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Quantenmechanisches Atommodell: Orbitale verstehen
Im quantenmechanischen Atommodell bewegen sich Elektronen nicht auf festgelegten Bahnen um den Kern. Eine Wellenfunktion beschreibt ihren Zustand; aus ihrem Betragsquadrat ergibt sich die räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte. Nur bestimmte Zustände und Energien sind erlaubt.
Auf dieser Seite lernst du, wie diese Beschreibung entsteht, was Orbitale und Quantenzahlen bedeuten und wie Elektronenzustände besetzt werden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum feste Elektronenbahnen scheitern
Ein Elektron auf einer Kreisbahn wäre nach klassischer Physik ständig beschleunigt. Es müsste elektromagnetische Strahlung abgeben, Energie verlieren und schließlich in den Kern stürzen. Stabile Atome wären so nicht erklärbar.
Auch die beobachteten diskreten Zustände widersprechen beliebigen klassischen Bahnen: Atome desselben Elements besitzen charakteristische, klar getrennte Energien. Zwischenwerte sind nicht beliebig möglich.
Das quantenmechanische Modell ersetzt deshalb die Frage „Auf welcher Bahn fliegt das Elektron?“ durch die Frage „Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann es an einem Ort nachgewiesen werden?“
Ein Orbital ist keine Flugbahn und keine Aufnahme eines kreisenden Elektrons. Es beschreibt einen möglichen räumlichen Elektronenzustand.
Von der Wellenfunktion zur Wahrscheinlichkeit
Die Wellenfunktion $\psi$ ist eine mathematische Beschreibung eines Quantenzustands. Sie ist nicht selbst die Wahrscheinlichkeit.
Nach der Bornschen Deutung gibt das Betragsquadrat $|\psi|^2$ die Wahrscheinlichkeitsdichte an. Ein großer Wert bedeutet: In diesem Bereich ist ein Nachweis des Elektrons wahrscheinlicher als in einem Bereich mit kleinem Wert.
Die Verteilung muss normiert sein. Das bedeutet: Addiert man die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Aufenthaltsorte, ergibt sich insgesamt $1$, also $100\,\%$.
Orbital
Ein Orbital ist ein räumlicher Ein-Elektronen-Zustand. Bilder zeigen häufig eine Grenzfläche, innerhalb der ein festgelegter Anteil der Aufenthaltswahrscheinlichkeit liegt, zum Beispiel $90\,\%$. Die Grenzfläche ist keine feste Wand.
Vorzeichen oder Farben in Orbitalbildern können verschiedene Vorzeichen der Wellenfunktion darstellen. Sie bedeuten nicht automatisch verschiedene Aufenthaltswahrscheinlichkeiten, denn für diese wird $|\psi|^2$ betrachtet.
Zeigt ein Orbitalbild zwei verschieden gefärbte Bereiche, folgt daraus nicht, dass das Elektron zwei Farben oder Ladungen besitzt. Die Farben können die Vorzeichen von $\psi$ kennzeichnen. Erst $|\psi|^2$ beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichte.
Warum nur bestimmte Energien erlaubt sind
Eine Begrenzung stellt Bedingungen an mögliche Wellen. Ähnlich wie bei einer eingespannten Saite passen nur bestimmte stehende Wellen in den verfügbaren Bereich. Deshalb entstehen getrennte, also diskrete, Zustände.
Der eindimensionale unendliche Potentialtopf macht diese Idee besonders deutlich. Im Topf der Breite $a$ ist die potenzielle Energie null; an den Rändern ist sie unendlich groß. Dort muss die Aufenthaltswahrscheinlichkeit verschwinden.
Für ein Teilchen der Masse $m$ lauten die erlaubten Energien:
$$E_n=\frac{h^2}{8ma^2}n^2,\qquad n=1,2,3,\ldots$$
Dabei ist $h$ das Plancksche Wirkungsquantum. Die ganze Zahl $n$ nummeriert die möglichen Zustände.
