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Winkel verstehen: Arten, Messen und Winkelsätze
Ein Winkel entsteht zwischen zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Anfangspunkt. Seine Größe beschreibt, wie weit der eine Schenkel gegenüber dem anderen gedreht ist. Du kannst Winkel benennen, in Grad messen, nach ihrer Größe einordnen und mithilfe von Winkelbeziehungen berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie ist ein Winkel aufgebaut?
Stell dir zwei Lichtstrahlen vor, die am selben Punkt beginnen. Die beiden Strahlen begrenzen einen Winkelbereich.
Winkel
Ein Winkel wird von zwei Schenkeln begrenzt. Ihr gemeinsamer Anfangspunkt heißt Scheitelpunkt. Ein Kreisbogen kennzeichnet, welcher der möglichen Winkelbereiche gemeint ist.
Der markierte Bereich ist wichtig: Zwischen denselben Schenkeln können sowohl der kleinere innere als auch der größere äußere Winkel gemeint sein.
Winkel richtig benennen
Ein Winkel kann einen griechischen Kleinbuchstaben tragen, zum Beispiel $\alpha$ (Alpha), $\beta$ (Beta), $\gamma$ (Gamma) oder $\delta$ (Delta).
Bei der Benennung mit drei Punkten steht der Scheitelpunkt immer in der Mitte. In $\angle BAC$ ist deshalb $A$ der Scheitelpunkt. Die Schenkel verlaufen von $A$ nach $B$ und von $A$ nach $C$.
Bei einer Winkelbezeichnung mit drei Punkten steht der Scheitelpunkt in der Mitte.
Welche Winkelarten gibt es?
Winkel werden nach ihrer Größe eingeteilt. Die Einheit des Gradmaßes ist Grad mit dem Zeichen $^\circ$.
| Winkelart | Größe |
|---|---|
| Nullwinkel | $0^\circ$ |
| spitzer Winkel | größer als $0^\circ$, aber kleiner als $90^\circ$ |
| rechter Winkel | $90^\circ$ |
| stumpfer Winkel | größer als $90^\circ$, aber kleiner als $180^\circ$ |
| gestreckter Winkel | $180^\circ$ |
| überstumpfer Winkel | größer als $180^\circ$, aber kleiner als $360^\circ$ |
| voller Winkel | $360^\circ$ |
Ein Winkel von $137^\circ$ ist größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$. Er ist daher stumpf.
Ein Winkel von $180^\circ$ ist nicht stumpf. Er ist ein gestreckter Winkel, weil die Schenkel zusammen eine Gerade bilden.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Ein Winkel von $45^\circ$ ist . Ein Winkel von $90^\circ$ ist . Ein Winkel von $220^\circ$ ist . Ein Winkel von $360^\circ$ ist ein .
Wie misst und zeichnet man Winkel?
Ein Geodreieck besitzt einen Winkelmesser mit zwei gegenläufigen Skalen. Entscheidend ist, dass du am Schenkel mit $0^\circ$ beginnst.
Einen Winkel messen
- Lege den Mittelpunkt des Geodreiecks genau auf den Scheitelpunkt.
- Richte die Grundlinie an einem Schenkel aus.
- Wähle die Skala, die an diesem Schenkel bei $0^\circ$ beginnt.
- Lies dort ab, wo der zweite Schenkel die Skala trifft.
- Prüfe die Winkelart: Ein sichtbar spitzer Winkel muss beispielsweise kleiner als $90^\circ$ sein.
Der Mittelpunkt liegt auf dem Scheitelpunkt. Der erste Schenkel zeigt auf der passenden Skala zu $0^\circ$. Der zweite Schenkel trifft diese Skala bei $68^\circ$.
Der Winkel misst daher $68^\circ$. Das Ergebnis ist plausibel, weil der Winkel kleiner als ein rechter Winkel aussieht und $68^\circ<90^\circ$ gilt.
Bei einem überstumpfen Winkel misst du mit einem gewöhnlichen Geodreieck zunächst den kleineren Restwinkel. Beträgt dieser zum Beispiel $80^\circ$, dann ist der markierte überstumpfe Winkel
$$360^\circ-80^\circ=280^\circ.$$
Einen Winkel zeichnen
So zeichnest du beispielsweise einen Winkel von $137^\circ$:
- Zeichne einen ersten Schenkel und markiere seinen Anfang als Scheitelpunkt.
- Lege Mittelpunkt und Grundlinie des Geodreiecks passend an.
- Beginne auf der Skala, die am ersten Schenkel $0^\circ$ zeigt.
