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Induktionsgesetz: Flussänderung berechnen
Eine Induktionsspannung entsteht, wenn sich der magnetische Fluss durch eine Leiterschleife oder Spule ändert. Ein Magnetfeld allein genügt nicht. Entscheidend ist, wie stark und wie schnell sich der Fluss verändert.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie beschreibt der magnetische Fluss das Magnetfeld?
Der magnetische Fluss beschreibt, wie stark ein Magnetfeld eine bestimmte Fläche durchsetzt.
Magnetischer Fluss
Für eine ebene Fläche in einem homogenen Magnetfeld gilt
$$\Phi=B\,A\cos(\varphi).$$
Dabei sind $B$ die magnetische Flussdichte in Tesla, $A$ die durchsetzte Fläche in Quadratmetern und $\varphi$ der Winkel zwischen der Feldrichtung und dem Flächenvektor. Der Flächenvektor steht senkrecht auf der Fläche. Die Einheit des magnetischen Flusses ist Weber: $1\,\mathrm{Wb}=1\,\mathrm{T\,m^2}$.
Steht der Flächenvektor parallel zur Feldrichtung, ist $\varphi=0^\circ$. Dann gilt $\cos(0^\circ)=1$ und der Fluss ist maximal. Steht der Flächenvektor senkrecht zur Feldrichtung, ist $\varphi=90^\circ$ und der Fluss ist null.
Eine Schleife hat die Fläche $A=0{,}020\,\mathrm{m^2}$ und liegt bei $B=0{,}50\,\mathrm T$ so, dass ihr Flächenvektor parallel zum Feld zeigt.
$$\Phi=0{,}50\,\mathrm T\cdot0{,}020\,\mathrm{m^2}\cdot1=0{,}010\,\mathrm{Wb}.$$
Wird die Schleife um $90^\circ$ gedreht, ist $\cos(90^\circ)=0$. Der Fluss sinkt dann auf null.
Wann entsteht eine Induktionsspannung?
Nach dem Faradayschen Induktionsgesetz entsteht eine Spannung, sobald sich der magnetische Fluss zeitlich ändert. Für eine Spule mit $N$ gleichen Windungen gilt für die mittlere Spannung während eines Zeitintervalls:
$$U_\mathrm{ind}=-N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}.$$
$\Delta\Phi$ ist die Flussänderung und $\Delta t$ ihre Dauer. Je größer die Flussänderung und je kürzer die benötigte Zeit, desto größer ist der Spannungsbetrag.
Für den momentanen Wert verwendet man die Differentialform:
$$U_\mathrm{ind}(t)=-N\frac{d\Phi}{dt}.$$
Ein großer magnetischer Fluss erzeugt nicht automatisch eine Spannung. Bei konstantem Fluss gilt $U_\mathrm{ind}=0$.
Eine Leiterschleife wird gleichmäßig in ein homogenes Magnetfeld bewegt:
- Außerhalb des Feldes ist der Fluss null.
- Beim Hineinbewegen wächst die durchsetzte Fläche. Der Fluss ändert sich und eine Spannung entsteht.
- Vollständig im konstanten Feld bleibt der Fluss gleich. Trotz weiterer Bewegung entsteht keine Spannung.
- Beim Herausbewegen nimmt der Fluss ab und es entsteht erneut eine Spannung.
Auf welche Arten kann sich der Fluss ändern?
Weil $\Phi=B A\cos(\varphi)$ gilt, kann eine Flussänderung drei Ursachen haben:
- Die magnetische Flussdichte $B$ ändert sich.
- Die vom Feld durchsetzte Fläche $A$ ändert sich.
- Die Orientierung und damit der Winkel $\varphi$ ändert sich.
Bei konstanter Fläche und konstantem Winkel folgt:
$$U_\mathrm{ind}=-N A\cos(\varphi)\frac{dB}{dt}.$$
Bei konstantem Feld und konstantem Winkel folgt:
$$U_\mathrm{ind}=-N B\cos(\varphi)\frac{dA}{dt}.$$
Ändert sich nur der Winkel, gilt:
$$U_\mathrm{ind}=N B A\sin(\varphi)\frac{d\varphi}{dt}.$$
Ändern sich bei senkrechter Felddurchsetzung Fläche und magnetische Flussdichte gleichzeitig, muss die Produktregel verwendet werden:
$$U_\mathrm{ind}=-N\left(B\frac{dA}{dt}+A\frac{dB}{dt}\right).$$
Eine Bewegung verändert den Fluss nur dann, wenn sie mindestens eine Größe in der Flussformel verändert. Auch eine ruhende Schleife kann deshalb eine Induktionsspannung besitzen, wenn sich $B$ ändert.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Eine Induktionsspannung entsteht durch eine des magnetischen Flusses. Der Fluss kann sich durch eine Änderung von ändern. Bleibt der Fluss konstant, beträgt die Induktionsspannung .
