Mit Google fortfahren
Scheitelpunktform: Parabeln ablesen und umformen
Die Scheitelpunktform zeigt dir sofort, wo der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel liegt. In der Schreibweise $f(x)=a(x-d)^2+e$ ist der Scheitelpunkt $S(d|e)$.
Du lernst, die drei Parameter zu deuten, die Vorzeichenfalle zu vermeiden und zwischen Scheitelpunktform und allgemeiner Form umzuwandeln.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Den Scheitelpunkt direkt ablesen
Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform lautet
$$f(x)=a(x-d)^2+e$$
Dabei muss $a\ne 0$ gelten. Sonst wäre die Funktion nicht quadratisch.
Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt einer nach oben geöffneten oder der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel. In $f(x)=a(x-d)^2+e$ hat er die Koordinaten $S(d|e)$.
Der Ausdruck $(x-d)^2$ wird bei $x=d$ null. Dann bleibt nur $f(d)=e$. Deshalb liegt der Scheitel bei $S(d|e)$.
Gegeben ist
$$f(x)=2(x-3)^2+1.$$
Der Klammerausdruck wird für $x=3$ null. Daher gilt $f(3)=1$ und der Scheitelpunkt lautet
$$S(3|1).$$
Die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade $x=3$.
In der Klammer liest du mit umgekehrtem Vorzeichen ab: $(x-3)^2$ gehört zu $x_S=3$, aber $(x+3)^2=(x-(-3))^2$ gehört zu $x_S=-3$.
Die Parameter der Parabel deuten
In $f(x)=a(x-d)^2+e$ haben die drei Parameter verschiedene Aufgaben:
- $a$ bestimmt Öffnungsrichtung und Öffnungsgrad. Für $a>0$ öffnet sich die Parabel nach oben, für $a<0$ nach unten.
- $d$ verschiebt den Scheitel waagerecht. Die Symmetrieachse lautet $x=d$.
- $e$ verschiebt den Scheitel senkrecht. Es gilt $y_S=e$.
Der Betrag $|a|$ beeinflusst die Form: Ein größerer Betrag macht die Parabel steiler und schmaler, ein Betrag zwischen $0$ und $1$ flacher und breiter.
Bei $f(x)=-2(x-1)^2+4$ gilt:
- Scheitelpunkt: $S(1|4)$
- Symmetrieachse: $x=1$
- Öffnung nach unten, weil $a=-2<0$
- Der Scheitel ist ein Maximum.
Durch quadratische Ergänzung umformen
Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet
$$f(x)=ax^2+bx+c.$$
Um den Scheitel sichtbar zu machen, formst du den Term in ein binomisches Quadrat um. Dieses Verfahren heißt quadratische Ergänzung.
Gehe so vor:
- Klammere $a$ aus den Termen mit $x^2$ und $x$ aus.
- Halbiere den Koeffizienten vor $x$ in der Klammer und quadriere das Ergebnis.
- Addiere und subtrahiere diesen Wert in derselben Klammer.
- Fasse die ersten drei Klammerterme als binomisches Quadrat zusammen.
- Vereinfache den Rest.
Wandle $f(x)=3x^2+6x+7$ um.
Zuerst klammerst du $3$ aus den beiden x-Termen aus:
$$f(x)=3(x^2+2x)+7.$$
Die Hälfte von $2$ ist $1$, und $1^2=1$. Du ergänzt $+1-1$. Dadurch ändert sich der Wert des Terms nicht:
$$f(x)=3(x^2+2x+1-1)+7.$$
Die ersten drei Terme bilden das Quadrat $(x+1)^2$:
$$f(x)=3(x+1)^2-3+7=3(x+1)^2+4.$$
Damit ist der Scheitelpunkt
$$S(-1|4).$$
Quadratische Ergänzung bedeutet nicht, nur etwas hinzuzufügen. Du addierst und subtrahierst denselben Wert, damit die Funktion unverändert bleibt.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für $3x^2+6x+7$ klammerst du zuerst aus den x-Termen aus. In $x^2+2x$ ergänzt du den Wert , weil die Hälfte von $2$ gleich $1$ ist. Die fertige Scheitelpunktform $3(x+1)^2+4$ zeigt den Scheitel .
Zur allgemeinen Form zurückkehren
Für die Gegenrichtung brauchst du keine quadratische Ergänzung. Du löst das binomische Quadrat auf, multiplizierst mit $a$ und fasst gleichartige Terme zusammen.
Gegeben ist
$$f(x)=4(x-3)^2+4.$$
Mit der binomischen Formel gilt
$$(x-3)^2=x^2-6x+9.$$
Nun multiplizierst du jeden Klammerterm mit $4$:
$$f(x)=4(x^2-6x+9)+4$$
$$f(x)=4x^2-24x+36+4$$
$$f(x)=4x^2-24x+40.$$
Zur Kontrolle kannst du in beide Formen denselben x-Wert einsetzen. Sie müssen stets denselben Funktionswert liefern.
Die passende Form auswählen
Verschiedene Darstellungen heben verschiedene Eigenschaften hervor:
- In der Scheitelpunktform erkennst du Scheitel, Symmetrieachse, Öffnungsrichtung und Öffnungsgrad besonders schnell.
- In der allgemeinen Form $ax^2+bx+c$ erkennst du den y-Achsenabschnitt $(0|c)$ direkt.
- In der faktorisierten Form $a(x-x_1)(x-x_2)$ sind vorhandene Nullstellen $x_1$ und $x_2$ direkt sichtbar.
Kennst du nur den Scheitelpunkt, ist die Parabel noch nicht eindeutig festgelegt. Zu $S(2|-1)$ gehören alle Funktionen
$$f(x)=a(x-2)^2-1$$
mit $a\ne0$. Erst eine zusätzliche Angabe wie „Normalparabel“ oder ein weiterer Punkt bestimmt $a$ eindeutig.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Scheitelpunktform $a(x-d)^2+e$
- Scheitel $S(d|e)$
- Symmetrieachse $x=d$
- Faktor $a$: Öffnung und Öffnungsgrad
- Allgemeine Form durch quadratische Ergänzung umformen
- Rückweg durch binomische Formel und Ausmultiplizieren
- Scheitel allein bestimmt $a$ nicht