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Scheitelpunkt berechnen: Formeln und Beispiele
Den Scheitelpunkt einer Parabel kannst du je nach Funktionsform direkt ablesen oder berechnen. In der allgemeinen Form findest du zuerst $x_S=-\frac{b}{2a}$ und setzt diesen Wert anschließend in die Funktion ein. So erhältst du $y_S=f(x_S)$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was der Scheitelpunkt bedeutet
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Ihr tiefster oder höchster Punkt heißt Scheitelpunkt und wird als $S(x_S\mid y_S)$ notiert.
Für $f(x)=ax^2+bx+c$ gilt $a\neq 0$:
- Bei $a>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet. Der Scheitelpunkt ist ein Minimum.
- Bei $a<0$ ist die Parabel nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt ist ein Maximum.
- Die senkrechte Gerade $x=x_S$ ist die Symmetrieachse der Parabel.
Erst die Form erkennen, dann die Methode wählen: Scheitelform ablesen, allgemeine Form mit Formel oder quadratischer Ergänzung bearbeiten.
Aus der Scheitelform ablesen
Die Scheitelform lautet
$$f(x)=a(x-d)^2+e.$$
Daraus liest du den Scheitelpunkt direkt als $S(d\mid e)$ ab. Der Faktor $a$ verändert Öffnungsrichtung und Steilheit, aber nicht die Koordinaten des Scheitelpunkts.
Achte besonders auf das Vorzeichen in der Klammer: Dort steht immer $x-d$.
Gegeben ist $f(x)=-2(x+3)^2+5$.
Schreibe die Klammer als $x-(-3)$. Dann erkennst du $d=-3$ und $e=5$.
Der Scheitelpunkt ist $S(-3\mid 5)$. Weil $a=-2<0$ gilt, ist er ein Maximum.
In der Klammer kehrst du das sichtbare Vorzeichen um: $(x-3)^2$ führt zu $x_S=3$, aber $(x+3)^2$ zu $x_S=-3$.
Aus der allgemeinen Form berechnen
In der allgemeinen Form
$$f(x)=ax^2+bx+c$$
liest du $a$, $b$ und $c$ mit ihren Vorzeichen ab. Dann gehst du in zwei Schritten vor:
- Berechne $x_S=-\frac{b}{2a}$.
- Setze $x_S$ in die ursprüngliche Funktion ein: $y_S=f(x_S)$.
Die beiden Schritte lassen sich auch in einer Formel zusammenfassen:
$$S\left(-\frac{b}{2a}\mid c-\frac{b^2}{4a}\right).$$
Gegeben ist $f(x)=2x^2+x-3$. Damit sind $a=2$, $b=1$ und $c=-3$.
Zuerst berechnest du die $x$-Koordinate:
$$x_S=-\frac{1}{2\cdot 2}=-\frac14.$$
Dann setzt du $x_S$ ein:
$$y_S=2\left(-\frac14\right)^2-\frac14-3=-\frac{25}{8}.$$
Also gilt $S\left(-\frac14\mid-\frac{25}{8}\right)$. Weil $a>0$ ist, handelt es sich um ein Minimum.
Die Formel gilt nur für quadratische Funktionen mit $a\neq 0$. Fehlt der $x$-Term, ist $b=0$. Fehlt das konstante Glied, ist $c=0$.
Mit quadratischer Ergänzung umformen
Die quadratische Ergänzung macht aus der allgemeinen Form eine Scheitelform. Dabei ergänzt und subtrahierst du denselben Wert. Die Funktion bleibt deshalb unverändert.
Für den Ausdruck $x^2+px$ gilt:
$$x^2+px=\left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2.$$
Steht vor $x^2$ ein anderer Faktor als $1$, klammerst du ihn zuerst aus dem $x^2$- und dem $x$-Term aus.
Gegeben ist $f(x)=3x^2+6x+7$.
- Klammere $3$ aus den ersten beiden Termen aus:
$$f(x)=3(x^2+2x)+7.$$
- Halbiere den Koeffizienten $2$ vor $x$ und quadriere: $\left(\frac22\right)^2=1$.
- Ergänze $+1-1$:
$$f(x)=3(x^2+2x+1-1)+7.$$
- Fasse das Binom zusammen und beachte, dass die $3$ auch den Term $-1$ multipliziert:
$$f(x)=3(x+1)^2-3+7=3(x+1)^2+4.$$
Damit ist $S(-1\mid 4)$. Zur Kontrolle liefert Einsetzen in die Ausgangsfunktion $f(-1)=3-6+7=4$.
Weitere Wege passend einsetzen
Kennst du zwei reelle Nullstellen $x_1$ und $x_2$, liegt die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts wegen der Symmetrie genau in ihrer Mitte:
$$x_S=\frac{x_1+x_2}{2}.$$
Danach berechnest du $y_S=f(x_S)$. Bei einer doppelten Nullstelle stimmt diese Nullstelle mit $x_S$ überein. Ohne reelle Nullstelle kannst du diese Methode nicht verwenden.
Für $f(x)=0{,}5x^2-4{,}5$ sind die Nullstellen $x_1=-3$ und $x_2=3$.
$$x_S=\frac{-3+3}{2}=0,\qquad y_S=f(0)=-4{,}5.$$
Der Scheitelpunkt ist $S(0\mid-4{,}5)$.
Vertiefung: Mit der Ableitung
Wenn du Ableitungen kennst, nutzt du am Scheitelpunkt $f'(x_S)=0$. Für $f(x)=x^2+2x+4$ ist $f'(x)=2x+2$. Aus $2x+2=0$ folgt $x_S=-1$ und durch Einsetzen $y_S=3$. Also ist $S(-1\mid3)$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Scheitelpunkt berechnen
- Bedeutung
- Hoch- oder Tiefpunkt
- Symmetrieachse $x=x_S$
- Methode nach Funktionsform
- Scheitelform: direkt ablesen
- Allgemeine Form: Formel oder Ergänzung
- Nullstellen: Mittelwert bilden
- Ableitung: $f'(x)=0$
- Ergebnis prüfen
- $y_S=f(x_S)$
- Öffnung mit Vorzeichen von $a$
- Bedeutung