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Quadratische Ergänzung einfach erklärt
Mit der quadratischen Ergänzung formst du einen quadratischen Ausdruck in ein quadriertes Binom wie $(x+2)^2$ um. So kannst du quadratische Gleichungen durch Wurzelziehen lösen und Funktionen in die Scheitelpunktform bringen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie entsteht ein vollständiges Quadrat?
Die quadratische Ergänzung nutzt eine binomische Formel rückwärts:
$$(x+b)^2=x^2+2bx+b^2$$
Beim Ausdruck $x^2+px$ entspricht der lineare Term $px$ dem Term $2bx$. Deshalb ist $b=p/2$. Die fehlende Ergänzung lautet also $(p/2)^2$:
$$x^2+px+(p/2)^2=(x+p/2)^2$$
Quadratische Ergänzung
Du halbierst den Koeffizienten vor $x$ und quadrierst das Ergebnis. Dadurch ergänzt du den Ausdruck zu einem vollständigen Quadrat.
Bei $x^2+4x$ ist $p=4$. Die Hälfte von $4$ ist $2$, ihr Quadrat ist $4$:
$$x^2+4x+4=(x+2)^2$$
Die Probe mit der binomischen Formel ergibt wieder $x^2+4x+4$.
Halbieren, dann quadrieren: Zu $x^2+px$ gehört die Ergänzung $(p/2)^2$. Das Vorzeichen von $p/2$ bleibt in der binomischen Klammer erhalten.
Wie löst du damit eine quadratische Gleichung?
Bei einer Gleichung musst du ihren Wert erhalten. Deshalb addierst du die Ergänzung auf beiden Seiten.
Gegeben ist:
$$2x^2+8x-10=0$$
- Normiere die Gleichung. Teile alle Terme durch $2$, damit vor $x^2$ eine $1$ steht:
$$x^2+4x-5=0$$
- Bringe die Konstante auf die andere Seite:
$$x^2+4x=5$$
- Ergänze auf beiden Seiten. Die Hälfte von $4$ ist $2$, also ergänzt du $2^2=4$:
$$x^2+4x+4=5+4$$
- Schreibe das vollständige Quadrat als Binom:
$$(x+2)^2=9$$
- Ziehe die Wurzel. Eine Quadratzahl kann aus einer positiven oder negativen Zahl entstanden sein:
$$x+2=3 \text{ oder } x+2=-3$$
Daraus folgen die Lösungen:
$$x_1=1 \text{ und } x_2=-5$$
Beim Wurzelziehen brauchst du beide Vorzeichen. Aus $u^2=9$ folgt $u=3$ oder $u=-3$.
Wie entsteht die Scheitelpunktform?
Bei einem Funktionsterm gibt es keine zweite Gleichungsseite. Du addierst und subtrahierst deshalb dieselbe Ergänzung. Insgesamt fügst du also null hinzu und veränderst den Termwert nicht.
Die Scheitelpunktform lautet:
$$f(x)=a(x-d)^2+e$$
Der Scheitelpunkt ist dann $S(d | e)$. Beachte das umgekehrte Vorzeichen in der Klammer: Aus $(x+1)^2$ wird $d=-1$.
Forme $f(x)=3x^2+6x+7$ um.
Zuerst klammerst du den Faktor $3$ aus den Variablentermen aus:
$$f(x)=3(x^2+2x)+7$$
Die Hälfte von $2$ ist $1$. Addiere und subtrahiere deshalb $1$ innerhalb der Klammer:
$$f(x)=3(x^2+2x+1-1)+7$$
Bilde das Binom und beachte den ausgeklammerten Faktor:
$$f(x)=3(x+1)^2-3+7$$
$$f(x)=3(x+1)^2+4$$
Der Scheitelpunkt ist $S(-1 | 4)$.
Fehlt der lineare Term, ist seine Hälfte $0$. Zum Beispiel ist $f(x)=2x^2+3$ bereits die Scheitelpunktform $2(x-0)^2+3$ mit dem Scheitelpunkt $S(0 | 3)$.
Gleichung oder Funktionsterm: Was ist der Unterschied?
Die Rechenidee ist gleich, doch der Werterhalt funktioniert verschieden:
| Situation | So bleibt der Wert erhalten |
|---|---|
| Gleichung | Ergänzung auf beiden Seiten addieren |
| Funktionsterm | Ergänzung im selben Term addieren und subtrahieren |
Typische Fehler sind:
- Nicht normieren: Vor der Standardergänzung muss der Koeffizient vor $x^2$ innerhalb des zu ergänzenden Ausdrucks $1$ sein.
- Nicht quadrieren: Die Hälfte des linearen Koeffizienten allein ist noch nicht die Ergänzung.
- Den Vorfaktor vergessen: Bei $3(x^2+2x-1)$ wirkt die $3$ auf jeden Term in der Klammer.
- Nur eine Wurzel verwenden: Beim Lösen einer Gleichung müssen beide Vorzeichen geprüft werden.
- Den Scheitel falsch ablesen: Bei $(x+1)^2$ ist die Scheitelstelle $x=-1$.
Aufgabe: Bringe $x^2-6x+5$ in Scheitelpunktform und bestimme anschließend die Nullstellen.
Lösung: Die Hälfte von $-6$ ist $-3$, ihr Quadrat ist $9$:
$$x^2-6x+5=x^2-6x+9+5-9$$
$$x^2-6x+5=(x-3)^2-4$$
Der Scheitelpunkt ist $S(3 | -4)$. Für die Nullstellen setzt du den Term gleich null:
$$(x-3)^2-4=0$$
$$(x-3)^2=4$$
Daraus folgt $x-3=2$ oder $x-3=-2$. Die Nullstellen sind $x_1=5$ und $x_2=1$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für $x^2+8x$ halbierst du zuerst den Koeffizienten $8$. Du erhältst . Die quadratische Ergänzung ist deshalb . Das vollständige Quadrat lautet .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Quadratische Ergänzung
- Ergänzung: linearen Koeffizienten halbieren und quadrieren
- Ziel: vollständiges Quadrat bilden
- Gleichungen: normieren, beidseitig ergänzen, beide Wurzeln nutzen
- Funktionen: ausklammern, null ergänzen, Scheitelpunktform bilden
- Kontrolle: Binom ausmultiplizieren und Ergebnis vergleichen