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Impuls: berechnen, übertragen und erhalten
Der Impuls beschreibt den Bewegungszustand eines Körpers: Je größer seine Masse oder seine Geschwindigkeit ist, desto größer ist sein Impuls. Bei einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls während eines Stoßes erhalten.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie berechnest du den Impuls?
Ein leichter, schneller Körper kann denselben Impuls besitzen wie ein schwerer, langsamer Körper. Deshalb reicht die Geschwindigkeit allein nicht aus, um den Bewegungszustand zu beschreiben.
Impuls
Der Impuls $\vec p$ ist das Produkt aus der Masse $m$ und der Geschwindigkeit $\vec v$:
$$\vec p=m\vec v$$
Er hat dieselbe Richtung wie die Geschwindigkeit. Seine Einheit ist $\mathrm{kg\,m/s}$. Gleichwertig ist die Einheit $\mathrm{N\,s}$.
Wenn nur eine Bewegungsrichtung betrachtet wird, kannst du mit gerichteten Zahlen rechnen:
$$p=mv$$
Beispiel: Impuls einer Billardkugel
Eine Billardkugel hat die Masse $m=0{,}15\,\mathrm{kg}$ und bewegt sich mit $v=5\,\mathrm{m/s}$.
Zuerst setzt du Masse und Geschwindigkeit ein:
$$p=mv$$
$$p=0{,}15\,\mathrm{kg}\cdot5\,\mathrm{m/s}=0{,}75\,\mathrm{kg\,m/s}$$
Die Kugel besitzt in ihrer Bewegungsrichtung den Impuls $0{,}75\,\mathrm{kg\,m/s}$.
Eine große Masse allein bedeutet noch keinen großen Impuls. Ein ruhender Körper hat wegen $v=0$ immer den Impuls $p=0$.
Warum braucht der Impuls eine Richtung?
Der Impuls ist eine Vektorgröße. Das bedeutet: Zu seinem Betrag gehört eine Richtung. Bei Bewegungen auf einer Geraden kannst du diese Richtung durch Vorzeichen darstellen.
- Lege zuerst eine positive Richtung fest, zum Beispiel nach rechts.
- Geschwindigkeiten nach rechts erhalten ein positives Vorzeichen.
- Geschwindigkeiten nach links erhalten ein negatives Vorzeichen.
- Berechne erst danach die Impulse und ihre Summe.
Bewegen sich zwei gleich schwere Körper gleich schnell in entgegengesetzte Richtungen, sind ihre Impulse gleich groß, aber entgegengesetzt. Ihre Summe ist dann null. Das heißt nicht, dass beide Körper ruhen: Nur der Gesamtimpuls des Systems ist null.
Wie verändert eine Kraft den Impuls?
Eine Kraft verändert den Impuls eines Körpers. Entscheidend sind dabei sowohl die Kraft als auch ihre Einwirkungszeit.
Kraftstoß
Bei einer konstanten Kraft ist der Kraftstoß $\vec I$ das Produkt aus Kraft und Einwirkungszeit:
$$\vec I=\vec F\,\Delta t$$
Der Kraftstoß ist gleich der Impulsänderung:
$$\vec I=\Delta\vec p$$
Bei konstanter Masse folgt daraus:
$$\vec F\,\Delta t=m\,\Delta\vec v$$
Der Impuls beschreibt einen Zustand. Der Kraftstoß beschreibt dagegen den Vorgang, durch den sich dieser Zustand ändert.
Beispiel: Start eines Bobs
Beim Start wirkt durchschnittlich die Kraft $F=400\,\mathrm N$ für $\Delta t=4{,}77\,\mathrm s$ auf einen Bob mit $m=210\,\mathrm{kg}$. Der Bob ruht zunächst.
Zuerst berechnest du den Kraftstoß und damit die Impulsänderung:
$$\Delta p=F\Delta t$$
$$\Delta p=400\,\mathrm N\cdot4{,}77\,\mathrm s=1908\,\mathrm{N\,s}$$
Bei konstanter Masse gilt $\Delta p=m\Delta v$. Deshalb:
$$\Delta v=\frac{\Delta p}{m}=\frac{1908\,\mathrm{kg\,m/s}}{210\,\mathrm{kg}}\approx9{,}09\,\mathrm{m/s}$$
Da der Bob anfangs ruht, beträgt seine Endgeschwindigkeit ungefähr $9{,}09\,\mathrm{m/s}$.
Bei einer veränderlichen Kraft darfst du nicht einfach einen beliebigen Kraftwert mit der Zeit multiplizieren. Die Impulsänderung entspricht dann der Fläche unter der Kraft-Zeit-Kurve. Eine passende mittlere Kraft kann dieselbe Fläche liefern.
Muss ein Körper dieselbe Impulsänderung erfahren, kann eine längere Abbremszeit die durchschnittliche Kraft verkleinern. Dieses Prinzip nutzen beispielsweise Airbags: Die Abbremsung beginnt früher und dauert länger.
Wie funktioniert die Impulserhaltung?
