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Halbwertszeit verstehen und berechnen
Die Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeit im statistischen Modell noch die Hälfte der radioaktiven Ausgangskerne unzerfallen ist. Nach jeder weiteren Halbwertszeit halbiert sich der jeweils verbliebene Anteil erneut.
Auf dieser Seite lernst du, Restkernzahl und Aktivität zu bestimmen, Zerfallskurven zu deuten und typische Denkfehler zu vermeiden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet Halbwertszeit?
Stell dir eine große Zahl gleichartiger radioaktiver Kerne vor. Du kannst nicht vorhersagen, wann ein bestimmter Kern zerfällt. Für viele Kerne lässt sich der Verlauf jedoch statistisch beschreiben.
Halbwertszeit
Die Halbwertszeit $T_{1/2}$ ist die Zeitspanne, nach der die Zahl der noch unzerfallenen Ausgangskerne im statistischen Modell auf die Hälfte gesunken ist.
Hat ein Nuklid eine Halbwertszeit von 8 Tagen, dann gilt für eine große Anzahl von Kernen:
- nach 8 Tagen bleibt die Hälfte,
- nach 16 Tagen bleibt ein Viertel,
- nach 24 Tagen bleibt ein Achtel.
Die Aussage bezieht sich immer auf die jeweils noch vorhandenen Kerne. Sie bedeutet nicht, dass in jedem Zeitabschnitt dieselbe Anzahl zerfällt.
Ein einzelner Zerfall ist zufällig. Die Halbwertszeit beschreibt den statistischen Verlauf einer großen Zahl gleichartiger Kerne.
Wie setzt sich die Halbierung fort?
Nach jeder Halbwertszeit wird der aktuelle Rest mit $\frac12$ multipliziert:
| Verstrichene Halbwertszeiten | Verbleibender Anteil | Verbleibende Prozentzahl |
|---|---|---|
| 0 | $1$ | $100\,\%$ |
| 1 | $\frac12$ | $50\,\%$ |
| 2 | $\frac14$ | $25\,\%$ |
| 3 | $\frac18$ | $12{,}5\,\%$ |
Nach $n$ Halbwertszeiten lautet der Restanteil:
$$\left(\frac12\right)^n$$
Eine Probe enthält anfangs $N(0)=100\,000$ radioaktive Kerne. Die Halbwertszeit beträgt 8 Tage. Wie viele Ausgangskerne sind nach 16 Tagen noch unzerfallen?
- Bestimme die Zahl der Halbwertszeiten: $n=16\,\mathrm{d}:8\,\mathrm{d}=2$.
- Nach zwei Halbwertszeiten bleibt der Anteil $\left(\frac12\right)^2=\frac14$.
- Berechne die Restkernzahl: $N=100\,000\cdot\frac14=25\,000$.
Nach 16 Tagen sind im Modell noch 25 000 Ausgangskerne unzerfallen.
Wie rechnest du mit beliebigen Zeiten?
Zuerst vergleichst du die vergangene Zeit $t$ mit der Halbwertszeit:
$$n=\frac{t}{T_{1/2}}$$
Dann setzt du $n$ in das Zerfallsgesetz ein:
$$N(t)=N(0)\left(\frac12\right)^{t/T_{1/2}}$$
In Worten: Restkernzahl = Anfangskernzahl mal Halbierungsfaktor hoch Anzahl der Halbwertszeiten.
Der Startzeitpunkt darf frei gewählt werden. Von jedem gewählten Ausgangswert aus halbiert sich die Restkernzahl während der nächsten Halbwertszeit erneut.
Der Verlauf ist exponentiell. In gleich langen Zeitabschnitten wird derselbe Anteil abgebaut, nicht dieselbe absolute Anzahl. Der Modellwert nähert sich deshalb null an, erreicht null mathematisch aber nicht.
Warum halbiert sich auch die Aktivität?
Die Aktivität $A$ gibt die Zahl der Zerfälle pro Sekunde an. Ihre Einheit ist das Becquerel: $1\,\mathrm{Bq}$ bedeutet ein Zerfall pro Sekunde.
Je mehr unzerfallene Kerne vorhanden sind, desto mehr Zerfälle sind pro Zeit zu erwarten. Deshalb ist die Aktivität proportional zur Restkernzahl und besitzt denselben Halbierungsverlauf:
$$A(t)=A(0)\left(\frac12\right)^{t/T_{1/2}}$$
Eine Probe hat anfangs eine Aktivität von $800\,\mathrm{Bq}$ und eine Halbwertszeit von $6\,\mathrm{h}$. Gesucht ist die Aktivität nach $18\,\mathrm{h}$.
- Anzahl der Halbwertszeiten: $n=18\,\mathrm{h}:6\,\mathrm{h}=3$.
- Aktivität nacheinander halbieren: $800\,\mathrm{Bq}\to400\,\mathrm{Bq}\to200\,\mathrm{Bq}\to100\,\mathrm{Bq}$.
- Probe: $800\,\mathrm{Bq}\cdot\left(\frac12\right)^3=100\,\mathrm{Bq}$.
Nach 18 Stunden beträgt die Aktivität im Modell 100 Bq.
Wie liest du eine Zerfallskurve und vermeidest Fehler?
In einem Diagramm steht auf der waagerechten Achse die Zeit. Auf der senkrechten Achse steht zum Beispiel die Restkernzahl $N$ oder die Aktivität $A$.
So bestimmst du die Halbwertszeit:
- Wähle einen Wert auf der Kurve, etwa $N_0$.
- Bestimme dessen Hälfte $N_0/2$.
- Lies die zu beiden Werten gehörenden Zeiten ab.
- Die Zeitdifferenz ist die Halbwertszeit.
Abnahme der Restkernzahl
| 0 min | 800 Kerne |
|---|---|
| 4 min | 400 Kerne |
| 8 min | 200 Kerne |
| 12 min | 100 Kerne |
Drei typische Fehler
- Linear denken: Die Kurve verliert nicht in jedem Zeitabschnitt dieselbe absolute Menge. Sie verliert denselben Anteil.
- Vom Anfangswert halbieren: Nach der ersten Halbwertszeit wird der verbliebene Wert erneut halbiert.
- Einzelkern und große Menge verwechseln: Die Halbwertszeit sagt nicht, wann ein bestimmter Kern zerfällt.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Nach einer Halbwertszeit bleiben Prozent, nach zwei Halbwertszeiten Prozent und nach drei Halbwertszeiten Prozent der Ausgangskerne unzerfallen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Halbwertszeit
- statistisches Maß für viele Kerne
- Halbierung des jeweils verbliebenen Bestands
- Restanteil nach $n$ Schritten: $\left(\frac12\right)^n$
- Restkernzahl folgt dem Zerfallsgesetz
- Aktivität halbiert sich im gleichen Rhythmus
- Zerfallskurve zeigt die Zeit bis zum halben Wert
Abschluss-Check
Wenn du bei einer neuen Aufgabe zuerst $n=t/T_{1/2}$ bestimmst und dann den aktuellen Wert wiederholt halbierst, kannst du Restkernzahl und Aktivität sicher berechnen.