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Allgemeines Gasgesetz einfach anwenden
Das allgemeine Gasgesetz verbindet Druck, Volumen und absolute Temperatur einer abgeschlossenen Gasmenge. Für eine feste Stoffmenge eines idealen Gases gilt: $\frac{pV}{T}=\text{konstant}$. Damit kannst du einen unbekannten Gaszustand berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Größen beschreiben ein Gas?
Ein Gaszustand wird durch mehrere Zustandsgrößen beschrieben:
- Druck $p$: Kraft je Fläche, meist in Pascal oder Bar
- Volumen $V$: verfügbarer Raum, etwa in Kubikmetern oder Litern
- absolute Temperatur $T$: Temperatur in Kelvin
- Stoffmenge $n$: Teilchenmenge in Mol
Die Zustandsgleichung des idealen Gases lautet:
$$pV=nRT$$
Dabei ist $R=8{,}314\,\mathrm{J/(mol\,K)}$ die universelle Gaskonstante. Verwendest du diesen Wert, setzt du den Druck in Pascal und das Volumen in Kubikmetern ein.
Ideales Gas
Ein ideales Gas ist ein vereinfachtes Modell. Seine Teilchen besitzen kein berücksichtigtes Eigenvolumen, ziehen sich nicht gegenseitig an und stoßen elastisch miteinander sowie mit den Wänden zusammen.
Warum du Kelvin brauchst
Gasgesetze beziehen sich auf den absoluten Nullpunkt. Deshalb setzt du Temperaturen nicht in Grad Celsius, sondern in Kelvin ein:
$$T\text{ in K}=\vartheta\text{ in }^\circ\mathrm{C}+273{,}15$$
Eine Temperaturänderung um $1\,\mathrm{K}$ ist genauso groß wie eine Änderung um $1\,{}^\circ\mathrm{C}$. Die Zahlenwerte der beiden Skalen unterscheiden sich jedoch um $273{,}15$.
Warum der absolute Druck zählt
Ein Manometer kann den Überdruck gegenüber der Umgebung anzeigen. In die Gasgleichung gehört dagegen der absolute Druck:
$$p_\mathrm{abs}=p_\mathrm{ü}+p_\mathrm{Umgebung}$$
Bei näherungsweise $1\,\mathrm{bar}$ Umgebungsdruck entsprechen $0{,}7\,\mathrm{bar}$ Überdruck also ungefähr $1{,}7\,\mathrm{bar}$ absolutem Druck.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für Gasrechnungen wird die Temperatur in eingesetzt. Zeigt ein Manometer nur den Druckunterschied zur Umgebung, handelt es sich um den . In die Gasgleichung gehört der .
Welches Gasgesetz passt?
Für die folgenden Beziehungen müssen die Gasmenge konstant und das Idealmodell ausreichend genau sein.
| Konstante Größe | Zustandsänderung | Beziehung |
|---|---|---|
| Temperatur $T$ | isotherm | $p_1V_1=p_2V_2$ |
| Druck $p$ | isobar | $\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$ |
| Volumen $V$ | isochor | $\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$ |
| keine der drei Größen | allgemein | $\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$ |
Frage zuerst: Was bleibt konstant? Streiche diese Größe gedanklich aus dem allgemeinen Gasgesetz. So erhältst du den passenden Spezialfall.
So erkennst du die Zusammenhänge
- Isotherm: Wird das Volumen halbiert, verdoppelt sich der Druck. Im $p$-$V$-Diagramm entsteht eine fallende Kurve.
- Isobar: Bei konstantem Druck sind $V$ und $T$ proportional. Im $V$-$T$-Diagramm ergibt sich bei Kelvin-Temperaturen eine Gerade durch den Ursprung.
- Isochor: Bei konstantem Volumen sind $p$ und $T$ proportional. Im $p$-$T$-Diagramm ergibt sich ebenfalls eine Gerade durch den Ursprung.
Wie rechnest du mit dem Gasgesetz?
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor:
- Notiere Anfangs- und Endzustand.
- Prüfe, welche Größe konstant bleibt.
- Rechne Celsius in Kelvin um und verwende absolute Drücke.
- Wähle die passende Gleichung und stelle sie nach der gesuchten Größe um.
