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Drehmoment und Hebel einfach berechnen
Ein Hebel dreht sich um einen Drehpunkt. Wie stark eine Kraft dreht, hängt von zwei Größen ab: von der Kraft und vom senkrechten Abstand ihrer Wirkungslinie zum Drehpunkt. Diese Drehwirkung heißt Drehmoment.
Auf dieser Seite lernst du, den wirksamen Hebelarm zu erkennen, Drehmomente zu berechnen und Hebel ins Gleichgewicht zu bringen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wovon hängt die Drehwirkung ab?
Stell dir vor, du löst eine Schraube mit einem Schraubenschlüssel. Drückst du weit außen am Griff, gelingt das leichter als nahe an der Schraube. Die Kraft kann gleich bleiben – der größere Abstand verstärkt ihre Drehwirkung.
Drehmoment
Das Drehmoment $M$ beschreibt die Drehwirkung einer Kraft um einen gewählten Drehpunkt oder eine Drehachse.
Für den Betrag gilt:
$$M = F \cdot a$$
Dabei ist $F$ die Kraft in Newton und $a$ der wirksame Hebelarm in Metern. Die Einheit des Drehmoments ist Newtonmeter, kurz $\mathrm{N\,m}$.
Der Drehpunkt ist der Punkt, um den sich der Hebel drehen kann. Die Wirkungslinie ist die gedachte gerade Linie in Richtung der Kraft.
Der wirksame Hebelarm $a$ ist der senkrechte Abstand zwischen Drehpunkt und Wirkungslinie. Er ist nicht immer einfach der Abstand bis zum Angriffspunkt der Kraft.
Nur wenn die Kraft senkrecht zum Hebel wirkt, entspricht der Abstand zwischen Drehpunkt und Angriffspunkt dem wirksamen Hebelarm.
Verläuft die Wirkungslinie durch den Drehpunkt, ist $a=0$. Dann gilt $M=0$: Die Kraft kann drücken oder ziehen, erzeugt aber keine Drehwirkung um diesen Punkt.
Eine Kraft von $100\,\mathrm N$ wirkt senkrecht auf einen Schraubenschlüssel. Der Angriffspunkt liegt $30\,\mathrm{cm}$ von der Schraube entfernt.
Zuerst wird der Abstand umgerechnet:
$$30\,\mathrm{cm}=0{,}30\,\mathrm m$$
Dann wird das Drehmoment berechnet:
$$M=100\,\mathrm N\cdot0{,}30\,\mathrm m=30\,\mathrm{N\,m}$$
Die Kraft erzeugt ein Drehmoment von $30\,\mathrm{N\,m}$.
Wie berechnest du ein Drehmoment?
Gehe bei einer Rechnung in dieser Reihenfolge vor:
- Lege den Drehpunkt fest.
- Zeichne oder denke dir die Wirkungslinie der Kraft.
- Bestimme den senkrechten Hebelarm.
- Rechne den Hebelarm in Meter um.
- Berechne $M=F\cdot a$.
- Ergänze die Einheit $\mathrm{N\,m}$ und prüfe die Größenordnung.
Eine Schraube soll mit $38\,\mathrm{N\,m}$ angezogen werden. Ein $60\,\mathrm{cm}$ langer Schraubenschlüssel wird am Ende senkrecht belastet. Gesucht ist die nötige Kraft.
Der wirksame Hebelarm beträgt:
$$a=60\,\mathrm{cm}=0{,}60\,\mathrm m$$
Die Formel wird nach $F$ umgestellt:
$$F=\frac{M}{a}$$
Einsetzen ergibt:
$$F=\frac{38\,\mathrm{N\,m}}{0{,}60\,\mathrm m}\approx63{,}3\,\mathrm N$$
Du musst also senkrecht mit ungefähr $63\,\mathrm N$ drücken.
Wirken stattdessen $150\,\mathrm N$ senkrecht am selben Schlüssel, entsteht:
$$M=150\,\mathrm N\cdot0{,}60\,\mathrm m=90\,\mathrm{N\,m}$$
Newtonmeter und Joule lassen sich zwar beide auf dieselben SI-Basiseinheiten zurückführen. Ein Drehmoment wird trotzdem in $\mathrm{N\,m}$ und nicht in Joule angegeben, weil es eine Drehwirkung und keine Energie bezeichnet.
Wann ist ein Hebel im Gleichgewicht?
Kräfte können einen Hebel in entgegengesetzte Richtungen drehen. Du kannst beispielsweise den Uhrzeigersinn positiv und den Gegenuhrzeigersinn negativ festlegen. Wichtig ist nur, dass du deine Vorzeichen durchgehend beibehältst.
