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Impulserhaltung: Stöße sicher berechnen
Bei einem Stoß bleibt der Gesamtimpuls erhalten, wenn während der Wechselwirkung keine äußere Kraft auf das betrachtete System wirkt. Deshalb ist die Summe aller Impulse vor dem Stoß genauso groß und gleich gerichtet wie danach.
Du lernst, Impulse mit Vorzeichen zu bilanzieren, die gemeinsame Geschwindigkeit nach einem unelastischen Stoß zu berechnen und Impuls- von Energieerhaltung zu unterscheiden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Impuls hat Betrag und Richtung
Ein schwerer oder schneller Körper besitzt einen großen Impuls. Ein ruhender Körper hat den Impuls null.
Impuls
Der Impuls $p$ beschreibt den Bewegungszustand eines Körpers:
$$p = m · v$$
Dabei ist $m$ die Masse in Kilogramm und $v$ die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde. Die Einheit des Impulses ist kg·m/s; sie ist gleichwertig zu N·s.
Der Impuls besitzt dieselbe Richtung wie die Geschwindigkeit. Bei Bewegungen auf einer Geraden legst du deshalb zuerst eine positive Richtung fest:
- Bewegung in die positive Richtung: $v > 0$ und $p > 0$
- Bewegung in die Gegenrichtung: $v < 0$ und $p < 0$
- Körper ruht: $v = 0$ und $p = 0$
Ein Wagen mit $m = 0{,}5$ kg fährt mit $v = 2$ m/s nach rechts. Rechts sei die positive Richtung.
$$p = 0{,}5\,\text{kg} · 2\,\text{m/s} = 1\,\text{kg·m/s}$$
Der positive Impuls zeigt nach rechts. Würde der Wagen gleich schnell nach links fahren, wäre sein Impuls $-1$ kg·m/s.
Wann bleibt der Gesamtimpuls erhalten?
Betrachte bei einem Stoß alle beteiligten Körper als ein gemeinsames System. Wirkt während der Wechselwirkung keine äußere Kraft auf dieses System, bleibt sein Gesamtimpuls konstant.
Für ein abgeschlossenes System gilt:
$$p_{\text{ges, vor}} = p_{\text{ges, nach}}$$
Bei zwei Körpern auf einer Geraden lautet die Bilanz:
$$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v'_1 + m_2v'_2$$
Die Striche kennzeichnen die Geschwindigkeiten nach dem Stoß.
Die Kräfte, die die Körper beim Stoß aufeinander ausüben, sind innere Kräfte. Sie verändern die Einzelimpulse, aber ihre Impulsänderungen sind entgegengesetzt. Daher ändert sich ihre Summe nicht.
Äußere Kräfte können den Gesamtimpuls verändern. Bei einer kurzen Stoßdauer werden etwa Reibungskräfte häufig vernachlässigt. Diese Annahme muss zur Aufgabe passen.
So löst du Stoßaufgaben
Gehe bei einem eindimensionalen Stoß in fünf Schritten vor:
- Lege die positive Richtung fest.
- Notiere alle Massen und Geschwindigkeiten mit Einheit und Vorzeichen.
- Berechne oder notiere die Impulse vor dem Stoß.
- Setze den Gesamtimpuls vor und nach dem Stoß gleich.
- Löse nach der gesuchten Größe auf und prüfe Richtung, Einheit und Plausibilität.
Zwei Wagen bleiben nach dem Zusammenstoß getrennt. Wagen 1 hat $m_1 = 0{,}4$ kg und fährt mit $v_1 = 3$ m/s nach rechts. Wagen 2 hat $m_2 = 0{,}2$ kg und fährt mit $v_2 = -1$ m/s nach links. Nach dem Stoß fährt Wagen 1 mit $v'_1 = 1$ m/s nach rechts. Gesucht ist $v'_2$.
Rechts ist positiv. Der Gesamtimpuls vor dem Stoß ist:
$$p_{\text{vor}} = 0{,}4 · 3 + 0{,}2 · (-1) = 1\,\text{kg·m/s}$$
Die Impulsbilanz lautet:
$$1 = 0{,}4 · 1 + 0{,}2 · v'_2$$
$$0{,}6 = 0{,}2 · v'_2$$
$$v'_2 = 3\,\text{m/s}$$
Das positive Ergebnis bedeutet: Wagen 2 fährt nach dem Stoß nach rechts.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Vor einer Stoßrechnung legst du zuerst die Richtung fest. Ein Körper in der Gegenrichtung erhält eine Geschwindigkeit. In einem abgeschlossenen System ist der vor und nach dem Stoß gleich.