Wie berechnest du eine mittlere Induktionsspannung?
Gehe in fünf Schritten vor:
- Wandle alle Größen in SI-Einheiten um.
- Bestimme Anfangs- und Endfluss.
- Berechne $\Delta\Phi=\Phi_2-\Phi_1$.
- Setze den Betrag in $|U_\mathrm{ind}|=N|\Delta\Phi|/\Delta t$ ein.
- Deute die Richtung anschließend mit der Lenzschen Regel.
Eine Leiterschleife mit $N=1$ und
$$A=200\,\mathrm{cm^2}=0{,}020\,\mathrm{m^2}$$
wird in $3\,\mathrm s$ vollständig in ein senkrecht durchsetzendes Feld mit $B=0{,}50\,\mathrm T$ bewegt.
Zunächst ist $\Phi_1=0$. Am Ende gilt:
$$\Phi_2=B A=0{,}50\,\mathrm T\cdot0{,}020\,\mathrm{m^2}=0{,}010\,\mathrm{Wb}.$$
Damit beträgt die mittlere Spannung:
$$|U_\mathrm{ind}|=\frac{0{,}010\,\mathrm{Wb}}{3\,\mathrm s}\approx0{,}0033\,\mathrm V=3{,}3\,\mathrm{mV}.$$
Danach bleibt die Schleife vollständig im Feld. $B$ steigt in $2\,\mathrm s$ von $0{,}50\,\mathrm T$ auf $1{,}50\,\mathrm T$.
$$\Delta B=1{,}00\,\mathrm T$$
$$|U_\mathrm{ind}|=A\frac{|\Delta B|}{\Delta t}=0{,}020\,\mathrm{m^2}\cdot\frac{1{,}00\,\mathrm T}{2\,\mathrm s}=0{,}010\,\mathrm V=10\,\mathrm{mV}.$$
Der zweite Vorgang erzeugt den größeren Spannungsbetrag: $10\,\mathrm{mV}>3{,}3\,\mathrm{mV}$.
Was bedeutet das Minuszeichen?
Das Minuszeichen beschreibt die Richtung der induzierten Wirkung. Nach der Lenzschen Regel ist ein induzierter Strom so gerichtet, dass sein eigenes Magnetfeld der verursachenden Flussänderung entgegenwirkt.
- Nimmt der äußere Fluss in einer Richtung zu, wirkt das induzierte Feld dieser Zunahme entgegen.
- Nimmt der äußere Fluss ab, wirkt das induzierte Feld dem Abnehmen entgegen und unterstützt deshalb die bisherige Flussrichtung.
Die induzierte Wirkung bekämpft nicht den vorhandenen Fluss, sondern seine Änderung.
Diese Gegenwirkung passt zur Energieerhaltung. Fließt in einer bewegten, geschlossenen Leiterschleife ein Induktionsstrom, kann eine magnetische Kraft die verursachende Bewegung bremsen. Um die Bewegung aufrechtzuerhalten, muss von außen Arbeit verrichtet werden. Diese Energie kann anschließend beispielsweise als Wärme im Widerstand auftreten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Induktionsgesetz
- Magnetischer Fluss
- magnetische Flussdichte $B$
- Fläche $A$
- Orientierung $\varphi$
- Flussänderung
- Änderung von $B$
- Änderung von $A$
- Änderung von $\varphi$
- Induktionsspannung
- proportional zu $N$
- größer bei schnellerer Änderung
- null bei konstantem Fluss
- Richtung
- Lenzsche Gegenwirkung
- Energieerhaltung
- Magnetischer Fluss
Abschluss-Check
Du beherrschst den Kern des Induktionsgesetzes, wenn du in einer neuen Situation zuerst prüfst, wie sich $B$, $A$ oder $\varphi$ verändern, daraus die Flussänderung bestimmst und anschließend Betrag und Richtung der Spannung getrennt deutest.