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Coulombsches Gesetz: Formel, Richtung und Aufgaben
Das Coulombsche Gesetz beschreibt die elektrische Kraft zwischen zwei ruhenden Ladungen. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Der Kraftbetrag wächst mit den Ladungsbeträgen und nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Anziehung oder Abstoßung erkennen
Elektrische Ladungen können positiv oder negativ sein. Die Vorzeichen entscheiden über die Richtung der Wechselwirkung:
- gleiche Vorzeichen: Abstoßung;
- unterschiedliche Vorzeichen: Anziehung.
Coulombkraft
Die Coulombkraft ist die elektrostatische Kraft zwischen Ladungen. Bei zwei Punktladungen liegt sie auf ihrer Verbindungslinie.
Auf jede Ladung wirkt eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kraft. Es gilt daher:
$$\vec F_{12}=-\vec F_{21}$$
Das bedeutet nicht, dass sich die Kräfte gegenseitig aufheben: Sie greifen an verschiedenen Ladungen an.
Eine positive und eine negative Ladung liegen nebeneinander. Beide werden zueinander gezogen. Die Kraft auf die positive Ladung zeigt zur negativen Ladung; die Kraft auf die negative Ladung zeigt zur positiven Ladung. Die Beträge sind gleich.
Den Kraftbetrag berechnen
Für zwei Punktladungen im Vakuum lautet die Betragsform:
$$F_\mathrm C=k_\mathrm C\frac{|q_1q_2|}{r^2}$$
Dabei bedeuten:
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| $F_\mathrm C$ | Betrag der Coulombkraft | Newton (N) |
| $q_1, q_2$ | elektrische Ladungen | Coulomb (C) |
| $r$ | Abstand der Ladungen | Meter (m) |
| $k_\mathrm C$ | Coulomb-Konstante | $8{,}99\cdot10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}$ |
Die Betragsform enthält $|q_1q_2|$, weil ein Kraftbetrag nicht negativ ist. Die Vorzeichen brauchst du anschließend für die Entscheidung zwischen Anziehung und Abstoßung.
Gegeben sind $q_1=+2{,}00\,\mathrm{nC}$, $q_2=-3{,}00\,\mathrm{nC}$ und $r=0{,}20\,\mathrm m$.
1. Ladungen in Coulomb umrechnen:
$$q_1=2{,}00\cdot10^{-9}\,\mathrm C,\qquad |q_2|=3{,}00\cdot10^{-9}\,\mathrm C$$
2. Beträge einsetzen:
$$F_\mathrm C=8{,}99\cdot10^9\frac{2{,}00\cdot10^{-9}\cdot3{,}00\cdot10^{-9}}{(0{,}20)^2}\,\mathrm N$$
3. Ausrechnen:
$$F_\mathrm C=1{,}35\cdot10^{-6}\,\mathrm N$$
4. Richtung angeben: Die Vorzeichen sind verschieden. Die Ladungen ziehen sich mit einem Kraftbetrag von etwa $1{,}35\,\mathrm{\mu N}$ an.
Rechne Nanocoulomb mit $1\,\mathrm{nC}=10^{-9}\,\mathrm C$ und Zentimeter mit $1\,\mathrm{cm}=10^{-2}\,\mathrm m$ um, bevor du einsetzt.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für die Betragsform werden Ladungen in und Abstände in eingesetzt. Das Vorzeichen der Ladungen bestimmt die , nicht einen negativen Kraftbetrag.