- Setze bei $137^\circ$ eine Markierung.
- Zeichne vom Scheitelpunkt durch die Markierung den zweiten Schenkel.
- Kennzeichne den gemeinten Winkel mit einem Kreisbogen.
Übung: selbst messen und zeichnen
- Zeichne freihändig einen spitzen und einen stumpfen Winkel.
- Schätze zuerst die Größe beider Winkel.
- Miss anschließend beide Winkel mit dem Geodreieck und notiere die Ergebnisse.
- Zeichne danach einen Winkel von $137^\circ$ und miss ihn zur Kontrolle erneut.
Selbstkontrolle: Der spitze Winkel muss zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ liegen, der stumpfe zwischen $90^\circ$ und $180^\circ$. Bei deiner letzten Zeichnung sollte die Kontrollmessung ungefähr $137^\circ$ ergeben. Weicht sie deutlich ab, prüfe Mittelpunkt, Grundlinie und verwendete Skala.
Schätze vor dem Ablesen die Winkelart. So bemerkst du sofort, wenn du versehentlich die falsche Skala benutzt hast.
Wie berechnet man fehlende Winkel?
Beim Schnitt zweier Geraden entstehen vier Winkel. Ihre Lage entscheidet darüber, welche Beziehung du verwenden darfst.
Scheitelwinkel
Scheitelwinkel liegen sich am Schnittpunkt zweier Geraden gegenüber. Sie sind gleich groß.
Nebenwinkel
Nebenwinkel liegen unmittelbar nebeneinander und bilden zusammen einen gestreckten Winkel. Ihre Summe beträgt $180^\circ$.
Ein Winkel misst $68^\circ$. Sein Nebenwinkel $x$ erfüllt
$$x+68^\circ=180^\circ.$$
Ziehe $68^\circ$ auf beiden Seiten ab:
$$x=180^\circ-68^\circ=112^\circ.$$
Der gegenüberliegende Scheitelwinkel ist ebenfalls $68^\circ$. Der Scheitelwinkel zu $x$ misst entsprechend $112^\circ$. Damit kommen am Schnittpunkt nur zwei Winkelgrößen vor.
Parallele Geraden mit einer Schnittgeraden
Schneidet eine dritte Gerade zwei parallele Geraden, gelten weitere Beziehungen:
- Stufenwinkel liegen an den beiden Schnittpunkten in entsprechender Lage. Sie sind gleich groß.
- Wechselwinkel liegen an unterschiedlichen Schnittpunkten auf entgegengesetzten Seiten der Schnittgeraden. Zusammengehörige Wechselwinkel sind bei parallelen Geraden gleich groß.
- Benachbarte Nebenwinkel ergänzen sich weiterhin zu $180^\circ$.
Die Gleichheit von Stufen- und Wechselwinkeln setzt parallele Geraden voraus. Ohne diese Bedingung darfst du die Sätze nicht anwenden.
Vertiefung: Gradmaß und Bogenmaß
Ein Winkel kann im Gradmaß oder im Bogenmaß angegeben werden. Das Bogenmaß beschreibt die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis. Seine Einheit heißt Radiant, kurz $\mathrm{rad}$.
Ein voller Winkel entspricht sowohl $360^\circ$ als auch $2\pi\,\mathrm{rad}$. Daraus folgen die Umrechnungen
$$1^\circ=\frac{\pi}{180}\,\mathrm{rad}$$
und
$$1\,\mathrm{rad}=\frac{180^\circ}{\pi}.$$
Um $60^\circ$ ins Bogenmaß umzuwandeln, multiplizierst du mit $\frac{\pi}{180}$:
$$60^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{3}.$$
Damit gilt
$$60^\circ=\frac{\pi}{3}\,\mathrm{rad}.$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Winkel
- Aufbau: zwei Schenkel und ein Scheitelpunkt
- Benennung: griechischer Buchstabe oder drei Punkte
- Größe: Gradmaß oder Bogenmaß
- Winkelarten: Grenzen bei $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$ und $360^\circ$
- Werkzeug: mit dem Geodreieck messen und zeichnen
- Geradenschnitt: Scheitelwinkel gleich, Nebenwinkel zusammen $180^\circ$
- Parallelen: Stufenwinkel und Wechselwinkel gleich groß
Abschluss-Check
Du bist sicher im Umgang mit Winkeln, wenn du zuerst ihre Lage erkennst, dann die passende Winkelart oder Beziehung auswählst und dein Ergebnis anschließend auf Plausibilität prüfst.