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Gravitationsgesetz: Formel, Kräfte und Abstand
Jede Masse zieht jede andere Masse an. Newtons Gravitationsgesetz beschreibt, wie stark diese Anziehung ist: Größere Massen verstärken die Kraft, ein größerer Abstand schwächt sie quadratisch.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie wirkt Gravitation?
Gravitation ist die gegenseitige Anziehung von Körpern aufgrund ihrer Massen. Sie wirkt zwischen Alltagsgegenständen ebenso wie zwischen Erde, Mond und Sonne. Zwischen kleinen Körpern ist sie wegen der sehr kleinen Gravitationskonstante meist nicht bemerkbar.
Gravitationskraft
Die Gravitationskraft ist die anziehende Kraft zwischen zwei Massen. Sie wirkt entlang der Verbindungslinie ihrer Schwerpunkte.
Körper 1 zieht Körper 2 an. Gleichzeitig zieht Körper 2 Körper 1 an. Beide Kräfte sind gleich groß, zeigen aber in entgegengesetzte Richtungen. Sie bilden ein Kräftepaar.
Auch bei sehr ungleichen Massen sind die Kräfte gleich groß. Die Bewegungsänderung kann trotzdem verschieden sein: Nach $a=F/m$ erfährt der Körper mit der kleineren Masse bei gleichem Kraftbetrag die größere Beschleunigung.
Ein Apfel fällt zur Erde, weil die Erde ihn anzieht. Zugleich zieht der Apfel die Erde mit einer gleich großen Kraft an. Wegen der sehr großen Erdmasse ist die Beschleunigung der Erde jedoch verschwindend klein.
Wie liest du das Gravitationsgesetz?
Der Betrag der Kraft zwischen zwei idealisiert als Punktmassen betrachteten Körpern lautet:
$$F_\mathrm G=G\frac{m_1m_2}{r^2}$$
Die Formelzeichen bedeuten:
- $F_\mathrm G$: Betrag der Gravitationskraft in Newton ($\mathrm N$)
- $m_1$ und $m_2$: Massen der Körper in Kilogramm ($\mathrm{kg}$)
- $r$: Abstand ihrer Schwerpunkte in Metern ($\mathrm m$)
- $G$: Gravitationskonstante
$$G=6{,}67430\cdot10^{-11}\,\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^2}$$
Bei einer homogenen, kugelförmigen Masse darfst du ihre Masse so behandeln, als wäre sie im Mittelpunkt konzentriert. Deshalb misst du beispielsweise bei der Erde den Abstand vom Erdmittelpunkt und nicht von ihrer Oberfläche.
Setze für $r$ immer den Abstand der Schwerpunkte ein. Der Abstand steht im Quadrat im Nenner.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Im Gravitationsgesetz steht das der beiden Massen im Zähler. Der Schwerpunktabstand steht im und wird . Das Ergebnis der Rechnung ist ein in Newton.
Wie verändern Massen und Abstand die Kraft?
Die Formel zeigt drei wichtige Beziehungen:
- Verdoppelst du $m_1$, verdoppelt sich $F_\mathrm G$.
- Verdreifachst du $m_2$, verdreifacht sich $F_\mathrm G$.
- Vervielfachst du den Abstand mit dem Faktor $k$, sinkt die Kraft auf $1/k^2$ ihres vorherigen Wertes.
Für den Abstand gilt also:
$$r\rightarrow kr\quad\Rightarrow\quad F_\mathrm G\rightarrow\frac{F_\mathrm G}{k^2}$$
Wird der Abstand verdoppelt, steht im Nenner $(2r)^2=4r^2$. Die Kraft beträgt danach nur noch $F_\mathrm G/4$.
Wird der Abstand verdreifacht, gilt $(3r)^2=9r^2$. Die Kraft sinkt auf $F_\mathrm G/9$.