Änderungen von Ladung und Abstand vorhersagen
Aus der Formel folgen zwei wichtige Proportionalitäten:
$$F_\mathrm C\propto |q_1q_2|,\qquad F_\mathrm C\propto\frac1{r^2}$$
Verdoppelst du nur eine Ladung, verdoppelt sich die Kraft. Verdoppelst du dagegen den Abstand, wird die Kraft durch $2^2=4$ geteilt und sinkt auf ein Viertel.
| Änderung | neuer Kraftbetrag |
|---|---|
| $q_1$ verdoppelt | $2F$ |
| beide Ladungsbeträge verdoppelt | $4F$ |
| Abstand verdoppelt | $F/4$ |
| Abstand verdreifacht | $F/9$ |
| Abstand halbiert | $4F$ |
Eine Kraft beträgt zunächst $12\,\mathrm N$. Der Abstand wird verdreifacht, während die Ladungen gleich bleiben. Wegen des Quadrats im Nenner gilt:
$$F_\mathrm{neu}=\frac{12\,\mathrm N}{3^2}=\frac{12\,\mathrm N}{9}=1{,}33\,\mathrm N$$
Der entscheidende Gedanke ist: Der Abstandsfaktor wird quadriert.
Mehrere Ladungen zusammensetzen
Wirken mehrere Ladungen auf eine Probeladung, berechnest du zunächst jede Einzelkraft. Danach addierst du die Kraftvektoren. Dieses Vorgehen heißt Superpositionsprinzip:
$$\vec F_\mathrm{ges}=\vec F_1+\vec F_2+\dots$$
Ein Vektor besitzt Betrag und Richtung. Deshalb darfst du Kraftbeträge nur dann einfach addieren, wenn die Kräfte in dieselbe Richtung zeigen. Bei entgegengesetzten Richtungen werden ihre Beträge voneinander abgezogen; in zwei oder drei Dimensionen müssen die Vektorkomponenten addiert werden.
Eine positive Probeladung liegt genau zwischen zwei positiven Quellladungen. Die linke Quellladung erzeugt am Ort der Probeladung eine Kraft von $2\,\mathrm N$ nach rechts. Die rechte erzeugt eine Kraft von $5\,\mathrm N$ nach links.
Wähle rechts als positive Richtung:
$$F_\mathrm{ges}=+2\,\mathrm N-5\,\mathrm N=-3\,\mathrm N$$
Das Minuszeichen beschreibt die Richtung. Die resultierende Kraft hat den Betrag $3\,\mathrm N$ und zeigt nach links.
Geltungsbereich und typische Fehler prüfen
Die einfache Formel gilt unmittelbar für ruhende Punktladungen im Vakuum. Für kugelsymmetrische Ladungsverteilungen kann sie an Punkten außerhalb der Verteilung mit dem Abstand der Mittelpunkte verwendet werden. Bei ausgedehnten, nicht kugelsymmetrischen Verteilungen muss die Ladungsverteilung genauer berücksichtigt werden.
In einem geeigneten homogenen, isotropen und linear polarisierbaren Medium wird die Permittivität $\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_\mathrm r$ verwendet. Gegenüber dem Vakuum ist der Kraftbetrag dann um den Faktor $\varepsilon_\mathrm r$ kleiner. Im Vakuum gilt $\varepsilon_\mathrm r=1$.
Typische Fehler sind:
- Zentimeter oder Nanocoulomb ohne Umrechnung einzusetzen;
- den Abstand nicht zu quadrieren;
- ein negatives Ergebnis als negativen Kraftbetrag zu deuten;
- bei mehreren Ladungen nur Beträge statt Vektoren zu addieren;
- die Punktladungsformel ungeprüft auf beliebige ausgedehnte Körper zu übertragen.
Das Coulombsche Gesetz gehört zur Elektrostatik. Bei bewegten Ladungen können zusätzlich magnetische Wirkungen auftreten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Coulombsches Gesetz
- Richtung: Vorzeichen entscheiden über Anziehung oder Abstoßung
- Betrag: Ladungsprodukt im Zähler, Abstandsquadrat im Nenner
- Einheiten: Coulomb, Meter und Newton
- Paarwechselwirkung: gleich große Gegenkräfte
- Mehrere Ladungen: Kraftvektoren addieren
- Grenzen: Punktladungsmodell, Elektrostatik und geeignetes Medium prüfen