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Beschleunigung verstehen und berechnen
Beschleunigung sagt, wie stark sich die Geschwindigkeit pro Zeit ändert. Dabei kann sich der Geschwindigkeitsbetrag, die Bewegungsrichtung oder beides ändern. Du berechnest eine mittlere Beschleunigung mit $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$; ihre Einheit ist $\mathrm{m/s^2}$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wann ist eine Bewegung beschleunigt?
Ein Körper ist beschleunigt, sobald sich seine Geschwindigkeit als gerichtete Größe ändert. Das geschieht in drei Fällen:
- Der Geschwindigkeitsbetrag nimmt zu.
- Der Geschwindigkeitsbetrag nimmt ab.
- Die Bewegungsrichtung ändert sich.
Beschleunigung
Die Beschleunigung $a$ beschreibt die Änderung der Geschwindigkeit $\Delta v$ während eines Zeitintervalls $\Delta t$. Sie besitzt einen Betrag und eine Richtung.
Ein schnelles Auto, das geradeaus mit gleichbleibender Geschwindigkeit fährt, hat $a=0$. Ein langsameres Auto, das anfährt, ist dagegen beschleunigt. Hohe Geschwindigkeit und große Beschleunigung sind also nicht dasselbe.
Auch eine gleichförmige Kreisbewegung ist beschleunigt: Der Geschwindigkeitsbetrag bleibt zwar gleich, doch die Richtung ändert sich fortlaufend. Die Beschleunigung zeigt dabei zur Kreismitte.
Wie berechnest du die mittlere Beschleunigung?
Für ein Zeitintervall gilt:
$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$$
$\Delta v$ ist die Geschwindigkeitsänderung und $\Delta t$ die dafür benötigte Zeit. Da Geschwindigkeit in $\mathrm{m/s}$ durch Zeit in $\mathrm{s}$ geteilt wird, lautet die Einheit:
$$[a]=\frac{\mathrm{m/s}}{\mathrm{s}}=\mathrm{m/s^2}$$
$3\,\mathrm{m/s^2}$ bedeutet: Die Geschwindigkeit ändert sich in jeder Sekunde um $3\,\mathrm{m/s}$, solange die Beschleunigung konstant bleibt.
Ein Fahrrad erhöht seine Geschwindigkeit in $4\,\mathrm{s}$ von $5\,\mathrm{m/s}$ auf $17\,\mathrm{m/s}$.
- Änderung bestimmen: $\Delta v=17\,\mathrm{m/s}-5\,\mathrm{m/s}=12\,\mathrm{m/s}$.
- Durch die Zeit teilen:
$$a=\frac{12\,\mathrm{m/s}}{4\,\mathrm{s}}=3\,\mathrm{m/s^2}$$
Das Fahrrad beschleunigt im betrachteten Intervall durchschnittlich mit $3\,\mathrm{m/s^2}$.
Ein negatives Ergebnis beschreibt die Richtung im gewählten Koordinatensystem. Fährt ein Auto in positiver Richtung und sinkt seine Geschwindigkeit von $20\,\mathrm{m/s}$ auf $8\,\mathrm{m/s}$ in $4\,\mathrm{s}$, ergibt sich $a=-3\,\mathrm{m/s^2}$. Das Minuszeichen zeigt hier: Die Beschleunigung wirkt der Bewegung entgegen.
Setze nie einfach die Endgeschwindigkeit für $\Delta v$ ein. Berechne zuerst $v_2-v_1$. Nur beim Start aus der Ruhe ist $v_1=0$ und damit $\Delta v=v_2$.
Was gilt bei gleichmäßiger Beschleunigung?
Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist $a$ konstant. Dann wächst oder sinkt die Geschwindigkeit in gleichen Zeiten jeweils um denselben Betrag.
Für eine geradlinige Bewegung gilt:
$$v=v_0+a t$$
Beginnt der Körper aus der Ruhe, ist $v_0=0$ und damit:
$$v=a t$$
Beginnt er außerdem am Ort $s=0$, gilt für den zurückgelegten Weg:
$$s=\frac{1}{2}a t^2$$
Diese Wegformel gilt hier nur für konstante Beschleunigung, geradlinige Bewegung und den Start aus der Ruhe.
Beim freien Fall ohne Luftwiderstand ist die Beschleunigung nahe der Erdoberfläche annähernd konstant: $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ nach unten. Ein Körper startet aus der Ruhe und fällt $3\,\mathrm{s}$.
$$\Delta v=g t=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\cdot3\,\mathrm{s}=29{,}43\,\mathrm{m/s}$$
Nach $3\,\mathrm{s}$ beträgt sein Geschwindigkeitsbetrag $29{,}43\,\mathrm{m/s}$. Die Richtung ist nach unten. Das Modell setzt voraus, dass Luftwiderstand keine wesentliche Rolle spielt.
Bei nicht konstanter Beschleunigung liefert $\Delta v/\Delta t$ nur die mittlere Beschleunigung des gewählten Intervalls. Ein Beschleunigungsmesser kann dagegen die momentane Beschleunigung anzeigen.
Wie liest du Beschleunigung aus Diagrammen ab?
Im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm ($v$-$t$-Diagramm) zeigt die Steigung die Beschleunigung:
$$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$$
Eine steilere Gerade bedeutet eine Beschleunigung mit größerem Betrag. Eine waagrechte Linie bedeutet $a=0$. Eine fallende Gerade hat bei gewählter positiver Bewegungsrichtung eine negative Steigung und damit eine negative Beschleunigung.
Im Beschleunigung-Zeit-Diagramm ($a$-$t$-Diagramm) entspricht die Fläche zwischen Graph und Zeitachse der Geschwindigkeitsänderung $\Delta v$. Wirkt $a=2\,\mathrm{m/s^2}$ für $3\,\mathrm{s}$, ist die Rechtecksfläche:
$$\Delta v=2\,\mathrm{m/s^2}\cdot3\,\mathrm{s}=6\,\mathrm{m/s}$$
Die Fläche unter einem $v$-$t$-Graphen entspricht der Ortsänderung. Steigt $v$ in $4\,\mathrm{s}$ gleichmäßig von $0$ auf $8\,\mathrm{m/s}$, bildet die Fläche ein Dreieck:
$$\Delta s=\frac{1}{2}\cdot4\,\mathrm{s}\cdot8\,\mathrm{m/s}=16\,\mathrm{m}$$
Achte bei Flächen auf das Vorzeichen: Bereiche unterhalb der Zeitachse zählen negativ. Sie beschreiben dann eine Orts- oder Geschwindigkeitsänderung in negativer Richtung.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Beschleunigung
- Bedeutung: Geschwindigkeit ändert Betrag oder Richtung
- Berechnung: mittlere Beschleunigung ist $\Delta v/\Delta t$
- Einheit: $\mathrm{m/s^2}$
- Gleichmäßiger Fall: $a$ ist konstant
- Diagramme: Steigung in $v$-$t$, Fläche in $a$-$t$
- Richtung: Vorzeichen und Koordinatensystem beachten
Abschluss-Check
Prüfe dich zum Schluss: Kannst du bei einem neuen Beispiel zuerst entscheiden, was sich ändert, dann $\Delta v$ und $\Delta t$ bestimmen und schließlich Ergebnis, Einheit und Richtung im Sachzusammenhang erklären?