Während eines Stoßes üben zwei Körper entgegengesetzte Kräfte aufeinander aus. Die Impulsänderungen sind deshalb gleich groß und entgegengesetzt:
$$\Delta\vec p_1=-\Delta\vec p_2$$
Was der eine Körper an Impuls gewinnt, verliert der andere. Dadurch bleibt ihre Impulssumme unverändert.
Impulserhaltung
Wirkt auf ein System keine äußere Kraft oder ist ihr Kraftstoß während des betrachteten Vorgangs vernachlässigbar, bleibt der Gesamtimpuls erhalten:
$$\sum_i\vec p_{i,\mathrm{vor}}=\sum_i\vec p_{i,\mathrm{nach}}$$
Ein solches Modell heißt abgeschlossenes System.
So löst du eine eindimensionale Stoßaufgabe
- Lege die positive Richtung fest.
- Notiere alle Geschwindigkeiten mit dem passenden Vorzeichen.
- Berechne die Einzelimpulse vor dem Stoß.
- Addiere sie zum Gesamtimpuls.
- Setze den Gesamtimpuls vor und nach dem Stoß gleich.
- Löse nach der gesuchten Größe auf.
- Prüfe Vorzeichen, Einheit und Plausibilität.
Beispiel: Pfeil bleibt im Apfel stecken
Ein Pfeil mit $m_{\mathrm{Pf}}=0{,}2\,\mathrm{kg}$ und $v_{\mathrm{Pf}}=20\,\mathrm{m/s}$ trifft einen ruhenden Apfel mit $m_{\mathrm{Ap}}=0{,}1\,\mathrm{kg}$. Der Pfeil bleibt stecken. Beide bewegen sich danach gemeinsam weiter.
Vor dem Stoß besitzt nur der Pfeil Impuls:
$$p_{\mathrm{vor}}=m_{\mathrm{Pf}}v_{\mathrm{Pf}}=0{,}2\,\mathrm{kg}\cdot20\,\mathrm{m/s}=4\,\mathrm{kg\,m/s}$$
Nach dem Stoß bewegen sich Pfeil und Apfel mit derselben Geschwindigkeit $v'$. Deshalb gehört die gemeinsame Masse in die Gleichung:
$$4\,\mathrm{kg\,m/s}=(0{,}2\,\mathrm{kg}+0{,}1\,\mathrm{kg})v'$$
$$v'=\frac{4\,\mathrm{kg\,m/s}}{0{,}3\,\mathrm{kg}}\approx13{,}3\,\mathrm{m/s}$$
Pfeil und Apfel bewegen sich gemeinsam mit ungefähr $13{,}3\,\mathrm{m/s}$ in der ursprünglichen Flugrichtung des Pfeils.
Bewegen sich Körper nach einem Stoß gemeinsam weiter, verwendest du für den Endimpuls ihre gemeinsame Masse. Du darfst trotzdem nur eine Geschwindigkeit ansetzen, weil beide Körper danach gleich schnell sind.
Bleibt bei jedem Stoß auch die kinetische Energie erhalten?
Nein. Impulserhaltung und Erhaltung der kinetischen Energie sind verschiedene Aussagen.
- Der Gesamtimpuls bleibt in einem abgeschlossenen System bei elastischen und inelastischen Stößen erhalten.
- Die kinetische Energie bleibt nur bei einem elastischen Stoß vollständig erhalten.
- Bleiben Körper nach dem Stoß zusammen, ist der Stoß vollständig unelastisch. Ein Teil der kinetischen Energie wird dabei in andere Energieformen umgewandelt, etwa in Verformung oder Wärme.
Das Kugelstoßpendel zeigt, warum eine Energiebetrachtung allein nicht immer genügt. Würden nach dem Stoß zwei Kugeln mit jeweils der Geschwindigkeit $v/\sqrt 2$ wegschwingen, könnte ihre gesamte kinetische Energie zur Energie der ankommenden Kugel passen. Ihr Gesamtimpuls wäre jedoch
$$2m\frac{v}{\sqrt 2}=mv\sqrt 2$$
und damit nicht gleich dem Anfangsimpuls $mv$. Dieser Ablauf ist deshalb mit der Impulserhaltung unvereinbar.
Prüfe bei einem Stoß zuerst, welcher Erhaltungssatz gilt. Der Impuls bleibt im abgeschlossenen System erhalten; die kinetische Energie nur beim elastischen Stoß.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Impuls
- Berechnung: Masse mal Geschwindigkeit
- Richtung: durch Vektorpfeil oder Vorzeichen
- Änderung: Kraftstoß gleich Impulsänderung
- Erhaltung: Gesamtimpuls im abgeschlossenen System konstant
- Stoßbilanz: Impulse vor und nach dem Stoß vergleichen
- Energie: nur beim elastischen Stoß vollständig erhalten
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Aufgaben begründen kannst, beherrschst du den Kernweg: Richtung festlegen, Einzelimpulse berechnen, Gesamtimpulse bilanzieren und den passenden Stoßtyp berücksichtigen.