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Drehbewegung: Größen, Kräfte und Drehimpuls
Bei einer Drehbewegung bewegen sich Punkte eines Körpers um eine Drehachse. Mit Drehwinkel, Umlaufdauer und Winkelgeschwindigkeit beschreibst du die Bewegung; Drehmoment, Trägheitsmoment und Drehimpuls erklären ihre Änderung.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Eine Umdrehung mit Winkel und Zeit beschreiben
Stell dir einen Punkt am Rand eines Riesenrads vor. Sein Abstand $r$ von der Drehachse bleibt gleich, während der Radius einen Drehwinkel $\varphi$ überstreicht.
Bogenmaß
Das Bogenmaß beschreibt einen Winkel über das Verhältnis von Kreisbogen $s$ und Radius $r$. Eine vollständige Umdrehung entspricht $360^\circ=2\pi\,\mathrm{rad}$.
Für einen Kreisbogen gilt, wenn $\varphi$ im Bogenmaß eingesetzt wird:
$$s=r\varphi$$
Die Umlaufdauer $T$ ist die Zeit für eine vollständige Umdrehung. Die Frequenz $f$ gibt die Zahl der Umdrehungen pro Sekunde an:
$$f=\frac{1}{T}$$
Ihre Einheit ist $\mathrm{Hz}=1/\mathrm{s}$. Eine große Frequenz bedeutet eine kurze Umlaufdauer.
Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ gibt an, wie schnell sich der Drehwinkel ändert. Bei einer gleichförmigen Drehung gilt:
$$\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$$
Ein Riesenrad schafft vier Umdrehungen in $6\,\mathrm{s}$.
Zuerst bestimmst du die Umlaufdauer:
$$T=\frac{6\,\mathrm{s}}{4}=1{,}5\,\mathrm{s}$$
Dann berechnest du die Frequenz:
$$f=\frac{1}{1{,}5\,\mathrm{s}}=\frac{2}{3}\,\mathrm{Hz}\approx0{,}67\,\mathrm{Hz}$$
Das Riesenrad vollführt also ungefähr $0{,}67$ Umdrehungen pro Sekunde.
Bahn- und Winkelgeschwindigkeit verbinden
Ein Punkt weiter außen legt bei demselben Drehwinkel einen längeren Weg zurück. Deshalb besitzen Punkte eines starren rotierenden Körpers dieselbe Winkelgeschwindigkeit, aber nicht unbedingt dieselbe Bahngeschwindigkeit.
$$v=r\omega=\frac{2\pi r}{T}$$
Der Geschwindigkeitsvektor zeigt in jedem Augenblick tangential zur Kreisbahn und damit senkrecht zum Radius.
Janine läuft eine Runde auf einer Kreisbahn mit $r=57\,\mathrm{m}$. Jan läuft $3\,\mathrm{m}$ weiter außen, also bei $r=60\,\mathrm{m}$.
Die Rundenlängen sind:
$$s_\text{Janine}=2\pi\cdot57\,\mathrm{m}\approx358\,\mathrm{m}$$
$$s_\text{Jan}=2\pi\cdot60\,\mathrm{m}\approx377\,\mathrm{m}$$
Die Differenz hängt nur vom zusätzlichen Radius ab:
$$\Delta s=2\pi\cdot3\,\mathrm{m}\approx18{,}85\,\mathrm{m}$$
Jan läuft pro Runde also ungefähr $19\,\mathrm{m}$ weiter.
Gleiche Winkelgeschwindigkeit bedeutet nicht gleiche Bahngeschwindigkeit: Bei größerem Radius ist $v=r\omega$ größer.
Warum eine gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt ist
Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung bleibt der Betrag der Bahngeschwindigkeit konstant. Ihre Richtung ändert sich jedoch fortwährend. Weil Beschleunigung jede Änderung des Geschwindigkeitsvektors beschreibt, ist auch diese Bewegung beschleunigt.
Die zum Mittelpunkt gerichtete Zentripetalbeschleunigung hat den Betrag
$$a_\mathrm{ZP}=\frac{v^2}{r}=r\omega^2$$
Sie steht senkrecht zur momentanen Geschwindigkeit. Eine Tangentialbeschleunigung tritt bei der gleichförmigen Kreisbewegung nicht auf.
Damit ein Körper auf der Kreisbahn bleibt, muss die resultierende Kraft zum Zentrum zeigen:
$$F_\mathrm{ZP}=ma_\mathrm{ZP}=m\frac{v^2}{r}=mr\omega^2$$
Die Zentripetalkraft ist keine zusätzliche Kraftart. Sie ist die zum Zentrum gerichtete Resultierende der tatsächlich wirkenden Kräfte, etwa von Seilkraft, Haftreibung oder Gewichtskraft.
