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Zusammengesetzte Körper: Volumen und Oberfläche
Ein zusammengesetzter Körper besteht aus mehreren bekannten Grundkörpern. Du zerlegst ihn gedanklich, berechnest die passenden Beiträge und verbindest sie: Angesetztes Volumen wird addiert, entferntes Volumen subtrahiert. Bei der Oberfläche zählen nur Flächen, die tatsächlich frei liegen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Vom Gesamtkörper zu Teilkörpern
Stell dir ein Spielhaus aus einem Würfel und einem pyramidenförmigen Dach vor. Die Trennlinie zwischen beiden Teilen zeigt dir, wo du den Körper gedanklich zerlegen kannst.
Zusammengesetzter Körper
Ein zusammengesetzter Körper besteht aus mindestens zwei einfachen Grundkörpern, zum Beispiel Quadern, Prismen, Zylindern, Pyramiden, Kegeln oder Kugelteilen. Auch ein Grundkörper mit einer Aushöhlung gehört dazu.
Gehe immer in dieser Reihenfolge vor:
- Markiere angesetzte Teile und Aussparungen.
- Benenne jeden Grundkörper.
- Notiere die benötigten Maße in derselben Längeneinheit.
- Entscheide, ob Volumen oder Oberfläche gesucht ist.
- Wähle erst dann die passenden Formeln.
Eine Skizze mit Trennlinien und Vorzeichen verhindert viele Fehler: Plus für angesetzte Teile, Minus für entfernte Teile.
Volumen addieren oder subtrahieren
Das Volumen misst den Rauminhalt. Für angesetzte Teilkörper gilt:
$$V_{gesamt}=V_1+V_2+\dots$$
Für eine Aushöhlung gilt entsprechend:
$$V_{Rest}=V_{Grundkörper}-V_{Aushöhlung}$$
Bei Quadern verwendest du $V=a\cdot b\cdot h$. Für gerade Prismen und Zylinder gilt das gemeinsame Prinzip Grundfläche mal Höhe:
$$V=G\cdot h$$
Bei Pyramiden und Kegeln ist das Volumen ein Drittel so groß wie beim passenden Prisma oder Zylinder:
$$V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$$
Ein gestufter Körper besteht aus zwei Quadern.
Unterer Quader:
$$V_1=6\,\mathrm{cm}\cdot2\,\mathrm{cm}\cdot1{,}5\,\mathrm{cm}=18\,\mathrm{cm^3}$$
Oberer Quader:
$$V_2=2\,\mathrm{cm}\cdot2\,\mathrm{cm}\cdot2\,\mathrm{cm}=8\,\mathrm{cm^3}$$
Beide Teile sind angesetzt:
$$V_{gesamt}=18\,\mathrm{cm^3}+8\,\mathrm{cm^3}=26\,\mathrm{cm^3}$$
Die Kubikeinheit passt, weil drei Längen miteinander multipliziert wurden.
Ein großer Quader mit $70\,\mathrm{cm^3}$ enthält zwei gleiche quaderförmige Lücken. Jede Lücke hat das Volumen
$$V_{Lücke}=3\,\mathrm{cm}\cdot2\,\mathrm{cm}\cdot1{,}4\,\mathrm{cm}=8{,}4\,\mathrm{cm^3}$$
Also:
$$V_{Rest}=70\,\mathrm{cm^3}-2\cdot8{,}4\,\mathrm{cm^3}=53{,}2\,\mathrm{cm^3}$$
Das Ergebnis ist kleiner als das Volumen des vollständigen Quaders. Das ist im Sachzusammenhang plausibel.
Oberfläche als Flächenbilanz
Die Oberfläche ist die Summe aller frei liegenden Flächen. Eine Kontaktfläche zwischen zwei zusammengeklebten Körpern liegt innen und zählt nicht.
Wenn du zunächst die vollständigen Oberflächen zweier Körper addierst, ist ihre gemeinsame Kontaktfläche zweimal enthalten: einmal bei jedem Teilkörper. Du musst sie daher zweimal abziehen.
$$O_{gesamt}=O_1+O_2-2\cdot A_{Kontakt}$$
Du kannst auch direkt nur die außen liegenden Teilflächen sammeln. Beide Wege führen zum selben Ergebnis.
