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Quadratische Ergänzung wirkt zuerst wie ein Trick, ist aber eine sehr nützliche Umformung. Mit ihr bringst du quadratische Terme in eine Form, aus der Scheitelpunkt und Lösungen leichter sichtbar werden.
- Ich kann erklären, warum ein Quadrat ergänzt wird.
- Ich kann Terme der Form $x^2+px+q$ quadratisch ergänzen.
- Ich kann die Scheitelpunktform ablesen.
- Ich kann einfache quadratische Gleichungen mit Ergänzung lösen.
Die Idee hinter der Ergänzung
Ein quadratischer Term enthält \(x^2\). Besonders übersichtlich ist ein vollständiges Quadrat wie \((x+3)^2\).
Quadratische Ergänzung
Quadratische Ergänzung bedeutet, einen Term so umzuformen, dass ein vollständiges Quadrat entsteht. Aus \(x^2+px\) wird \((x+\frac{p}{2})^2-(\frac{p}{2})^2\).
\(x^2+6x\) soll ein Quadrat werden. Die Hälfte von 6 ist 3. Also ergänzt man \(9\), denn \((x+3)^2=x^2+6x+9\).
Damit der Wert gleich bleibt, schreibt man \(x^2+6x=(x+3)^2-9\).
Halbiere den \(x\)-Koeffizienten, quadriere ihn, ergänze und ziehe denselben Wert wieder ab.
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Von Normalform zu Scheitelpunktform
Die Scheitelpunktform zeigt den Scheitel einer Parabel direkt.
Scheitelpunktform
Eine quadratische Funktion in der Form \(f(x)=(x-d)^2+e\) hat den Scheitelpunkt \(S(d|e)\).
\(f(x)=x^2-4x+1\).
Die Hälfte von \(-4\) ist \(-2\), das Quadrat ist 4.
\(f(x)=x^2-4x+4-4+1=(x-2)^2-3\).
Der Scheitelpunkt ist \(S(2|-3)\).
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Gleichungen lösen
Bei Gleichungen formst du so um, dass ein Quadrat allein steht. Dann ziehst du die Wurzel.
Löse \(x^2+6x+5=0\).
\(x^2+6x+5=(x+3)^2-9+5=(x+3)^2-4\).
Also \((x+3)^2-4=0\), dann \((x+3)^2=4\). Daher \(x+3=2\) oder \(x+3=-2\). Lösungen: \(x=-1\) oder \(x=-5\).
Prüfungsmodus
Wenn vor \(x^2\) eine Zahl steht, klammere sie zuerst aus. Arbeite dann im Klammerterm weiter.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Quadratische Ergänzung verwandelt einen quadratischen Term in ein vollständiges Quadrat. Der Kernschritt ist: halben linearen Koeffizienten quadrieren, ergänzen und ausgleichen. So findest du Scheitelpunkte und löst Gleichungen systematisch.