Vollständig unelastischer Stoß
Bleiben zwei Körper nach dem Stoß aneinander haften, bewegen sie sich anschließend mit derselben Geschwindigkeit $v'$. Das nennt man einen vollständig unelastischen Stoß.
Die Impulsbilanz vereinfacht sich zu:
$$m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v'$$
Daraus folgt:
$$v' = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$$
Wagen 1 mit $m_1 = 0{,}6$ kg fährt mit $v_1 = 3$ m/s nach rechts. Wagen 2 mit $m_2 = 0{,}4$ kg ruht. Nach dem Stoß bleiben beide gekoppelt.
Der Gesamtimpuls vor dem Stoß beträgt:
$$p_{\text{vor}} = 0{,}6 · 3 + 0{,}4 · 0 = 1{,}8\,\text{kg·m/s}$$
Nach dem Stoß beträgt die gemeinsame Masse $1{,}0$ kg:
$$1{,}8 = 1{,}0 · v'$$
$$v' = 1{,}8\,\text{m/s}$$
Beide Wagen fahren gemeinsam mit 1,8 m/s nach rechts. Das Ergebnis liegt zwischen den beiden Anfangsgeschwindigkeiten 0 m/s und 3 m/s und ist daher plausibel.
Impuls ist nicht kinetische Energie
Der Impuls bleibt bei elastischen und unelastischen Stößen erhalten, sofern das System abgeschlossen ist. Für die kinetische Energie gilt das nicht immer.
- Elastischer Stoß: Gesamtimpuls und kinetische Energie bleiben erhalten.
- Unelastischer Stoß: Der Gesamtimpuls bleibt erhalten, aber ein Teil der kinetischen Energie wird etwa in Verformung oder Wärme umgewandelt.
- Vollständig unelastischer Stoß: Die Körper bleiben zusammen; kinetische Energie bleibt nicht vollständig erhalten.
Für die kinetische Energie gilt:
$$E_{\text{kin}} = \frac{1}{2}mv^2$$
Beim Wagenbeispiel aus dem vorherigen Kapitel beträgt die kinetische Energie vor dem Stoß:
$$E_{\text{vor}} = \frac{1}{2} · 0{,}6 · 3^2 = 2{,}7\,\text{J}$$
Danach bewegen sich 1,0 kg mit 1,8 m/s:
$$E_{\text{nach}} = \frac{1}{2} · 1{,}0 · 1{,}8^2 = 1{,}62\,\text{J}$$
Die Differenz von 1,08 J wurde in andere Energieformen umgewandelt. Der Impuls von 1,8 kg·m/s ist trotzdem erhalten.
Impulserhaltung entscheidet, welche gerichteten Bewegungen möglich sind. Energieerhaltung ist eine zusätzliche Bedingung, die bei einem elastischen Stoß erfüllt sein muss.
Typische Fehler erkennen
Einzelimpuls statt Gesamtimpuls
Ein Körper darf Impuls gewinnen und der andere Impuls verlieren. Setze deshalb nicht ungeprüft $p_1 = p'_1$, sondern bilanziere alle Körper des Systems.
Richtungen ohne Vorzeichen
Addierst du nur Geschwindigkeitsbeträge, behandelst du eine Bewegung nach links fälschlich wie eine Bewegung nach rechts. Lege die positive Richtung vor der Rechnung fest.
Gemeinsame Endgeschwindigkeit ohne Begründung
Die Gleichung mit $(m_1 + m_2)v'$ gilt nur, wenn beide Körper nach dem Stoß verbunden bleiben. Bei getrennten Körpern brauchst du zwei Endimpulse.
Impulsübertragung mit Impulserhaltung verwechseln
Aus der Impulserhaltung folgt nicht automatisch, dass ein Körper seinen gesamten Impuls an den anderen abgibt. Eine vollständige Übertragung ist eine zusätzliche Annahme für besondere Stoßsituationen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Impulserhaltung
- Impuls: Masse mal gerichtete Geschwindigkeit
- Voraussetzung: keine äußere Kraft auf das System
- Bilanz: Gesamtimpuls vorher gleich Gesamtimpuls nachher
- Richtung: Vorzeichen vor der Rechnung festlegen
- Haftstoß: gemeinsame Masse und Endgeschwindigkeit
- Elastischer Stoß: zusätzlich kinetische Energie erhalten
- Unelastischer Stoß: kinetische Energie teilweise umgewandelt
- Kontrolle: Einheit, Richtung und Plausibilität prüfen
Abschluss-Check
Wenn du Systemgrenze und positive Richtung zuerst festlegst, wird die Stoßrechnung übersichtlich: Impulse mit Vorzeichen addieren, die Bilanz aufstellen, nach der gesuchten Größe lösen und das Ergebnis im Sachzusammenhang prüfen.