- Setze konsistente Einheiten ein.
- Prüfe Einheit, Richtung der Änderung und Plausibilität.
Beispiel 1: Allgemeine Zustandsänderung
Ein abgeschlossenes Gas hat anfangs $V_1=2{,}0\,\mathrm{L}$, $p_1=1{,}0\,\mathrm{bar}$ und $T_1=293\,\mathrm{K}$. Danach betragen die Temperatur $T_2=333\,\mathrm{K}$ und der Druck $p_2=1{,}2\,\mathrm{bar}$. Gesucht ist $V_2$.
Da weder Druck noch Temperatur konstant bleiben, gilt:
$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$$
Nach $V_2$ umgestellt:
$$V_2=\frac{p_1V_1T_2}{T_1p_2}$$
Einsetzen:
$$V_2=\frac{1{,}0\,\mathrm{bar}\cdot2{,}0\,\mathrm{L}\cdot333\,\mathrm{K}}{293\,\mathrm{K}\cdot1{,}2\,\mathrm{bar}}\approx1{,}89\,\mathrm{L}$$
Die Einheiten Bar und Kelvin kürzen sich. Das Ergebnis ist plausibel: Die Erwärmung würde das Gas ausdehnen, der höhere Druck wirkt dieser Ausdehnung jedoch entgegen.
Beispiel 2: Zustandsgleichung mit Stoffmenge
In einem Behälter befinden sich $n=2{,}0\,\mathrm{mol}$ ideales Gas bei $T=300\,\mathrm{K}$. Das Volumen beträgt $V=0{,}050\,\mathrm{m^3}$. Gesucht ist der Druck.
Stelle $pV=nRT$ nach $p$ um:
$$p=\frac{nRT}{V}$$
Einsetzen:
$$p=\frac{2{,}0\,\mathrm{mol}\cdot8{,}314\,\mathrm{J/(mol\,K)}\cdot300\,\mathrm{K}}{0{,}050\,\mathrm{m^3}}=99\,768\,\mathrm{Pa}$$
Gerundet sind das $1{,}0\cdot10^5\,\mathrm{Pa}$ beziehungsweise ungefähr $1{,}0\,\mathrm{bar}$.
Was erklärt das Teilchenmodell – und wo endet es?
Gasdruck entsteht, weil sich Teilchen ungeordnet bewegen und gegen die Gefäßwand stoßen. Dabei übertragen sie Impuls auf die Wand.
- Erwärmen erhöht die mittlere kinetische Energie der Teilchen.
- Bei festem Volumen führen stärkere Wandstöße zu höherem Druck.
- Bei fester Temperatur führt ein kleineres Volumen zu häufigeren Wandstößen und damit zu höherem Druck.
- Kann sich ein Behälter bei ungefähr konstantem Druck ausdehnen, wächst sein Volumen beim Erwärmen.
Die Temperatur beschreibt die mittlere kinetische Energie einer großen Teilchenmenge. Sie gibt nicht die Geschwindigkeit eines einzelnen Teilchens an: Die Teilchen besitzen unterschiedliche Geschwindigkeiten.
Das ideale Gasgesetz ist eine Näherung. Reale Gase verhalten sich besonders bei hoher Temperatur und niedrigem Druck annähernd ideal. Bei hohem Druck oder tiefer Temperatur werden Eigenvolumen und Anziehung der Teilchen wichtig; außerdem können Phasenübergänge auftreten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Allgemeines Gasgesetz
- Zustandsgrößen: Druck, Volumen, Temperatur und Stoffmenge
- Grundgleichung: $pV=nRT$
- Feste Gasmenge: $pV/T=\text{konstant}$
- Spezialfälle: isotherm, isobar und isochor
- Rechenregeln: Kelvin, absoluter Druck und konsistente Einheiten
- Teilchenmodell: Wandstöße erzeugen Gasdruck
- Grenze: reale Gase bei hoher Dichte und tiefer Temperatur
Abschluss-Check
Du beherrschst den Kern, wenn du zuerst die konstanten Größen erkennst, anschließend Kelvin und absoluten Druck verwendest und dein Ergebnis mit dem Teilchenmodell auf Plausibilität prüfst.