Quantenmechanisches Atommodell: Orbitale verstehen

Ein Elektron auf einer Kreisbahn wäre nach klassischer Physik ständig beschleunigt, weil sich seine Bewegungsrichtung ändert. Es müsste elektromagnetische Strahlung abgeben, Energie verlieren und schließlich in den Kern stürzen. Stabile Atome wären so nicht erklärbar.

Auch die beobachteten diskreten Energieniveaus widersprechen beliebigen klassischen Bahnen: Für gebundene Energiezustände eines Atoms sind nur bestimmte Energiewerte möglich. Die charakteristischen Linienspektren der Elemente zeigen solche Energieunterschiede. Ein Linienspektrum zeigt Strahlung bei einzelnen Wellenlängen. Im sichtbaren Bereich erkennst du einzelne farbige Linien statt eines lückenlosen Farbstreifens.

Das quantenmechanische Modell ersetzt deshalb die Frage „Auf welcher Bahn fliegt das Elektron?“ durch die Frage „Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann es an einem Ort nachgewiesen werden?“

Die Wellenfunktion $\psi$ ist eine mathematische Beschreibung eines Quantenzustands. Sie ist nicht selbst die Wahrscheinlichkeit.

Nach der Bornschen Deutung gibt das Betragsquadrat $|\psi|^2$ die Wahrscheinlichkeitsdichte an. Vergleichst du gleich große, sehr kleine Raumbereiche, ist ein Nachweis dort wahrscheinlicher, wo die Dichte größer ist. Die Wahrscheinlichkeit für einen größeren Bereich erhältst du, indem du die Dichte über dessen Volumen aufsummierst, mathematisch: integrierst.

Die Verteilung muss normiert sein. Das bedeutet: Addiert man die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Aufenthaltsorte, ergibt sich insgesamt $1$, also $100\,\%$.

Farben in Orbitalbildern können verschiedene Vorzeichen der Wellenfunktion darstellen. Sie bedeuten nicht automatisch verschiedene Aufenthaltswahrscheinlichkeiten, denn für diese wird $|\psi|^2$ betrachtet.

Eine Begrenzung stellt Bedingungen an mögliche Wellen. Ähnlich wie bei einer eingespannten Saite passen nur bestimmte stehende Wellen in den verfügbaren Bereich. Für Energiezustände im folgenden Modell ergeben sich dadurch getrennte, also diskrete, Energiewerte.

Der eindimensionale unendliche Potentialtopf macht diese Idee besonders deutlich. Im Topf der Breite $a$ ist die potenzielle Energie null; an den Rändern ist sie unendlich groß. Das Teilchen kann den Topf nicht verlassen. An beiden Rändern muss die Wellenfunktion null sein; dort verschwindet auch die Wahrscheinlichkeitsdichte. Diese Vorgaben heißen Randbedingungen.

Zwischen die Ränder muss eine ganze Zahl halber Wellenlängen passen: $a=n\lambda/2$. Dabei ist $\lambda$ die Wellenlänge. Mit der De-Broglie-Beziehung $p=h/\lambda$ für den Impuls $p$ und der Bewegungsenergie $E=p^2/(2m)$ erhältst du für ein Teilchen der Masse $m$ die erlaubten Energien. Diese Energieformel gilt bei Geschwindigkeiten deutlich unter der Lichtgeschwindigkeit; dann ist $p=mv$ mit der Geschwindigkeit $v$. Setze zunächst $\lambda=2a/n$ in $p=h/\lambda$ ein. Damit ist $p=hn/(2a)$; quadrieren und durch $2m$ teilen liefert:

$$E_n=\frac{h^2}{8ma^2}n^2,\qquad n=1,2,3,\ldots$$

Dabei ist $h$ das Plancksche Wirkungsquantum. Die ganze Zahl $n$ nummeriert die möglichen Zustände.

Im einfachen Orbitalmodell verwendest du vier Quantenzahlen, um Elektronenzustände zu ordnen. Sie geben bestimmte erlaubte Werte von Zustandsgrößen an:

Die Hauptquantenzahl wird traditionell einer Schale zugeordnet: $n=1$ heißt K-Schale, $n=2$ L-Schale, $n=3$ M-Schale und $n=4$ N-Schale.

Eine Unterschale umfasst die Orbitale mit gleichem $n$ und $l$. Die Nebenquantenzahl erhält Buchstaben: $l=0$ entspricht einer $s$-Unterschale, $l=1$ einer $p$-Unterschale. $s$-Orbitale werden häufig kugelförmig, $p$-Orbitale hantelförmig dargestellt.

Der Spin ist ein innerer Drehimpuls des Elektrons, keine Drehung einer kleinen Kugel. $m_s$ unterscheidet seine beiden möglichen Ausrichtungen bezüglich einer gewählten Achse. Für eine $p$-Unterschale gilt $l=1$: Die drei Werte $m_l=-1,0,+1$ liefern drei räumliche Orbitale.

Nach dem Pauli-Ausschließungsprinzip dürfen zwei Elektronen eines Atoms nicht in allen vier Quantenzahlen übereinstimmen. Weil für ein räumliches Orbital zwei Spinwerte möglich sind, kann es höchstens zwei Elektronen mit unterschiedlichem Spin aufnehmen.

Für den Grundzustand, also den Zustand niedrigster Gesamtenergie, hilft das Aufbauprinzip: Du besetzt zunächst die verfügbaren Orbitale niedriger Energie und beachtest das Pauli-Prinzip. Bei komplizierteren Atomen hat die einfache Besetzungsfolge Ausnahmen.

Nach der Hundschen Regel werden gleichenergetische Orbitale derselben Unterschale zunächst einzeln mit parallelen Spins besetzt. Das bedeutet: Diese Elektronen haben den gleichen Wert von $m_s$. Erst danach entstehen Paare mit entgegengesetzten Spinwerten.

Wenn du feste Bahn, Orbital, Schale und Energieniveau sicher auseinanderhalten und die erlaubten Quantenzahlen begründen kannst, hast du den Kern des quantenmechanischen Atommodells verstanden.