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Parabel: Scheitelpunktform verstehen und zeichnen
Eine Parabel ist der bogenförmige Graph einer quadratischen Funktion. An ihrer Scheitelpunktform erkennst du direkt den höchsten oder tiefsten Punkt, die Öffnungsrichtung, die Breite und die Verschiebung.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was zeichnet eine Parabel aus?
Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form
$$f(x)=ax^2+bx+c$$
Dabei darf $a$ nicht $0$ sein. Sonst fällt der quadratische Term weg und die Funktion ist nicht mehr quadratisch. Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.
Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel. Eine nach oben geöffnete Parabel hat dort ihren tiefsten Punkt, eine nach unten geöffnete ihren höchsten Punkt.
Die einfachste quadratische Funktion lautet $f(x)=x^2$. Ihr Graph heißt Normalparabel. Er hat den Scheitelpunkt $S(0\mid 0)$ und ist symmetrisch zur $y$-Achse. Beispielsweise liegen die Punkte $(1\mid1)$, $(-1\mid1)$, $(2\mid4)$ und $(-2\mid4)$ auf dem Graphen.
Im Unterschied dazu steigt oder fällt der Graph einer nicht konstanten linearen Funktion durchgehend. Er besitzt daher keinen Scheitelpunkt.
Was verrät die Scheitelpunktform?
Die Scheitelpunktform lautet
$$f(x)=a(x-d)^2+e$$
Ihr Scheitelpunkt ist
$$S(d\mid e).$$
Die Parameter haben unterschiedliche Aufgaben:
- $a>0$: Die Parabel ist nach oben geöffnet.
- $a<0$: Die Parabel ist nach unten geöffnet.
- $|a|>1$: Die Parabel ist schmaler und steiler als die Normalparabel.
- $0<|a|<1$: Die Parabel ist breiter und flacher.
- $d$: horizontale Verschiebung.
- $e$: vertikale Verschiebung.
Das Vorzeichen in der Klammer wirkt beim Ablesen entgegengesetzt: $(x-3)^2$ gehört zu $d=3$, aber $(x+3)^2=(x-(-3))^2$ zu $d=-3$.
Bei
$$f(x)=2(x+3)^2-1$$
ist $a=2$, $d=-3$ und $e=-1$. Die Parabel ist deshalb nach oben geöffnet, schmaler als die Normalparabel, um $3$ Einheiten nach links und um $1$ Einheit nach unten verschoben. Ihr Scheitelpunkt lautet $S(-3\mid-1)$.
Warum funktioniert das Ablesen? Am Scheitel wird der quadrierte Klammerterm $0$. Für $x=-3$ gilt nämlich $x+3=0$. Dann bleibt nur $f(-3)=-1$.
Wie zeichnest du eine Parabel ohne Wertetabelle?
Für $f(x)=a(x-d)^2+e$ beginnst du am Scheitelpunkt $S(d\mid e)$. Bei einem horizontalen Abstand $b$ vom Scheitel ändert sich der Funktionswert um
$$\Delta y=a\cdot b^2.$$
Gehe so vor:
- Lies den Scheitelpunkt und $a$ ab.
- Zeichne den Scheitelpunkt ein.
- Gehe vom Scheitel um $b=1,2,3,\ldots$ nach rechts.
- Gehe zugleich um $a\cdot b^2$ nach oben oder unten.
- Spiegle jeden Punkt an der senkrechten Geraden durch den Scheitel.
- Verbinde die Punkte zu einer gleichmäßigen Kurve.
Gegeben sind $S(3\mid1)$ und $a=\frac12$. Die zugehörige Scheitelpunktform ist $f(x)=\frac12(x-3)^2+1$.
- Bei $b=1$ ist $\Delta y=\frac12\cdot1^2=0{,}5$. Die Punkte sind $(4\mid1{,}5)$ und $(2\mid1{,}5)$.
- Bei $b=2$ ist $\Delta y=\frac12\cdot2^2=2$. Die Punkte sind $(5\mid3)$ und $(1\mid3)$.
- Bei $b=3$ ist $\Delta y=\frac12\cdot3^2=4{,}5$. Die Punkte sind $(6\mid5{,}5)$ und $(0\mid5{,}5)$.
Die Punktpaare haben jeweils denselben Abstand von der Symmetrieachse $x=3$.
Wie bestimmst du die Parabelgleichung?
Sind der Scheitelpunkt $S(d\mid e)$ und ein weiterer Punkt $P(x_P\mid y_P)$ gegeben, ist in
$$f(x)=a(x-d)^2+e$$
nur noch $a$ unbekannt. Setze die Koordinaten des weiteren Punktes ein und löse nach $a$ auf.
Gesucht ist die Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(-3\mid-1)$, die durch $P(-2\mid1)$ verläuft.