Das Gedankenexperiment mit einem Apfel in etwa $60$ Erdradien Entfernung zeigt denselben Zusammenhang: Der $60$-fache Abstand führt zur $1/60^2=1/3600$-fachen Kraft.
Wie berechnest du eine Gravitationskraft?
Gehe in vier Schritten vor:
- Notiere beide Massen und den Schwerpunktabstand in SI-Einheiten.
- Setze die Werte in $F_\mathrm G=Gm_1m_2/r^2$ ein.
- Berechne zuerst das Abstandsquadrat und dann den gesamten Ausdruck.
- Gib das Ergebnis in Newton an und prüfe seine Größenordnung.
Zwei idealisierte Körper haben die Massen $m_1=1000\,\mathrm{kg}$ und $m_2=2000\,\mathrm{kg}$. Ihre Schwerpunkte sind $r=10\,\mathrm m$ voneinander entfernt.
Einsetzen:
$$F_\mathrm G=6{,}67430\cdot10^{-11}\,\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^2}\cdot\frac{1000\,\mathrm{kg}\cdot2000\,\mathrm{kg}}{(10\,\mathrm m)^2}$$
Zuerst ist $(10\,\mathrm m)^2=100\,\mathrm m^2$. Damit folgt:
$$F_\mathrm G=1{,}33486\cdot10^{-6}\,\mathrm N$$
Die Kraft ist sehr klein. Das ist plausibel, weil selbst diese Massen im Vergleich zu Himmelskörpern gering sind und $G$ einen sehr kleinen Zahlenwert besitzt.
Wie hängen Gewichtskraft und Umlaufbahn damit zusammen?
Die Gewichtskraft ist die Gravitationskraft, die ein Himmelskörper an einem bestimmten Ort auf einen Körper ausübt. Nahe der Erdoberfläche wird sie häufig so berechnet:
$$F_\mathrm G=m\,g$$
Dabei ist $g$ der Ortsfaktor beziehungsweise die Fallbeschleunigung. An der Erdoberfläche beträgt er durchschnittlich etwa $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$. Für einen Körper der Masse $m$ folgt aus dem Gravitationsgesetz zugleich:
$$F_\mathrm G=G\frac{M_\mathrm E m}{r^2}$$
Vergleichst du beide Formeln, erhältst du:
$$g=G\frac{M_\mathrm E}{r^2}$$
Der Ortsfaktor hängt also von der Masse des Himmelskörpers und vom Abstand zu seinem Mittelpunkt ab. Die Masse eines Gegenstands bleibt dabei gleich; seine Gewichtskraft kann sich ändern.
Bei einer idealisierten Umlaufbahn zieht die Gravitation den umlaufenden Körper fortwährend zum Zentrum. Sie übernimmt damit die Rolle der Radialkraft beziehungsweise Zentripetalkraft. Radialkraft ist keine zusätzliche Kraftart: Der Begriff beschreibt die zum Zentrum gerichtete resultierende Kraft.
Ohne Gravitation würde sich ein bewegter Satellit tangential weiterbewegen. Durch die fortwährende Ablenkung zum Zentrum kann eine Umlaufbahn entstehen. Das Gravitationsgesetz beschreibt dabei die anziehende Kraft; die genaue Bahn hängt zusätzlich von der Bewegung des Satelliten ab.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Gravitationsgesetz
- beschreibt die gegenseitige Anziehung von Massen
- liefert den Kraftbetrag $F_\mathrm G=Gm_1m_2/r^2$
- wächst proportional mit jeder Masse
- sinkt quadratisch mit dem Schwerpunktabstand
- bildet ein gleich großes, entgegengesetztes Kräftepaar
- erklärt Gewichtskräfte und die Ablenkung auf Umlaufbahnen
Abschluss-Check
Du beherrschst den Kern des Gesetzes, wenn du zuerst die beiden Massen und den Schwerpunktabstand erkennst, anschließend die quadratische Abstandsabhängigkeit beachtest und das Ergebnis als Kraft in Newton deutest.