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Normalparabel: zeichnen, erkennen und verschieben
Die Normalparabel ist der Graph der Funktion $f(x)=x^2$. Du berechnest Punkte durch Quadrieren, zeichnest daraus eine glatte U-förmige Kurve und kannst Verschiebungen am Funktionsterm ablesen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie entsteht die Normalparabel?
Was passiert, wenn du jede Zahl mit sich selbst multiplizierst? Genau diese Zuordnung beschreibt $f(x)=x^2$.
Normalparabel
Die Normalparabel ist der Graph der quadratischen Funktion $f(x)=x^2$ mit dem Definitionsbereich der reellen Zahlen. Bei einer quadratischen Funktion ist 2 der höchste Exponent von $x$; ihr Graph heißt Parabel.
Zum Zeichnen gehst du in vier Schritten vor:
- Wähle mehrere $x$-Werte.
- Setze jeden Wert in $f(x)=x^2$ ein.
- Trage die Punkte $(x|f(x))$ in ein Koordinatensystem ein.
- Verbinde sie durch eine glatte Kurve.
Für $x=-2$ gilt:
$$f(-2)=(-2)^2=(-2)\cdot(-2)=4$$
Die Klammern sind wichtig: Quadriert wird die ganze Zahl $-2$.
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)=x^2$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |
Damit erhältst du die Punkte $(-2|4)$, $(-1|1)$, $(0|0)$, $(1|1)$ und $(2|4)$.
Beim Quadrieren einer negativen Zahl setzt du die Zahl in Klammern: $(-2)^2=4$.
Woran erkennst du die Normalparabel?
Die Normalparabel besitzt drei auffällige Eigenschaften:
- Ihr Scheitelpunkt ist $S(0|0)$. Er ist ihr tiefster Punkt.
- Sie ist nach oben geöffnet.
- Sie ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
Die Symmetrie erkennst du schon an der Wertetabelle: Gegenzahlen ergeben denselben Funktionswert, zum Beispiel $f(-2)=f(2)=4$. Deshalb liegen $(-2|4)$ und $(2|4)$ gleich hoch und gleich weit von der $y$-Achse entfernt.
Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder höchste Punkt einer Parabel. Bei der nach oben geöffneten Normalparabel ist er der tiefste Punkt.
Die Funktion $y=-x^2$ ist keine Normalparabel. Ihr Graph entsteht durch Spiegelung der Normalparabel und ist nach unten geöffnet. Der Scheitel bleibt $S(0|0)$, ist nun aber der höchste Punkt.
Wie wird die Normalparabel verschoben?
Mit der Form
$$f(x)=(x-b)^2+c$$
verschiebst du die Normalparabel, ohne ihre Form oder ihre Öffnungsrichtung zu verändern. Ihr Scheitel liegt dann bei $S(b|c)$.
- $b$ beschreibt die Verschiebung in waagerechter Richtung.
- $c$ beschreibt die Verschiebung in senkrechter Richtung.
Außerhalb der Klammer liest du das Vorzeichen direkt ab. Innerhalb der Klammer wirkt es entgegengesetzt: $(x-3)^2$ führt zu $x=3$, aber $(x+3)^2$ zu $x=-3$.
Gegeben ist $g(x)=(x+2)^2-1$.
- Schreibe die Klammer gedanklich als $(x-(-2))^2$.
- Damit ist $b=-2$.
- Außerhalb der Klammer steht $c=-1$.
- Der Scheitel ist also $S(-2|-1)$.
Die Normalparabel wurde zwei Einheiten nach links und eine Einheit nach unten verschoben.
Spezialfälle helfen beim schnellen Ablesen:
- $x^2+c$ hat den Scheitel $S(0|c)$ und ist nur senkrecht verschoben.
- $(x-b)^2$ hat den Scheitel $S(b|0)$ und ist nur waagerecht verschoben.
- $(x-b)^2+c$ hat den Scheitel $S(b|c)$ und ist in beide Richtungen verschoben.
Kannst du das selbst anwenden?
Bestimme jeweils den Scheitel und beschreibe die Verschiebung:
- $f(x)=(x-3)^2-2$
- $g(x)=(x+2)^2+3$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $f(x)=(x-3)^2-2$ ist $b=$ und $c=$. Der Scheitel ist deshalb $S(|)$.
Lösung
- Bei $f(x)=(x-3)^2-2$ gilt $b=3$ und $c=-2$. Der Scheitel ist $S(3|-2)$. Die Parabel wurde drei Einheiten nach rechts und zwei Einheiten nach unten verschoben.
- Bei $g(x)=(x+2)^2+3$ gilt $b=-2$ und $c=3$. Der Scheitel ist $S(-2|3)$. Die Parabel wurde zwei Einheiten nach links und drei Einheiten nach oben verschoben.
Prüfe deine Antwort immer in zwei Schritten: Lies zuerst die waagerechte Verschiebung aus der Klammer ab und danach die senkrechte Verschiebung außerhalb der Klammer.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Normalparabel $f(x)=x^2$
- Zeichnen: Werte quadrieren und Punkte verbinden
- Scheitelpunkt: $S(0|0)$
- Symmetrie: zur $y$-Achse
- Öffnung: nach oben
- Spiegelung: $-x^2$ öffnet nach unten
- Verschiebung: $(x-b)^2+c$ hat den Scheitel $S(b|c)$
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Fragen begründen kannst, kannst du die Normalparabel zeichnen, ihre wichtigsten Eigenschaften erklären und verschobene Scheitel sicher bestimmen.