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Quadratische Funktionen und Parabeln verstehen
Eine quadratische Funktion hat die Form $f(x)=ax^2+bx+c$ mit $a\ne0$. Ihr Graph ist eine Parabel. An der Funktionsgleichung kannst du erkennen, wie die Parabel geöffnet, verschoben und gestreckt ist. Je nach Darstellungsform lassen sich außerdem der Scheitelpunkt, der y-Achsenabschnitt oder die Nullstellen direkt ablesen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die Normalparabel als Ausgangspunkt
Die einfachste quadratische Funktion lautet
$$f(x)=x^2$$
Ihr Graph heißt Normalparabel. Sie hat den Scheitelpunkt $S(0|0)$, ist nach oben geöffnet und symmetrisch zur y-Achse.
Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt einer nach oben geöffneten oder der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel. Durch ihn verläuft die senkrechte Symmetrieachse der Parabel.
Für gegenüberliegende x-Werte entstehen gleiche Funktionswerte: $f(-2)=4$ und $f(2)=4$. Daran erkennst du die Symmetrie.
Für $f(x)=x^2$ ergibt sich:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |
Die Punkte $(-2|4)$ und $(2|4)$ liegen gleich weit von der Symmetrieachse entfernt und gleich hoch.
Öffnung, Breite und Verschiebung ablesen
Transformationen verändern die Normalparabel. Besonders übersichtlich ist die Scheitelpunktform
$$f(x)=a(x-d)^2+e$$
Der Scheitelpunkt ist $S(d|e)$. Die Symmetrieachse lautet $x=d$.
Der Faktor $a$ bestimmt Öffnung und Breite:
- $a>0$: Die Parabel ist nach oben geöffnet.
- $a<0$: Die Parabel ist nach unten geöffnet.
- $|a|>1$: Die Parabel ist schmaler als die Normalparabel.
- $0<|a|<1$: Die Parabel ist breiter als die Normalparabel.
- $|a|=1$: Sie ist genauso breit wie die Normalparabel.
Die Werte $d$ und $e$ beschreiben die Verschiebung:
- $d>0$ verschiebt die Parabel nach rechts, $d<0$ nach links.
- $e>0$ verschiebt sie nach oben, $e<0$ nach unten.
Innerhalb der Klammer liest du die Verschiebung mit umgekehrtem Vorzeichen: $(x-3)^2$ bedeutet 3 nach rechts, $(x+3)^2$ bedeutet 3 nach links.
Gegeben ist
$$g(x)=-2(x-2)^2-2$$
Daraus liest du ab:
- $a=-2$: Die Parabel ist nach unten geöffnet und wegen $|a|=2>1$ schmaler.
- $d=2$: Sie ist um 2 Einheiten nach rechts verschoben.
- $e=-2$: Sie ist um 2 Einheiten nach unten verschoben.
- Ihr Scheitelpunkt ist $S(2|-2)$ und zugleich ihr höchster Punkt.
Drei Formen zeigen unterschiedliche Informationen
Dieselbe quadratische Funktion kann in verschiedenen Formen geschrieben werden.
| Form | Funktionsgleichung | Direkt erkennbar | |
|---|---|---|---|
| Allgemeine Form | $f(x)=ax^2+bx+c$ mit $a\ne0$ | Öffnung und Breite durch $a$; y-Achsenabschnitt $(0 | c)$ |
| Scheitelpunktform | $f(x)=a(x-d)^2+e$ | Scheitel $S(d | e)$ |
| Produktform | $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ | Nullstellen $x_1$ und $x_2$ |
Nullstelle
Eine Nullstelle ist ein x-Wert, für den $f(x)=0$ gilt. Im Graphen liegt dort ein Schnittpunkt mit der x-Achse. Eine Parabel kann zwei, eine oder keine reelle Nullstelle haben.
Bei
$$f(x)=2(x-1)(x+3)$$
wird das Produkt null, wenn einer der beiden Faktoren null ist:
- $x-1=0$ ergibt $x_1=1$.
- $x+3=0$ ergibt $x_2=-3$.
Die Parabel schneidet die x-Achse also bei $(1|0)$ und $(-3|0)$.
Zwischen allgemeiner Form und Scheitelpunktform umformen
Von der Scheitelpunktform gelangst du durch eine binomische Formel, Ausmultiplizieren und Zusammenfassen zur allgemeinen Form.
