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Kräfteaddition: Resultierende einfach bestimmen
Wirken mehrere Kräfte auf einen Körper, kannst du ihre gemeinsame Wirkung durch eine einzige resultierende Kraft ersetzen. Weil Kräfte einen Betrag und eine Richtung besitzen, musst du ihre Pfeile addieren – nicht immer nur ihre Zahlenwerte.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was zeigt ein Kraftpfeil?
Eine Kraft ist eine vektorielle Größe. Das bedeutet: Zu ihr gehören sowohl ein Betrag als auch eine Richtung.
- Die Pfeilrichtung zeigt, wohin die Kraft wirkt.
- Die Pfeillänge stellt den Betrag der Kraft dar.
- Der Anfang des Pfeils kennzeichnet den Angriffspunkt.
- Der Betrag wird in Newton mit dem Einheitenzeichen
Nangegeben.
Resultierende
Die resultierende Kraft $\vec F_{\mathrm r}$ heißt auch Gesamt- oder Ersatzkraft. Sie hat auf den betrachteten Körper dieselbe Wirkung wie alle zusammengefassten Kräfte.
$$\vec F_{\mathrm r}=\vec F_1+\vec F_2$$
Der Vektorpfeil über dem Formelzeichen erinnert dich daran, dass nicht nur Beträge, sondern auch Richtungen addiert werden.
Wie addierst du Kräfte auf einer Linie?
Liegen zwei Kräfte auf derselben Wirkungslinie, unterscheidest du zwei Fälle.
Beide Kräfte zeigen in dieselbe Richtung
Dann addierst du ihre Beträge. Die Resultierende zeigt ebenfalls in diese Richtung.
$$F_{\mathrm r}=F_1+F_2$$
Zwei Personen ziehen einen Ring nach rechts. Die erste Kraft beträgt $5\,\mathrm N$, die zweite $3\,\mathrm N$.
$$F_{\mathrm r}=5\,\mathrm N+3\,\mathrm N=8\,\mathrm N$$
Die Ersatzkraft beträgt $8\,\mathrm N$ und zeigt nach rechts.
Die Kräfte zeigen genau entgegengesetzt
Dann bildest du die Differenz aus größerem und kleinerem Betrag. Die Resultierende zeigt in Richtung der größeren Kraft.
Eine Kraft von $5\,\mathrm N$ zieht nach rechts, eine Kraft von $3\,\mathrm N$ nach links.
$$F_{\mathrm r}=5\,\mathrm N-3\,\mathrm N=2\,\mathrm N$$
Die Resultierende beträgt $2\,\mathrm N$ und zeigt nach rechts, weil dort die größere Kraft wirkt.
Sind beide entgegengesetzten Kräfte gleich groß, ist ihre Resultierende null.
Nur gleichgerichtete Kräfte werden unmittelbar addiert. Bei entgegengesetzten Kräften bestimmst du die Differenz und übernimmst die Richtung der größeren Kraft.
Wie addierst du verschieden gerichtete Kräfte?
Greifen zwei Kräfte an einem Punkt an, zeigen aber in verschiedene Richtungen, hilft eine maßstäbliche Zeichnung.
Kräftedreieck
- Lege einen Maßstab fest, zum Beispiel: $1\,\mathrm{cm}$ entspricht $1\,\mathrm N$.
- Zeichne den ersten Kraftpfeil mit passender Länge und Richtung.
- Verschiebe den zweiten Pfeil parallel, bis sein Anfang an der Spitze des ersten liegt. Länge und Richtung bleiben unverändert.
- Zeichne die Resultierende vom Anfang des ersten bis zur Spitze des zweiten Pfeils.
- Miss Länge und Richtung der Resultierenden und rechne die Länge mit dem Maßstab in Newton um.
Du darfst die Reihenfolge der beiden Pfeile vertauschen. Die Resultierende bleibt gleich.
Kräfteparallelogramm
Zeichne beide Kraftpfeile mit gemeinsamem Anfangspunkt. Kopiere anschließend jeden Pfeil parallel an die Spitze des anderen. Die Diagonale vom gemeinsamen Anfangspunkt zur gegenüberliegenden Ecke ist die Resultierende.
Im Kräftedreieck führt die Resultierende vom Anfang des ersten Pfeils zur Spitze des letzten. Im Kräfteparallelogramm ist sie die Diagonale vom gemeinsamen Angriffspunkt aus.
Sonderfall: Kräfte stehen senkrecht aufeinander
Bei einem Winkel von $90^\circ$ bilden die beiden Kräfte und die Resultierende ein rechtwinkliges Dreieck. Dann kannst du zusätzlich den Satz des Pythagoras verwenden:
$$F_{\mathrm r}=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$$
Eine Kraft von $5\,\mathrm N$ wirkt nach rechts, eine Kraft von $3\,\mathrm N$ senkrecht nach oben.
$$F_{\mathrm r}=\sqrt{(5\,\mathrm N)^2+(3\,\mathrm N)^2}$$
$$F_{\mathrm r}=\sqrt{34\,\mathrm N^2}\approx5{,}8\,\mathrm N$$
Das Ergebnis ist plausibel: Die Resultierende ist größer als jede Einzelkraft, aber kleiner als deren Summe von $8\,\mathrm N$.
Was geschieht bei mehreren Kräften und im Gleichgewicht?
Mehr als zwei Kräfte addierst du als Pfeilkette: Hänge jeden Kraftpfeil unter Beibehaltung seiner Länge und Richtung an die Spitze des vorherigen. Die Resultierende verläuft vom Anfang des ersten bis zur Spitze des letzten Pfeils.
Du kannst auch schrittweise vorgehen: Fasse zuerst zwei Kräfte zu einer Resultierenden zusammen und addiere danach die nächste Kraft.
Kräftegleichgewicht
Kräftegleichgewicht liegt vor, wenn die Resultierende aller auf den betrachteten Körper wirkenden Kräfte null ist.
$$\vec F_{\mathrm{res}}=\vec 0$$
Bei einer geschlossenen Pfeilkette fallen Anfang und Ende zusammen. Es bleibt keine resultierende Richtung übrig.
An einem Ring ziehen zwei gleich große Kräfte von jeweils $4\,\mathrm N$ genau entgegengesetzt. Ihre Beträge sind gleich, ihre Richtungen entgegengesetzt.
Die Resultierende ist $0\,\mathrm N$: Am Ring herrscht Kräftegleichgewicht.
Verwechsle Gleichgewicht nicht mit dem bloßen Vorhandensein mehrerer Kräfte. Entscheidend ist ausschließlich ihre Vektorsumme. Auch drei oder mehr Kräfte können sich gegenseitig ausgleichen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kräfteaddition
- Kraftpfeil: Betrag und Richtung beachten
- Gleiche Richtung: Beträge addieren
- Entgegengesetzte Richtung: Differenz bilden
- Verschiedene Richtungen: Kräftedreieck oder Parallelogramm zeichnen
- Senkrechte Richtungen: Satz des Pythagoras möglich
- Mehrere Kräfte: Pfeilkette bilden
- Gleichgewicht: Resultierende ist null
Abschluss-Check
Du beherrschst die Kräfteaddition, wenn du zuerst die Richtungen prüfst, anschließend das passende Additionsverfahren auswählst und dein Ergebnis auf Richtung, Einheit und Plausibilität kontrollierst.