Kinetische Gastheorie: Druck und Temperatur erklären

Stell dir ein geschlossenes Gefäß mit sehr vielen Teilchen vor. Du kannst keine einzelne Bahn verfolgen. Trotzdem sind Druck und Temperatur stabil messbar, weil Mittelwerte über eine riesige Zahl von Teilchen nur wenig schwanken.

Die Bewegung ist isotrop: Im Mittel ist keine Raumrichtung bevorzugt. Deshalb entfallen auf die drei Raumrichtungen gleich große Anteile von $\overline{v^2}$:

$$\overline{v_x^2}=\overline{v_y^2}=\overline{v_z^2}=\frac13\overline{v^2}$$

Das Modell beschreibt reale Gase besonders gut, wenn sie stark verdünnt sind. Bei hohem Druck liegen Teilchen dichter beieinander; dann werden Eigenvolumen und zwischenmolekulare Kräfte wichtiger.

Ein Teilchen der Masse $m$ fliegt mit der senkrechten Geschwindigkeitskomponente $v_x$ auf eine Wand. Beim elastischen Stoß kehrt sich diese Komponente um. Der Betrag des auf die Wand übertragenen Impulses ist deshalb

$$\Delta p_x=2mv_x.$$

In einem quaderförmigen Gefäß mit der Länge $\ell$ erreicht dasselbe Teilchen diese Wand nach der Zeit

$$\Delta t=\frac{2\ell}{v_x}$$

wieder. Impulsübertrag pro Zeit ergibt die mittlere Kraft. Mit der Wandfläche $A$ und $V=A\ell$ folgt für ein Teilchen:

$$F=\frac{\Delta p_x}{\Delta t}=\frac{mv_x^2}{\ell},\qquad p_1=\frac FA=\frac{mv_x^2}{V}.$$

Hier bezeichnet $p_x$ eine Impulskomponente; das alleinstehende $p$ bezeichnet den Druck.

Für $N$ gleiche Teilchen addieren sich die Beiträge. Wegen der gleichberechtigten Raumrichtungen gilt $\overline{v_x^2}=\frac13\overline{v^2}$. Damit erhältst du

$$pV=\frac13Nm\overline{v^2}.$$

Mit der mittleren translatorischen kinetischen Energie

$$\overline E_\mathrm{kin}=\frac12m\overline{v^2}$$

wird daraus

$$pV=\frac23N\overline E_\mathrm{kin}.$$

Die Teilchenform des idealen Gasgesetzes lautet

$$pV=NkT.$$

Dabei ist $k$ die Boltzmann-Konstante. Zusammen mit der Druckgleichung folgt

$$\overline E_\mathrm{kin}=\frac12m\overline{v^2}=\frac32kT.$$

Die absolute Temperatur $T$ in Kelvin misst im idealen, rein translatorischen Modell die mittlere kinetische Energie der ungeordneten Teilchenbewegung. Sie sagt nicht, dass jedes Teilchen dieselbe Energie oder Geschwindigkeit besitzt.

Bei gleicher Temperatur haben verschiedene ideale Gase dieselbe mittlere translatorische Energie pro Teilchen. Leichtere Teilchen müssen dafür im quadratischen Mittel schneller sein:

$$v_\mathrm{rms}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}.$$

Verwechsle nicht $\overline{v^2}$ mit $\overline v^{\,2}$. Für die Werte $1$, $2$, $3$ und $4$ gilt

$$\overline{v^2}=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2}{4}=7{,}5,$$

aber

$$\overline v^{\,2}=\left(\frac{1+2+3+4}{4}\right)^2=6{,}25.$$

Für $n$ Mol eines idealen Gases gilt

$$pV=nRT.$$

$p$ ist der Druck, $V$ das Volumen, $n$ die Stoffmenge, $T$ die absolute Temperatur und $R$ die universelle Gaskonstante. Mit $N=nN_A$ und $k=R/N_A$ ist diese molare Form gleichwertig zu $pV=NkT$.

Für eine abgeschlossene Gasmenge bleibt $n$ konstant. Zwei Zustände desselben Gases lassen sich dann ohne den Zahlenwert von $R$ vergleichen:

$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}.$$

Die Spezialfälle zeigen dir auch die Form der Zustandsdiagramme:

Auch im Gleichgewicht besitzen nicht alle Teilchen dieselbe Geschwindigkeit. Die Maxwell-Geschwindigkeitsverteilung beschreibt, welcher Anteil der Teilchen in einem Geschwindigkeitsbereich liegt:

$$n(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2\exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right).$$

Du musst die Formel nicht integrieren, um die Kurve zu deuten:

• Bei $v=0$ beginnt die Verteilung bei null.
• Sie steigt zu einem Maximum an und fällt danach mit langem rechten Ausläufer ab.
• Bei höherer Temperatur wird die Kurve breiter und niedriger; ihr Maximum wandert zu größeren Geschwindigkeiten.
• Für dieselbe Teilchenzahl bleibt die gesamte Fläche unter der Kurve gleich.

Drei Geschwindigkeitsgrößen sind verschieden:

$$v_w\lt\overline v\lt v_\mathrm{rms}.$$

$v_w$ ist die wahrscheinlichste Geschwindigkeit am Kurvenmaximum, $\overline v$ der arithmetische Mittelwert der Beträge und $v_\mathrm{rms}=\sqrt{\overline{v^2}}$ die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit.

Das ideale Gas ist ein Modell, keine Behauptung über perfekte Punktteilchen in jedem realen Gas. Abweichungen werden wichtig, wenn Teilchen dicht beieinanderliegen und ihre gegenseitigen Kräfte oder ihr Eigenvolumen nicht mehr vernachlässigt werden können. Das tritt besonders bei hohem Druck auf; ausreichend verdünnte reale Gase nähern sich dem idealen Verhalten.

Auch die Energieaussage braucht eine Grenze: $\frac32kT$ beschreibt die mittlere translatorische kinetische Energie pro Teilchen. Mehratomige Moleküle können Energie zusätzlich in anderen Bewegungsformen speichern. Gleicher Druck, gleiches Volumen und gleiche Temperatur bedeuten daher nicht automatisch, dass verschiedene Gase in jeder mikroskopischen Eigenschaft übereinstimmen.