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Kreisbewegung: Größen, Kräfte und Formeln
Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung bewegt sich ein Körper auf einer Kreisbahn. Der Betrag seiner Geschwindigkeit bleibt konstant, ihre Richtung ändert sich jedoch ständig. Deshalb ist die Bewegung beschleunigt und benötigt eine zum Mittelpunkt gerichtete resultierende Kraft.
Auf dieser Seite lernst du, die wichtigsten Größen zu unterscheiden, Bewegungsdaten zu berechnen und die Rolle der Zentripetalkraft richtig zu erklären.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine gleichförmige Kreisbewegung?
Eine gleichförmige Kreisbewegung hat zwei entscheidende Merkmale:
- Der Körper bewegt sich auf einer Kreisbahn mit konstantem Radius $r$.
- In gleich langen Zeitspannen legt er gleich lange Bahnstrecken zurück.
Gleichförmig bedeutet hier nur, dass der Betrag der Bahngeschwindigkeit konstant ist. Der Geschwindigkeitsvektor zeigt in jedem Punkt tangential zur Kreisbahn und damit senkrecht zum Radius. Weil sich seine Richtung ändert, ändert sich die Geschwindigkeit als Vektor.
Drehzentrum und Radius
Das Drehzentrum ist der Mittelpunkt der Kreisbahn. Der Radius $r$ ist der konstante Abstand des Körpers von diesem Mittelpunkt.
Konstanter Geschwindigkeitsbetrag bedeutet nicht automatisch, dass keine Beschleunigung vorliegt. Auch eine reine Richtungsänderung ist eine Beschleunigung.
Wie hängen Winkel, Umlaufdauer und Frequenz zusammen?
Ein vollständiger Umlauf entspricht $360^\circ$ oder $2\pi$ im Bogenmaß. Für Berechnungen mit dem Drehwinkel $\varphi$ wird das Bogenmaß verwendet.
Die auf dem Kreisbogen zurückgelegte Strecke lautet:
$$s=r\varphi$$
Dabei muss $\varphi$ im Bogenmaß eingesetzt werden. Bei einem vollständigen Umlauf ergibt sich mit $\varphi=2\pi$ der Kreisumfang $s=2\pi r$.
Umlaufdauer
Die Umlaufdauer $T$ ist die Zeit für genau einen vollständigen Umlauf. Ihre Einheit ist die Sekunde $\mathrm{s}$.
Frequenz
Die Frequenz $f$ gibt die Zahl der vollständigen Umläufe pro Sekunde an. Ihre Einheit ist Hertz: $1\,\mathrm{Hz}=1/\mathrm{s}$.
Umlaufdauer und Frequenz sind Kehrwerte:
$$f=\frac{1}{T}$$
Eine kurze Umlaufdauer bedeutet daher eine große Frequenz.
Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ gibt an, wie schnell sich der Drehwinkel ändert. Für einen vollständigen Umlauf gilt:
$$\omega=\frac{2\pi}{T}$$
Ihre Einheit ist Radiant pro Sekunde, kurz $\mathrm{rad/s}$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für die Formel $s=r\varphi$ wird der Winkel im eingesetzt. Wenn die Umlaufdauer größer wird, wird die Frequenz . Ein vollständiger Umlauf entspricht im Bogenmaß .
Wie berechnest du die Bahngeschwindigkeit?
Während eines Umlaufs legt der Körper den Kreisumfang $2\pi r$ in der Zeit $T$ zurück. Deshalb gilt für den Betrag der Bahngeschwindigkeit:
$$v=\frac{2\pi r}{T}$$
Mit der Winkelgeschwindigkeit lässt sich dieselbe Beziehung kürzer schreiben:
$$v=\omega r$$
Bei gleicher Winkelgeschwindigkeit bewegt sich ein weiter außen liegender Punkt schneller, weil er in derselben Zeit einen längeren Kreisbogen zurücklegt.
Ein Karussellsitz bewegt sich mit dem Radius $r=2\,\mathrm{m}$ und benötigt für einen Umlauf $T=4\,\mathrm{s}$.
Zuerst bestimmst du die Frequenz:
$$f=\frac{1}{4\,\mathrm{s}}=0{,}25\,\mathrm{Hz}$$
Das bedeutet: Der Sitz führt in einer Sekunde ein Viertel eines Umlaufs aus.
