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Wenn du einen Ball wirfst, eine Brücke anschaust oder eine Gewinnkurve untersuchst, taucht oft dieselbe Form auf: eine Parabel. Nach dieser Seite kannst du quadratische Funktionen erkennen, zeichnen und wichtige Punkte berechnen.
- Ich kann quadratische Funktionen an der Gleichung erkennen.
- Ich kann erklären, was eine Parabel ist.
- Ich kann Scheitelpunkt, Nullstellen und y-Achsenabschnitt deuten.
- Ich kann einfache Parabeln zeichnen.
- Ich kann zwischen Normalform und Scheitelpunktform wechseln.
Was ist eine quadratische Funktion?
Eine Funktion ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei einer quadratischen Funktion kommt \(x^2\) vor. Genau dieser quadratische Term sorgt dafür, dass der Graph keine Gerade ist, sondern eine Parabel.
Quadratische Funktion
Eine quadratische Funktion hat die Form \(f(x)=ax^2+bx+c\) mit \(a \ne 0\). Der Graph heißt Parabel. Ist \(a\) positiv, öffnet sie sich nach oben. Ist \(a\) negativ, öffnet sie sich nach unten.
Betrachte \(f(x)=x^2-4\).
- Der höchste Exponent ist \(2\), also ist die Funktion quadratisch.
- Für \(x=0\) gilt \(f(0)=0^2-4=-4\). Die Parabel schneidet die y-Achse bei \(-4\).
- Für \(x=2\) gilt \(f(2)=4-4=0\) und für \(x=-2\) gilt \(f(-2)=4-4=0\).
- Die Nullstellen sind \(x=-2\) und \(x=2\).
Quadratisch erkennst du nicht am Aussehen der Aufgabe, sondern am höchsten Exponenten: \(x^2\) ist der entscheidende Hinweis.
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Der Scheitelpunkt
Der wichtigste Punkt einer Parabel ist der Scheitelpunkt. Dort wechselt die Parabel ihre Richtung. Bei einer nach oben geöffneten Parabel ist er der tiefste Punkt, bei einer nach unten geöffneten der höchste.
Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt ist der Richtungswechsel einer Parabel. In der Scheitelpunktform \(f(x)=a(x-d)^2+e\) liegt er bei \(S(d|e)\).
\(f(x)=2(x-3)^2+1\)
- Vergleiche mit \(a(x-d)^2+e\).
- Hier ist \(d=3\) und \(e=1\).
- Also liegt der Scheitelpunkt bei \(S(3|1)\).
- Weil \(a=2\) positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben. \(S\) ist der Tiefpunkt.
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Nullstellen und Achsenabschnitt
Nullstellen sind die x-Werte, bei denen der Funktionswert 0 ist. Auf dem Graphen sind das die Schnittpunkte mit der x-Achse. Der y-Achsenabschnitt entsteht bei \(x=0\).
\(f(x)=x^2-6x+8\)
- Für die Nullstellen löst du \(x^2-6x+8=0\).
- Suche zwei Zahlen mit Produkt \(8\) und Summe \(6\): \(2\) und \(4\).
- Also \(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\).
- Die Nullstellen sind \(x=2\) und \(x=4\).
- Für den y-Achsenabschnitt: \(f(0)=8\).
Nicht jede quadratische Funktion hat zwei Nullstellen. Manche haben eine doppelte Nullstelle, manche gar keine reelle Nullstelle. Das hängt davon ab, ob die Parabel die x-Achse schneidet, berührt oder verfehlt.
Zeichnen mit Wertetabelle
Wenn die Form nicht sofort klar ist, hilft eine Wertetabelle. Wähle x-Werte um den Scheitel herum oder symmetrisch um 0.
Zeichne \(f(x)=x^2-1\) mit \(x=-2,-1,0,1,2\).
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 |
Die Punkte sind \((-2|3)\), \((-1|0)\), \((0|-1)\), \((1|0)\), \((2|3)\).
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Prüfungsmodus
In Klassenarbeiten musst du oft entscheiden, welche Methode passt. Frage dich zuerst: Liegt eine Scheitelpunktform vor? Dann liest du den Scheitel ab. Liegt eine Normalform vor? Dann prüfst du y-Achsenabschnitt, Nullstellen oder quadratische Ergänzung.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Quadratische Funktionen haben einen \(x^2\)-Term und als Graphen eine Parabel. Aus der Scheitelpunktform liest du den Scheitel direkt ab. Nullstellen findest du, indem du \(f(x)=0\) löst. Für den y-Achsenabschnitt setzt du \(x=0\) ein.