Zuerst setzt du den Scheitel ein:
$$f(x)=a(x+3)^2-1$$
Dann setzt du $P(-2\mid1)$ ein:
$$1=a(-2+3)^2-1$$
$$1=a\cdot1^2-1$$
$$2=a$$
Damit lautet die Gleichung
$$f(x)=2(x+3)^2-1.$$
Zur Kontrolle setzt du $x=-2$ ein: $2\cdot1^2-1=1$. Der Punkt liegt also auf der Parabel.
Drei unbekannte Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ in der allgemeinen Form benötigen drei unabhängige Bedingungen. Zwei beliebige Punkte allein bestimmen eine allgemeine quadratische Funktion nicht eindeutig.
Wie wechselst du zwischen den Formen?
Die Scheitelpunktform zeigt Lage und Form der Parabel besonders deutlich. Die allgemeine Form entsteht durch Ausmultiplizieren.
Wandle $f(x)=2(x+3)^2-1$ in die allgemeine Form um.
$$f(x)=2(x^2+6x+9)-1$$
$$f(x)=2x^2+12x+18-1$$
$$f(x)=2x^2+12x+17$$
Die allgemeine Form lautet also $f(x)=2x^2+12x+17$.
Der Rückweg heißt quadratische Ergänzung. Dabei ergänzt und subtrahierst du denselben Wert. Der Term bleibt dadurch insgesamt unverändert.
Beginne mit $f(x)=2x^2+12x+17$ und klammere zuerst $2$ aus den Termen mit $x$ aus:
$$f(x)=2(x^2+6x)+17$$
Die Hälfte von $6$ ist $3$, ihr Quadrat ist $9$. Ergänze daher $+9-9$:
$$f(x)=2(x^2+6x+9-9)+17$$
Die ersten drei Terme bilden ein binomisches Quadrat:
$$f(x)=2((x+3)^2-9)+17$$
$$f(x)=2(x+3)^2-18+17$$
$$f(x)=2(x+3)^2-1$$
Nun kannst du den Scheitelpunkt $S(-3\mid-1)$ wieder direkt ablesen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Umformen von $2x^2+12x+17$ wird zuerst der Faktor ausgeklammert. Die Hälfte des linearen Koeffizienten $6$ in der Klammer ist ; ihr Quadrat ist . So entsteht die Scheitelpunktform .
Wie findest und prüfst du Nullstellen?
Eine Nullstelle ist ein $x$-Wert, an dem der Graph die $x$-Achse berührt oder schneidet. Dort gilt $f(x)=0$. Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen besitzen.
Bestimme die Nullstellen von $f(x)=2(x+3)^2-1$.
Setze die Funktion gleich $0$:
$$2(x+3)^2-1=0$$
$$2(x+3)^2=1$$
$$(x+3)^2=\frac12$$
Daraus folgen zwei Möglichkeiten:
$$x+3=\frac{\sqrt2}{2}\quad\text{oder}\quad x+3=-\frac{\sqrt2}{2}$$
Die Nullstellen sind
$$x_1=-3-\frac{\sqrt2}{2},\qquad x_2=-3+\frac{\sqrt2}{2}.$$
Beide liegen gleich weit von der Symmetrieachse $x=-3$ entfernt. Zur rechnerischen Kontrolle setzt du jeden Wert in die Funktion ein; der Funktionswert muss jeweils $0$ sein.
Rechnerisches und graphisches Ergebnis sollten zusammenpassen. Zeigt der Graph beispielsweise zwei Schnittpunkte mit der $x$-Achse, deine Rechnung aber nur eine Lösung, überprüfe besonders das Ziehen der Quadratwurzel: Bei einer positiven Zahl entstehen eine positive und eine negative Möglichkeit.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Parabel
- quadratische Funktion: $f(x)=ax^2+bx+c$
- Normalparabel: $f(x)=x^2$
- Scheitelpunktform: $a(x-d)^2+e$
- Scheitel: $S(d\mid e)$
- Symmetrieachse: $x=d$
- Form und Öffnung: Faktor $a$
- Zeichnen
- beim Scheitel beginnen
- Punkte mit $\Delta y=a\cdot b^2$ bestimmen
- Punkte spiegeln
- Formen wechseln
- ausmultiplizieren zur allgemeinen Form
- quadratisch ergänzen zur Scheitelpunktform
- Nullstellen
- $f(x)=0$ setzen
- Lösungen rechnerisch und graphisch prüfen
Abschluss-Check
Du kannst eine Parabel nun von zwei Seiten untersuchen: Der Funktionsterm beschreibt sie rechnerisch, der Graph macht Scheitel, Symmetrie und Nullstellen sichtbar. Nutze beide Darstellungen, um deine Ergebnisse gegenseitig zu kontrollieren.