Dann berechnest du die Winkelgeschwindigkeit:
$$\omega=\frac{2\pi}{4\,\mathrm{s}}=\frac{\pi}{2}\,\mathrm{rad/s}\approx1{,}57\,\mathrm{rad/s}$$
Nun folgt die Bahngeschwindigkeit:
$$v=\omega r=\frac{\pi}{2}\,\mathrm{rad/s}\cdot2\,\mathrm{m}=\pi\,\mathrm{m/s}\approx3{,}14\,\mathrm{m/s}$$
Der Sitz bewegt sich also mit einem Geschwindigkeitsbetrag von ungefähr $3{,}14\,\mathrm{m/s}$ auf seiner Kreisbahn.
Warum zeigt die Beschleunigung zum Mittelpunkt?
Damit der Körper nicht geradlinig weiterfliegt, muss sich die Richtung seiner Geschwindigkeit fortlaufend ändern. Die dafür nötige Zentripetalbeschleunigung zeigt immer zum Kreismittelpunkt.
Ihr Betrag ist:
$$a_\mathrm{Z}=\frac{v^2}{r}=\omega^2r$$
Die Einheit lautet $\mathrm{m/s^2}$. Die Beschleunigung steht senkrecht zur momentanen Bahngeschwindigkeit. Deshalb ändert sie bei der gleichförmigen Kreisbewegung deren Richtung, nicht deren Betrag.
Beim Karussellbeispiel mit $v=\pi\,\mathrm{m/s}$ und $r=2\,\mathrm{m}$ ergibt sich:
$$a_\mathrm{Z}=\frac{(\pi\,\mathrm{m/s})^2}{2\,\mathrm{m}}=\frac{\pi^2}{2}\,\mathrm{m/s^2}\approx4{,}93\,\mathrm{m/s^2}$$
Bei festem Radius wächst $a_\mathrm{Z}$ mit dem Quadrat der Bahngeschwindigkeit. Verdoppelst du $v$, vervierfacht sich $a_\mathrm{Z}$.
Welche Kraft hält den Körper auf der Kreisbahn?
Nach $F=ma$ ist für die Zentripetalbeschleunigung eine zum Mittelpunkt gerichtete resultierende Kraft nötig. Ihr Betrag heißt Zentripetalkraft:
$$F_\mathrm{Z}=ma_\mathrm{Z}=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r$$
Die Einheit ist Newton, kurz $\mathrm{N}$.
Zentripetalkraft
Die Zentripetalkraft ist keine zusätzliche eigene Kraftart. Sie bezeichnet die zum Mittelpunkt gerichtete resultierende Kraft, also die vektorielle Summe der tatsächlich wirkenden Kräfte.
Je nach Situation kann zum Beispiel eine Seilkraft, Haftreibung, Gewichtskraft oder Unterlagenkraft die erforderliche resultierende Kraft bilden. Wirken mehrere Kräfte, müssen ihre Richtungen berücksichtigt und die Kraftvektoren addiert werden.
Der Karussellsitz aus dem vorherigen Beispiel hat zusammen mit seiner Last die Masse $m=0{,}50\,\mathrm{kg}$. Mit $a_\mathrm{Z}\approx4{,}93\,\mathrm{m/s^2}$ folgt:
$$F_\mathrm{Z}=ma_\mathrm{Z}=0{,}50\,\mathrm{kg}\cdot4{,}93\,\mathrm{m/s^2}\approx2{,}47\,\mathrm{N}$$
Die zum Mittelpunkt gerichtete resultierende Kraft muss also ungefähr $2{,}47\,\mathrm{N}$ betragen. Welche konkrete Kraft diese Rolle übernimmt, hängt vom Aufbau des Systems ab.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Gleichförmige Kreisbewegung
- Beschreibung
- konstanter Radius
- konstanter Geschwindigkeitsbetrag
- ständig wechselnde Richtung
- Zeit und Winkel
- $f=1/T$
- $\omega=2\pi/T$
- Bewegung
- $s=r\varphi$
- $v=2\pi r/T=\omega r$
- Wirkung zum Mittelpunkt
- $a_\mathrm{Z}=v^2/r=\omega^2r$
- $F_\mathrm{Z}=ma_\mathrm{Z}$
- resultierende reale Kräfte
- Beschreibung
Abschluss-Check
Du beherrschst den Kern der gleichförmigen Kreisbewegung, wenn du zuerst die Situation und die gegebenen Größen erkennst, dann die passende Beziehung auswählst und zum Schluss Einheit, Richtung und physikalische Bedeutung des Ergebnisses prüfst.