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Wenn sich ein Rad, ein Karussell oder ein Zeiger dreht, bewegt sich nicht jeder Punkt auf dieselbe Weise. Außen legt ein Punkt mehr Strecke zurück als innen, obwohl beide in derselben Zeit denselben Winkel schaffen. Danach kannst du Drehbewegungen mit Umlaufdauer, Frequenz, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit beschreiben.
- Ich kann Winkel, Umlaufdauer und Frequenz bei einer Drehbewegung erklären.
- Ich kann die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ berechnen und die Einheit richtig deuten.
- Ich kann Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit unterscheiden.
- Ich kann mit $v=\omega r$ Aufgaben zur Kreisbewegung lösen.
- Ich kann typische Fehler bei Gradmaß, Bogenmaß und Geschwindigkeit erkennen.
Erst sehen, was sich dreht
Eine Drehbewegung liegt vor, wenn sich ein Körper um eine Drehachse bewegt. Diese Achse kann sichtbar sein, zum Beispiel bei einem Fahrradreifen, oder nur gedacht, zum Beispiel bei der Erde auf ihrer Bahn.
Wichtig ist: Alle Punkte eines starren Rades drehen sich in derselben Zeit um denselben Winkel. Aber Punkte weiter außen legen auf ihrer Kreisbahn eine längere Strecke zurück.
Drehbewegung
Eine Drehbewegung ist eine Bewegung um eine feste oder momentane Drehachse. Ein Punkt des Körpers beschreibt dabei meist eine Kreisbahn. Zur Beschreibung nutzt du Winkel, Zeit, Radius und Geschwindigkeiten.
Ein Sekundenzeiger dreht sich in \(60\,\text{s}\) einmal vollständig.
Ein Punkt an der Zeigerspitze und ein Punkt nahe an der Mitte schaffen beide in \(60\,\text{s}\) den Winkel \(360^\circ\).
Die Spitze legt aber einen größeren Kreisbogen zurück, weil ihr Radius größer ist.
Gleicher Drehwinkel bedeutet nicht automatisch gleiche Strecke. Der Radius entscheidet über die Bahnlänge.
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Umlaufdauer und Frequenz
Die Umlaufdauer sagt, wie lange eine vollständige Drehung dauert. Die Frequenz sagt, wie viele vollständige Drehungen pro Sekunde passieren.
Umlaufdauer und Frequenz
Die Umlaufdauer \(T\) ist die Zeit für eine ganze Umdrehung. Die Frequenz \(f\) ist die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde. Es gilt \(f=\frac{1}{T}\) und \(T=\frac{1}{f}\).
Die Einheit der Umlaufdauer ist Sekunde: \(\text{s}\). Die Einheit der Frequenz ist Hertz: \(\text{Hz}=\frac{1}{\text{s}}\).
Ein kleiner Motor macht alle \(0{,}25\,\text{s}\) eine volle Umdrehung.
Gesucht ist die Frequenz.
Der Motor dreht sich also viermal pro Sekunde.
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Winkelgeschwindigkeit
Bei einer Drehbewegung reicht "Meter pro Sekunde" oft nicht aus. Du möchtest auch wissen, wie schnell sich der Winkel ändert. Dafür nutzt du die Winkelgeschwindigkeit.
Winkelgeschwindigkeit
Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) ist die Winkeländerung pro Zeit:
Für eine gleichförmige volle Umdrehung gilt:
Der Winkel muss für diese Formel im Bogenmaß stehen. Eine volle Umdrehung ist nicht \(360\) in der Formel, sondern \(2\pi\,\text{rad}\). Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist \(\frac{1}{\text{s}}\) oder genauer \(\frac{\text{rad}}{\text{s}}\).
Ein Rad braucht für eine volle Umdrehung \(T=4\,\text{s}\).
Das Rad überstreicht also pro Sekunde ungefähr \(1{,}57\) Radiant.
In Formeln zur Winkelgeschwindigkeit rechnest du mit Bogenmaß. \(180^\circ\) entspricht \(\pi\,\text{rad}\), eine volle Drehung entspricht \(2\pi\,\text{rad}\).
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Bahngeschwindigkeit und Radius
Die Bahngeschwindigkeit beschreibt, wie schnell ein Punkt entlang seiner Kreisbahn Strecke zurücklegt. Sie hängt davon ab, wie schnell gedreht wird und wie weit der Punkt von der Achse entfernt ist.
Bahngeschwindigkeit
Die Bahngeschwindigkeit \(v\) ist die Geschwindigkeit entlang der Kreisbahn. Bei gleichförmiger Kreisbewegung gilt:
Dabei ist \(r\) der Radius der Kreisbahn.
Ein Karussell dreht sich mit \(\omega\approx1{,}57\,\frac{1}{\text{s}}\). Ein Kind sitzt in \(r=0{,}80\,\text{m}\) Abstand von der Mitte.
Sitzt ein zweites Kind näher an der Mitte, ist seine Winkelgeschwindigkeit gleich, aber seine Bahngeschwindigkeit kleiner.
Ein häufiger Denkfehler lautet: "Wenn beide gleichzeitig herumkommen, sind sie gleich schnell." Das stimmt nur für die Winkelgeschwindigkeit. Die Bahngeschwindigkeit ist außen größer, weil der Weg pro Umlauf länger ist.
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Prüfungsmodus
In Aufgaben zur Drehbewegung musst du zuerst entscheiden, welche Geschwindigkeit gemeint ist. Wird nach "Umdrehungen pro Sekunde" gefragt, geht es um Frequenz. Wird nach "Winkel pro Zeit" gefragt, geht es um \(\omega\). Wird nach "Meter pro Sekunde" gefragt, geht es um \(v\).
Ein Rad hat den Radius \(0{,}30\,\text{m}\) und dreht sich mit \(5\,\text{Hz}\).
Winkelgeschwindigkeit:
$$ \omega=2\pi f=2\pi\cdot5\,\frac{1}{\text{s}}=10\pi\,\frac{1}{\text{s}}\approx31{,}4\,\frac{1}{\text{s}} $$Bahngeschwindigkeit am Rand:
$$ v=\omega r\approx31{,}4\,\frac{1}{\text{s}}\cdot0{,}30\,\text{m}=9{,}42\,\frac{\text{m}}{\text{s}} $$
Die Einheiten helfen beim Prüfen: \(\frac{1}{\text{s}}\cdot\text{m}=\frac{\text{m}}{\text{s}}\).
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Drehbewegungen beschreibst du mit Winkel, Umlaufdauer, Frequenz, Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit. Für eine volle gleichförmige Drehung gilt \(f=\frac{1}{T}\) und \(\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\). Die Bahngeschwindigkeit eines Punktes berechnest du mit \(v=\omega r\). Punkte auf demselben starren Rad haben dieselbe Winkelgeschwindigkeit, aber bei größerem Radius eine größere Bahngeschwindigkeit.