Vom Massepunkt zum starren Körper
Ein Massepunkt besitzt keine räumliche Ausdehnung und keine Orientierung. Für die Drehung eines ausgedehnten Körpers nutzt man daher das Modell des starren Körpers: Seine Form und die Abstände seiner Teile untereinander werden als unveränderlich angenähert.
Die Bewegung eines starren Körpers lässt sich aus Translation und Rotation zusammensetzen. Viele Größen haben ein rotatorisches Gegenstück:
| Lineare Bewegung | Drehbewegung |
|---|---|
| Weg | Drehwinkel |
| Geschwindigkeit | Winkelgeschwindigkeit |
| Beschleunigung | Winkelbeschleunigung |
| Masse | Trägheitsmoment |
| Kraft | Drehmoment |
| Impuls | Drehimpuls |
| kinetische Energie | Rotationsenergie |
Die Analogie hilft beim Ordnen. Die Größen sind trotzdem nicht austauschbar: Eine Kraft verändert den linearen Impuls; ein Drehmoment verändert den Drehimpuls.
Trägheitsmoment und Drehmoment unterscheiden
Das Trägheitsmoment $I$ beschreibt, wie stark sich ein Körper einer Änderung seiner Drehbewegung widersetzt. Es hängt von seiner Masse, der Verteilung dieser Masse und der gewählten Drehachse ab.
Für einzelne Massepunkte gilt:
$$I=\sum_i m_i r_i^2$$
Dabei ist $r_i$ jeweils der Abstand eines Massepunkts von der Drehachse. Die Einheit des Trägheitsmoments ist $\mathrm{kg\,m^2}$.
Vergleiche einen Massepunkt $m$ im Abstand $r$ mit demselben Massepunkt im Abstand $2r$:
$$I_1=mr^2$$
$$I_2=m(2r)^2=4mr^2$$
Durch den doppelten Abstand wird das Trägheitsmoment viermal so groß. Bei gleichem Drehmoment lässt sich die zweite Anordnung deshalb weniger stark in ihrer Winkelgeschwindigkeit ändern.
Ein Drehmoment entsteht, wenn eine Kraft mit einem wirksamen Abstand zur Drehachse angreift:
$$\vec T_\mathrm D=\vec r\times\vec F$$
Für eine Kraftkomponente senkrecht zum Radius vereinfacht sich der Betrag zu
$$T_\mathrm D=rF_\mathrm{tangential}$$
Eine Kraft, deren Wirkungslinie durch die Drehachse verläuft, besitzt keinen wirksamen Hebelarm und erzeugt um diese Achse kein Drehmoment.
Energie und Drehimpuls bei Rotation
Ein rotierender starrer Körper besitzt Rotationsenergie:
$$E_\mathrm{rot}=\frac{1}{2}I\omega^2$$
Sowohl ein größeres Trägheitsmoment als auch eine größere Winkelgeschwindigkeit erhöhen diese Energie.
Der Drehimpuls $\vec L$ eines Massepunkts ist
$$\vec L=\vec r\times\vec p$$
Für eine Rotation um eine geeignete feste Achse lässt sich sein Betrag beziehungsweise der Drehimpuls des Körpers in der hier betrachteten Form schreiben als
$$L=I\omega$$
Ein äußeres Gesamtdrehmoment verändert den Drehimpuls:
$$\frac{\mathrm d\vec L}{\mathrm dt}=\vec T_\mathrm{Gesamt}$$
Wirkt kein äußeres Gesamtdrehmoment, bleibt der Gesamtdrehimpuls konstant.
Eine Person dreht sich auf einem Drehstuhl und zieht Massen näher an die Achse. Dadurch sinkt ihr Trägheitsmoment $I$. Weil ohne äußeres Gesamtdrehmoment $L=I\omega$ konstant bleibt, muss $\omega$ steigen: Die Person dreht sich schneller.
Kraft und Impuls gehören zur Translation; Drehmoment und Drehimpuls zur Rotation. Ohne äußeres Gesamtdrehmoment bleibt der Drehimpuls erhalten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Drehbewegung
- Beschreiben
- Drehwinkel, Umlaufdauer, Frequenz und Winkelgeschwindigkeit
- Bahngeschwindigkeit $v=r\omega$
- Kreisbahn erklären
- Zentripetalbeschleunigung zeigt zum Zentrum
- Resultierende Zentripetalkraft hält den Körper auf der Bahn
- Starre Körper untersuchen
- Trägheitsmoment hängt von Masse, Verteilung und Achse ab
- Drehmoment verändert den Drehimpuls
- Erhaltung nutzen
- Ohne äußeres Gesamtdrehmoment bleibt der Drehimpuls konstant
- Beschreiben
Abschluss-Check
Du kannst eine Drehbewegung nun auf drei Ebenen untersuchen: Du beschreibst sie mit Winkel- und Bahngrößen, erklärst die Kreisbahn durch die resultierende Kraft und analysierst starre Körper mit Trägheitsmoment, Drehmoment und Drehimpuls.