Bei einer Aushöhlung wird Volumen entfernt. Gleichzeitig können neue Innenflächen entstehen, die zur Oberfläche gehören. Deshalb kann das Volumen kleiner, die Oberfläche aber größer werden.
Ein Zylinder trägt einen Kegel mit demselben Radius. Außen liegen beim Zylinder die untere Kreisfläche und der Mantel frei. Beim Kegel liegt nur der Mantel frei. Der obere Zylinderdeckel und der Kegelboden bilden die innere Kontaktfläche und werden nicht mitgerechnet.
Eine Turmspitze vollständig berechnen
Die Turmspitze besteht aus einem Zylinder und einem darauf gesetzten Kegel. Beide haben den Radius $r=1{,}5\,\mathrm{m}$. Der Zylinder ist $h_Z=2\,\mathrm{m}$ hoch, der Kegel $h_K=3{,}5\,\mathrm{m}$.
Das Volumen der Turmspitze
Für den Zylinder gilt:
$$V_Z=\pi r^2h_Z=\pi\cdot(1{,}5\,\mathrm{m})^2\cdot2\,\mathrm{m}$$
Für den Kegel gilt:
$$V_K=\frac{1}{3}\pi r^2h_K=\frac{1}{3}\pi\cdot(1{,}5\,\mathrm{m})^2\cdot3{,}5\,\mathrm{m}$$
Beide Körperteile sind angesetzt. Deshalb werden ihre Volumina addiert. Wenn du erst am Ende rundest, erhältst du:
$$V_{gesamt}=\pi\cdot1{,}5^2\cdot2+\frac{1}{3}\pi\cdot1{,}5^2\cdot3{,}5\approx22{,}38\,\mathrm{m^3}$$
Die Oberfläche der Turmspitze
Für den Kegelmantel brauchst du zuerst die Mantellinie $s$. Sie bildet mit Radius und Kegelhöhe ein rechtwinkliges Dreieck:
$$s=\sqrt{r^2+h_K^2}=\sqrt{1{,}5^2+3{,}5^2}\,\mathrm{m}\approx3{,}81\,\mathrm{m}$$
Beim Zylinder liegen die untere Kreisfläche und der Mantel außen. Beim Kegel liegt nur der Mantel außen. Die Kontaktfläche zwischen beiden Körpern zählt nicht:
$$O_{gesamt}=\pi r^2+2\pi rh_Z+\pi rs$$
$$O_{gesamt}=\pi\cdot1{,}5^2+2\pi\cdot1{,}5\cdot2+\pi\cdot1{,}5\cdot\sqrt{1{,}5^2+3{,}5^2}\approx43{,}86\,\mathrm{m^2}$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei der Turmspitze werden die Teilvolumina . Die gemeinsame Kreisfläche liegt und zählt deshalb nicht zur äußeren Oberfläche. Die Mantellinie des Kegels wird mit dem bestimmt.
Einheiten, Rundung und Ergebnischeck
Bevor du rechnest, müssen alle Längen in derselben Einheit stehen. Aus Längen entstehen je nach Rechnung verschiedene Einheiten:
- Länge: $\mathrm{cm}$
- Fläche: $\mathrm{cm^2}$
- Volumen: $\mathrm{cm^3}$
Runde möglichst erst das Endergebnis. Gerundete Zwischenergebnisse können sich beim Addieren oder Subtrahieren zu einer vermeidbaren Abweichung summieren.
Prüfe am Ende vier Punkte: richtiges Vorzeichen, passende Einheit, verlangte Rundung und Plausibilität im Sachzusammenhang.
Ein reales Objekt kann durch Grundkörper nur angenähert werden. Dann ist auch das berechnete Volumen ein Näherungswert. Schreibe das mit dem Zeichen $\approx$ kenntlich.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Zusammengesetzte Körper
- Zerlegen: Grundkörper, Aushöhlungen und Kontaktflächen erkennen
- Volumen: angesetzte Teile addieren, entfernte Teile subtrahieren
- Oberfläche: nur frei liegende Außen- und Innenflächen zählen
- Rechnen: Einheiten vereinheitlichen und Formeln einsetzen
- Prüfen: Vorzeichen, Einheit, Rundung und Plausibilität kontrollieren