Ein Hebel ist im Momentengleichgewicht, wenn sich alle Drehmomente aufheben:
$$\sum M=0$$
Bei genau zwei entgegengesetzt wirkenden Drehmomenten folgt daraus das Hebelgesetz:
$$F_1a_1=F_2a_2$$
Für einfache Aufgaben wird dabei die Masse des Hebels vernachlässigt. Falls sie berücksichtigt werden soll, muss auch das Drehmoment seiner Gewichtskraft in die Summe aufgenommen werden.
Einseitiger und zweiseitiger Hebel
Bei einem einseitigen Hebel greifen die betrachteten Kräfte auf derselben Seite des Drehpunkts an. Beim zweiseitigen Hebel greifen sie auf verschiedenen Seiten an. Für beide Arten gilt dieselbe Bedingung: Im Gleichgewicht heben sich die Drehmomente auf.
Links wirken $50\,\mathrm N$ im Abstand von $0{,}30\,\mathrm m$. Rechts wirken $20\,\mathrm N$ im Abstand von $0{,}50\,\mathrm m$.
Die beiden Drehmomente sind:
$$M_{\text{links}}=50\,\mathrm N\cdot0{,}30\,\mathrm m=15\,\mathrm{N\,m}$$
$$M_{\text{rechts}}=20\,\mathrm N\cdot0{,}50\,\mathrm m=10\,\mathrm{N\,m}$$
Links ist die Drehwirkung um $5\,\mathrm{N\,m}$ größer. Ein zusätzliches Gewicht mit $5\,\mathrm N$ muss deshalb rechts wirken. Für seinen Abstand $a$ gilt:
$$5\,\mathrm N\cdot a=5\,\mathrm{N\,m}$$
$$a=1\,\mathrm m$$
Das Zusatzgewicht muss rechts im Abstand von $1\,\mathrm m$ angebracht werden.
Ein längerer Kraftarm bedeutet nicht automatisch Gleichgewicht. Vergleiche immer die Produkte aus Kraft und wirksamem Hebelarm.
Wie wirken schräge Kräfte?
Eine schräge Kraft wirkt nur teilweise senkrecht zum Hebel. Du kannst entweder ihren senkrechten Kraftanteil oder direkt den senkrechten Abstand ihrer Wirkungslinie verwenden.
Für einen Abstand $L$ zwischen Drehpunkt und Angriffspunkt sowie den Winkel $\alpha$ zwischen Hebel und Kraft gilt:
$$M=F\cdot L\cdot\sin(\alpha)$$
Denn der senkrechte Kraftanteil beträgt $F_{\perp}=F\sin(\alpha)$. Der parallele Anteil zeigt entlang des Hebels und erzeugt kein Drehmoment um den Drehpunkt.
Eine Kraft von $100\,\mathrm N$ greift in $0{,}30\,\mathrm m$ Abstand unter einem Winkel von $30^\circ$ zum Hebel an.
Mit $\sin(30^\circ)=0{,}5$ ergibt sich:
$$M=100\,\mathrm N\cdot0{,}30\,\mathrm m\cdot0{,}5=15\,\mathrm{N\,m}$$
Würde dieselbe Kraft senkrecht wirken, entstünden $30\,\mathrm{N\,m}$. Durch die schräge Richtung ist die Drehwirkung hier halb so groß.
Typische Fehler vermeiden
- Verwende nicht automatisch den Abstand zum Angriffspunkt als Hebelarm.
- Rechne Zentimeter vor dem Einsetzen in Meter um.
- Verwechsle Kraft in Newton nicht mit Drehmoment in Newtonmeter.
- Addiere gleichsinnig wirkende Momente und berücksichtige bei entgegengesetztem Drehsinn unterschiedliche Vorzeichen.
- Prüfe zuerst, ob die Wirkungslinie überhaupt am Drehpunkt vorbeiführt.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Das Drehmoment ist das Produkt aus und wirksamem . Der Hebelarm steht auf der Wirkungslinie. Verläuft diese durch den Drehpunkt, ist das Drehmoment . Im Gleichgewicht ist die Summe aller Drehmomente .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Drehmoment und Hebel
- Drehpunkt: Bezugspunkt der Drehung
- Wirkungslinie: Gerade in Richtung der Kraft
- Hebelarm: senkrechter Abstand zur Wirkungslinie
- Berechnung: $M=F\cdot a$
- Drehsinn: Momente erhalten passende Vorzeichen
- Gleichgewicht: $\sum M=0$
- Schräge Kraft: nur der senkrechte Anteil wirkt
Die entscheidende Frage lautet immer: Wie groß ist der senkrechte Abstand zwischen Drehpunkt und Wirkungslinie? Hast du diesen Hebelarm bestimmt, kannst du Drehmoment und Gleichgewicht zuverlässig berechnen.
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Aufgaben begründen kannst, beherrschst du den Kern: Wirkungslinie prüfen, Hebelarm bestimmen, Drehmoment berechnen und entgegengesetzte Drehwirkungen vergleichen.