Beschleunigung einfach erklärt

Ein Auto, das schnell anfährt, fühlt sich anders an als ein Fahrrad, das langsam losrollt. Der Unterschied steckt in der Beschleunigung. Danach kannst du Beschleunigung als Geschwindigkeitsänderung pro Zeit erklären, die Einheit sicher verwenden und Aufgaben mit Kraft, Masse und Bewegung lösen.

Deine Lernziele

Ich kann Beschleunigung als Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit definieren.
Ich kann $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ anwenden.
Ich kann zwischen positiver und negativer Beschleunigung unterscheiden.
Ich kann $F=m\cdot a$ in einfachen Aufgaben nutzen.
Ich kann Einheiten wie $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ und $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ richtig behandeln.

Was Beschleunigung misst

Geschwindigkeit sagt, wie schnell und in welche Richtung sich etwas bewegt. Beschleunigung sagt, wie schnell sich diese Geschwindigkeit ändert.

Definition

Beschleunigung

Die Beschleunigung $a$ ist die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit. Für eine gleichmäßige Änderung gilt:

$$ a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1} $$

Die Einheit ist $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

$1\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ bedeutet: Die Geschwindigkeit ändert sich jede Sekunde um $1\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Beispiel

Ein Körper wird in $3\,\text{s}$ von $0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ auf $15\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ schneller.

$$ a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{15-0}{3}\,\frac{\text{m/s}}{\text{s}} $$

$$ a=5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} $$

Die Geschwindigkeit nimmt also in jeder Sekunde um $5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ zu.

Merke

Beschleunigung ist nicht Geschwindigkeit. Geschwindigkeit misst Bewegung; Beschleunigung misst die Änderung der Bewegung.

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Einheiten sauber umrechnen

Viele Aufgaben geben Geschwindigkeiten in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ an. Für Formeln in der Mechanik rechnest du meistens in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ um.

Definition

Einheit der Geschwindigkeit

$1\,\frac{\text{m}}{\text{s}}=3{,}6\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Darum gilt:

$$ v\left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)=\frac{v\left(\frac{\text{km}}{\text{h}}\right)}{3{,}6} $$

Beispiel

Ein Auto beschleunigt von $0$ auf $100\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ in $8\,\text{s}$. Wie groß ist die mittlere Beschleunigung?

Zuerst umrechnen:

$$ 100\,\frac{\text{km}}{\text{h}}=\frac{100}{3{,}6}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 27{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}} $$

Dann:

$$ a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{27{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{8\,\text{s}}\approx 3{,}47\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} $$

Das Auto gewinnt im Mittel jede Sekunde etwa $3{,}47\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ Geschwindigkeit dazu.

Gut zu wissen

Ein häufiger Fehler ist, $100$ direkt in $a=\Delta v/\Delta t$ einzusetzen. Dann mischst du Kilometer pro Stunde mit Sekunden. Erst umrechnen, dann rechnen.

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Vorzeichen und Richtung

Beschleunigung hat eine Richtung. Bei geradlinigen Bewegungen zeigt das Vorzeichen, ob die Beschleunigung in oder gegen die gewählte positive Richtung zeigt.

Definition

Positive und negative Beschleunigung

Eine positive Beschleunigung zeigt in die gewählte positive Richtung. Eine negative Beschleunigung zeigt entgegen der gewählten positiven Richtung. Ob ein Körper schneller oder langsamer wird, hängt davon ab, ob Beschleunigung und Geschwindigkeit gleichgerichtet sind.

Wenn ein Auto vorwärts fährt und nach vorne beschleunigt, wird es schneller. Wenn es vorwärts fährt und die Beschleunigung nach hinten zeigt, bremst es.

Beispiel

Ein Fahrrad fährt mit $v=12\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ nach rechts. Rechts ist positiv. Es bremst mit $a=-3\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

Nach $2\,\text{s}$ gilt:

$$ v=v_0+a t=12+(-3)\cdot 2=6\,\frac{\text{m}}{\text{s}} $$

Die Geschwindigkeit ist kleiner geworden, aber das Fahrrad fährt noch nach rechts.

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Beschleunigung und Kraft

Beschleunigung entsteht nicht einfach aus dem Nichts. In der Mechanik verbindet Newton Kraft, Masse und Beschleunigung.

Definition

Newtonsches Grundgesetz

Das newtonsche Grundgesetz lautet:

$$ F=m\cdot a $$

$F$ ist die resultierende Kraft in Newton, $m$ die Masse in Kilogramm und $a$ die Beschleunigung in $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Eine größere Kraft erzeugt bei gleicher Masse eine größere Beschleunigung.

Beispiel

Ein Auto mit $m=1200\,\text{kg}$ hat aus dem vorigen Beispiel eine mittlere Beschleunigung von etwa $3{,}47\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Welche resultierende Kraft wäre idealisiert nötig?

$$ F=m\cdot a $$

$$ F=1200\,\text{kg}\cdot 3{,}47\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\approx 4167\,\text{N} $$

Das ist eine idealisierte resultierende Kraft; in der Realität spielen Luftwiderstand, Rollreibung und Motorverlauf zusätzlich eine Rolle.

Merke

Kraft und Beschleunigung zeigen in dieselbe Richtung, wenn $F$ die resultierende Kraft ist. Einzelkräfte können sich teilweise aufheben.

Prüfungsmodus

Bei Beschleunigungsaufgaben lohnt sich ein sauberer Start.

Beispiel

Checkliste:

Welche Geschwindigkeiten sind gegeben?
Sind sie in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$?
Ist eine Zeitspanne $\Delta t$ gegeben?
Geht es um mittlere Beschleunigung oder konstante Beschleunigung?
Wird eine Kraft gesucht? Dann $F=m a$ nur mit resultierender Kraft verwenden.

Wenn du "von 20 auf 5 in 3 Sekunden" liest, ist $\Delta v=5-20=-15\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Das negative Vorzeichen ist die Bremsrichtung.

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Zusammenfassung

Beschleunigung beschreibt, wie schnell sich eine Geschwindigkeit ändert: $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$. Ihre Einheit ist $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Negative Beschleunigung bedeutet Richtung entgegen der gewählten positiven Richtung, nicht automatisch Rückwärtsfahren. Über $F=m a$ hängt Beschleunigung mit der resultierenden Kraft und der Masse zusammen. Achte besonders auf Einheitenumrechnung von $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$.