Gegeben ist
$$f(x)=3(x-2)^2+5$$
Mit $(x-2)^2=x^2-4x+4$ folgt:
$$f(x)=3(x^2-4x+4)+5$$
$$f(x)=3x^2-12x+12+5$$
$$f(x)=3x^2-12x+17$$
Die Probe mit $x=2$ bestätigt den Scheitelwert: In beiden Formen ist $f(2)=5$.
Für den umgekehrten Weg verwendest du die quadratische Ergänzung. Dabei ergänzt und subtrahierst du dieselbe Zahl, sodass ein binomisches Quadrat entsteht.
Gegeben ist
$$f(x)=2x^2+4x-3$$
Zuerst klammerst du 2 bei den x-Termen aus:
$$f(x)=2(x^2+2x)-3$$
Die Hälfte des Koeffizienten 2 ist 1, ihr Quadrat ist 1. Ergänze und subtrahiere daher 1:
$$f(x)=2(x^2+2x+1-1)-3$$
Die ersten drei Terme bilden ein Quadrat:
$$f(x)=2((x+1)^2-1)-3$$
Nun löst du nur die äußere Klammer auf:
$$f(x)=2(x+1)^2-2-3$$
$$f(x)=2(x+1)^2-5$$
Damit ist der Scheitelpunkt $S(-1|-5)$.
Für $f(x)=ax^2+bx+c$ mit $a\ne0$ gilt allgemein:
$$x_S=-\frac{b}{2a}$$
Danach erhältst du die zweite Koordinate mit $y_S=f(x_S)$. Das ist eine kurze Alternative zur vollständigen quadratischen Ergänzung.
Eine Funktion aus Scheitel und Punkt bestimmen
Kennst du den Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt, setzt du zuerst den Scheitel in die Scheitelpunktform ein. Mit dem zweiten Punkt bestimmst du anschließend den noch unbekannten Faktor $a$.
Gegeben sind $S(1|4{,}5)$ und $P(4|0)$.
- Setze den Scheitelpunkt ein:
$$f(x)=a(x-1)^2+4{,}5$$
- Weil $P(4|0)$ auf der Parabel liegt, gilt $f(4)=0$:
$$0=a(4-1)^2+4{,}5$$
$$0=9a+4{,}5$$
$$a=-0{,}5$$
- Damit lautet die Funktion:
$$f(x)=-0{,}5(x-1)^2+4{,}5$$
Zur Kontrolle setzt du $x=4$ ein. Das Ergebnis ist tatsächlich 0. Außerdem zeigt $a<0$, dass der Scheitel ein Hochpunkt ist.
Quadratische Modelle im Kontext deuten
Quadratische Funktionen können gekrümmte Verläufe modellieren. Dabei musst du jede Koordinate im Sachzusammenhang übersetzen.
Die Flugbahn eines Golfballs werde beschrieben durch
$$f(x)=-0{,}025x^2+2x$$
Dabei ist $x$ die horizontale Entfernung in Metern und $f(x)$ die Höhe in Metern.
Maximale Höhe: Da $a=-0{,}025<0$ ist, öffnet sich die Parabel nach unten. Der Scheitel liegt bei $S(40|40)$. Der Ball erreicht also nach 40 Metern horizontaler Entfernung seine maximale Höhe von 40 Metern.
Höhe nach 20 Metern:
$$f(20)=-0{,}025\cdot20^2+2\cdot20=30$$
Der Ball ist dort 30 Meter hoch.
Landepunkt: Am Boden gilt $f(x)=0$:
$$-0{,}025x^2+2x=0$$
$$x(-0{,}025x+2)=0$$
Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt $x=0$ oder $x=80$. Die erste Nullstelle beschreibt den Abschlag. Die zweite beschreibt die Landung 80 Meter vom Abschlagspunkt entfernt.
Ein Rechenergebnis erhält seine Bedeutung erst durch den Kontext: Der Scheitel kann eine maximale Höhe beschreiben, eine Nullstelle den Start oder die Landung und ein Funktionswert die Höhe an einer bestimmten Stelle.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Quadratische Funktionen
- Normalparabel: $f(x)=x^2$
- Faktor $a$: Öffnung und Breite
- Scheitelpunktform: Scheitel und Verschiebung
- Allgemeine Form: y-Achsenabschnitt
- Produktform: Nullstellen
- Quadratische Ergänzung: Formumwandlung
- Modelle: Hochpunkt, Höhe und Bodenkontakt
Abschluss-Check
Du kannst eine quadratische Funktion nun aus der passenden Form lesen, gezielt umformen und ihre besonderen Punkte im Graphen sowie im Sachzusammenhang erklären.