Für denselben Topf gilt wegen $E_n\propto n^2$:
$$E_2=2^2E_1=4E_1$$
Der zweite Zustand besitzt also die vierfache Energie des ersten. Ein Zustand mit $n=0$ gehört nicht zu den zulässigen Lösungen.
Der unendliche Potentialtopf ist ein eindimensionales Lernmodell, nicht die vollständige Beschreibung eines Atoms. Er zeigt aber den grundlegenden Zusammenhang: Begrenzung führt zu Randbedingungen, diese erlauben nur bestimmte stehende Wellen und damit bestimmte Energien.
Quantenzahlen ordnen Elektronenzustände
Vier Quantenzahlen kennzeichnen einen vollständigen Elektronenzustand:
| Quantenzahl | Bedeutung | Zulässige Werte |
|---|---|---|
| $n$ | Hauptquantenzahl | $1,2,3,\ldots$ |
| $l$ | Drehimpuls- oder Nebenquantenzahl | $0,1,\ldots,n-1$ |
| $m_l$ | magnetische Bahnquantenzahl | $-l,\ldots,0,\ldots,+l$ |
| $m_s$ | Spinquantenzahl | $-\frac12$ oder $+\frac12$ |
Die Hauptquantenzahl wird traditionell einer Schale zugeordnet: $n=1$ heißt K-Schale, $n=2$ L-Schale, $n=3$ M-Schale und $n=4$ N-Schale.
Die Nebenquantenzahl erhält Buchstaben: $l=0$ entspricht einer $s$-Unterschale, $l=1$ einer $p$-Unterschale. $s$-Orbitale werden häufig kugelförmig, $p$-Orbitale hantelförmig dargestellt.
Energieniveau
Ein Energieniveau ist ein erlaubter Energiewert. Es ist weder ein räumlicher Bereich noch eine Bahn. Mehrere Zustände können dieselbe Energie besitzen.
Schale und Energieniveau sind nicht dasselbe: Die Schale wird über $n$ bezeichnet. Die tatsächliche Energieordnung kann dazu führen, dass ein Orbital einer höheren Schale energetisch unter einem Orbital einer niedrigeren Schale liegt.
Wie Elektronen Zustände besetzen
Nach dem Pauli-Ausschließungsprinzip dürfen zwei Elektronen eines Atoms nicht in allen vier Quantenzahlen übereinstimmen. Weil für ein räumliches Orbital zwei Spinwerte möglich sind, kann es höchstens zwei Elektronen mit unterschiedlichem Spin aufnehmen.
Elektronen besetzen zunächst die noch freien Zustände niedriger Energie. Gleichenergetische Orbitale werden nach der Hundschen Regel zuerst einzeln und erst danach doppelt besetzt.
Kalium besitzt 19 Elektronen. Die Zustände werden in der hier benötigten Energieordnung besetzt:
$$1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^6\,4s^1$$
Die Hochzahl nennt die Zahl der Elektronen in der jeweiligen Unterschale. Nach 18 eingeordneten Elektronen bleibt eines übrig. Es kommt in den $4s$-Zustand, der in dieser Besetzungsfolge energetisch vor $3d$ liegt.
Beim Sauerstoff verteilen sich vier Elektronen auf die drei gleichenergetischen $2p$-Orbitale. Zuerst erhält jedes Orbital ein Elektron. Erst das vierte Elektron bildet in einem der Orbitale ein Paar. Das ist die Hundsche Regel.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Quantenmechanisches Atommodell
- ersetzt feste Bahnen durch Wahrscheinlichkeitsaussagen
- beschreibt Zustände mit der Wellenfunktion
- gewinnt aus $|\psi|^2$ die Wahrscheinlichkeitsdichte
- erklärt diskrete Energien durch zulässige Wellenzustände
- ordnet Zustände mit vier Quantenzahlen
- begrenzt Besetzungen durch Pauli- und Hundsche Regel
- deutet Orbitale als räumliche Zustände statt als Bahnen
Abschluss-Check
Wenn du feste Bahn, Orbital, Schale und Energieniveau sicher auseinanderhalten und die erlaubten Quantenzahlen begründen kannst, hast du den Kern des quantenmechanischen Atommodells verstanden.