselbe Reihenfolge der Punkte. Wenn du oben mit Punkt 2 beginnst, musst du das unten ebenfalls tun.
Gegeben sind $P(-3|2)$ und $Q(5|6)$.
Zuerst berechnest du die Steigung:
$$m=(6-2)/(5-(-3))=4/8=0{,}5$$
Nun setzt du $P$ in $y=mx+t$ ein:
$$2=0{,}5·(-3)+t$$
$$2=-1{,}5+t$$
$$t=3{,}5$$
Damit lautet die Funktionsgleichung:
$$f(x)=0{,}5x+3{,}5$$
Zur Kontrolle setzt du auch $Q$ ein:
$$f(5)=0{,}5·5+3{,}5=6$$
Beide Punkte erfüllen die Gleichung.
Du kannst alternativ beide Punkte direkt in $y=mx+t$ einsetzen und das entstehende Gleichungssystem lösen. Beide Wege führen zur gleichen Funktionsgleichung.
Eine quadratische Gleichung aufstellen
Bei einer Parabel hängt das passende Verfahren von den gegebenen Informationen ab. Ein Scheitelpunkt führt meist zur Scheitelpunktform. Drei gewöhnliche Punkte führen zur allgemeinen Form.
Scheitelpunkt und weiterer Punkt
Ist der Scheitel $S(d|e)$ bekannt, setzt du ihn in $f(x)=a(x-d)^2+e$ ein. Danach bestimmst du $a$ mit einem weiteren Punkt.
Gegeben sind der Scheitel $S(1|4{,}5)$ und der Punkt $P(4|0)$.
Setze den Scheitel ein:
$$f(x)=a(x-1)^2+4{,}5$$
Setze anschließend $P(4|0)$ ein:
$$0=a(4-1)^2+4{,}5$$
$$0=9a+4{,}5$$
$$a=-0{,}5$$
Die Scheitelpunktform lautet:
$$f(x)=-0{,}5(x-1)^2+4{,}5$$
Ausmultipliziert erhältst du:
$$f(x)=-0{,}5x^2+x+4$$
Weil $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.
Drei Punkte
Für drei Punkte setzt du jeweils die Koordinaten in $f(x)=ax^2+bx+c$ ein. So entsteht ein Gleichungssystem für $a$, $b$ und $c$.
Gegeben sind $A(0|4)$, $B(2|-2)$ und $C(7|0{,}5)$.
Durch Einsetzen entstehen die Gleichungen:
$$4=c$$
$$-2=4a+2b+c$$
$$0{,}5=49a+7b+c$$
Aus der ersten Gleichung folgt sofort $c=4$. Die zweite Gleichung ergibt danach $b=-3-2a$. Setzt du dies in die dritte Gleichung ein, erhältst du:
$$0{,}5=49a+7(-3-2a)+4$$
$$0{,}5=35a-17$$
$$a=0{,}5$$
Damit ist $b=-4$. Die gesuchte Gleichung lautet:
$$f(x)=0{,}5x^2-4x+4$$
Die Probe liefert $f(0)=4$, $f(2)=-2$ und $f(7)=0{,}5$.
Ergebnisse prüfen und typische Fehler vermeiden
Eine Punktprobe zeigt, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt:
- Setze die x-Koordinate in die gefundene Funktionsgleichung ein.
- Berechne den Funktionswert.
- Vergleiche ihn mit der y-Koordinate des Punktes.
Sind beide Werte gleich, liegt der Punkt auf dem Graphen. Bei einer Abweichung prüfst du besonders Vorzeichen, Klammern und die Reihenfolge in der Steigungsformel.
Typische Fehler sind:
- $m$ und $t$ werden vertauscht.
- Bei der Steigung wird nur im Zähler, aber nicht im Nenner die Punktreihenfolge gewechselt.
- Eine negative x-Koordinate wird ohne Klammern eingesetzt.
- Bei einer Parabel wird der Scheitel $S(d|e)$ fälschlich als $(−d|e)$ gelesen.
- Das Ergebnis wird nur mit einem statt mit allen gegebenen Punkten geprüft.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $f(x)=mx+t$ beschreibt die Steigung und den y-Achsenabschnitt. Ein Punkt $P(x_P|y_P)$ liegt auf dem Graphen, wenn gilt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Funktionsgleichung aufstellen
- Funktionsart erkennen
- Genügend unabhängige Angaben sammeln
- Passende Grundform notieren
- Unbekannte Parameter berechnen
- Angaben durch Punktproben kontrollieren
Abschluss-Check
Wenn du bei einer neuen Aufgabe zuerst die Funktionsart, die unbekannten Parameter und die verfügbaren Angaben notierst, wird aus dem Aufstellen ein klarer Rechenweg: Form wählen, Werte bestimmen, Ergebnis prüfen.