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Wellenfunktion in der Quantenphysik verstehen
Die quantenmechanische Wellenfunktion $\psi$ beschreibt den Zustand eines Quantensystems. Sie ist im Allgemeinen komplexwertig und nicht direkt messbar. Für Ortsmessungen erhältst du Wahrscheinlichkeiten aus ihrem Betragsquadrat.
Auf dieser Seite lernst du außerdem, warum $\psi$ keine gewöhnliche, im Raum schwingende Stoffwelle ist.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Zwei verschiedene Arten von Wellenfunktionen
Das Wort Wellenfunktion wird in zwei unterschiedlichen Zusammenhängen verwendet.
Eine klassische mechanische Welle kann durch eine reelle Funktion wie
$$y(x,t)=\hat y\sin\left(2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)\right)$$
beschrieben werden. Dabei ist $y(x,t)$ die messbare Auslenkung am Ort $x$ zur Zeit $t$. $\hat y$ ist die Amplitude, $T$ die Periodendauer und $\lambda$ die Wellenlänge. Das Minuszeichen kennzeichnet hier eine Ausbreitung in positive $x$-Richtung.
Quantenmechanische Wellenfunktion
Die quantenmechanische Wellenfunktion $\psi$ ist eine mathematische Darstellung des Zustands eines Quantensystems. Sie ist meist komplexwertig und keine direkt messbare Auslenkung.
Der entscheidende Unterschied lautet:
- Bei der klassischen Seilwelle beschreibt die Funktion eine wirkliche Auslenkung.
- In der Quantenmechanik liefert $\psi$ Vorhersagen über mögliche Messergebnisse.
Die Bezeichnung „Welle“ ist trotzdem sinnvoll: Wellenfunktionen besitzen Phasen, können überlagert werden und ermöglichen Interferenz.
Eine klassische Wellenfunktion beschreibt eine messbare Schwingungsgröße. Die quantenmechanische Wellenfunktion beschreibt einen Zustand und darf nicht als schwingender Stoff oder als feste Teilchenbahn gelesen werden.
Vom Zustand zur Messwahrscheinlichkeit
Im Ortsraum ordnet $\psi(x,t)$ jedem Ort und Zeitpunkt eine komplexe Amplitude zu. Eine komplexe Zahl enthält einen Betrag und eine Phase. Die Phase ist unter anderem für Interferenz wichtig.
Direkt als Wahrscheinlichkeitsdichte deutbar ist das Betragsquadrat
$$|\psi(x,t)|^2=\psi^*(x,t)\psi(x,t).$$
Dabei bezeichnet $\psi^*$ die komplex konjugierte Wellenfunktion. Das Produkt ist reell und nichtnegativ.
Wahrscheinlichkeitsdichte
$|\psi(x,t)|^2$ ist im eindimensionalen Ortsraum die Dichte der Wahrscheinlichkeit für eine Ortsmessung. Die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall von $a$ bis $b$ lautet
$$P(a\le x\le b)=\int_a^b |\psi(x,t)|^2\,dx.$$
Die Dichte an einem mathematischen Punkt ist nicht dasselbe wie die Wahrscheinlichkeit für ein endliches Intervall. Erst die Integration über einen Bereich ergibt eine Wahrscheinlichkeit.
Bei vielen gleich präparierten Systemen entsteht eine Häufigkeitsverteilung der Nachweise. Sie nähert sich der von $|\psi|^2$ vorhergesagten Verteilung an. Ein einzelnes Nachweisereignis lässt dagegen nicht eindeutig erkennen, welche Wellenfunktion vorher vorlag.
Angenommen, $|\psi|^2$ ist in einem bestimmten Bereich groß. Dann sind dort bei vielen gleichartigen Versuchsdurchläufen besonders viele Nachweise zu erwarten.
Das bedeutet nicht, dass ein unbeobachtetes Teilchen zuvor sicher an einem bestimmten Punkt dieses Bereichs saß. Die Wellenfunktion sagt eine Verteilung möglicher Messergebnisse voraus.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die Funktion $\psi$ beschreibt den . Im Ortsraum ist $|\psi|^2$ eine . Ein einzelner Nachweis ist ein .
Warum die Wellenfunktion normiert sein muss
Irgendeines der möglichen Ergebnisse muss bei einer vollständigen Messung eintreten. Deshalb muss die Summe beziehungsweise das Integral aller Wahrscheinlichkeiten gleich $1$ sein.
Für ein Teilchen in einer Raumdimension gilt:
$$\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2\,dx=1.$$
Diese Bedingung heißt Normierung.
Für zwei mögliche Messergebnisse kann ein Zustand beispielsweise die Amplituden
$$c_1=\frac{3}{5},\qquad c_2=\frac{4}{5}$$
besitzen. Die Wahrscheinlichkeiten sind die Betragsquadrate:
$$|c_1|^2=\frac{9}{25},\qquad |c_2|^2=\frac{16}{25}.$$
Damit folgt
$$\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1.$$
Das erste Ergebnis tritt mit Wahrscheinlichkeit $9/25=36\%$ auf, das zweite mit $16/25=64\%$.
Addiert werden die Wahrscheinlichkeiten aller einander ausschließenden Ergebnisse. Ihre Summe muss bei einem normierten Zustand $1$ ergeben.
Superposition erzeugt Interferenz
Die Schrödinger-Gleichung ist linear. Deshalb ist eine Linearkombination zulässiger Wellenfunktionen wieder eine mögliche Wellenfunktion. Diese Überlagerung heißt Superposition.
Am Doppelspalt kann der Gesamtzustand schematisch als
$$\psi_{\mathrm{ges}}=\psi_{\mathrm{links}}+\psi_{\mathrm{rechts}}$$
geschrieben werden.
Für die Nachweisverteilung muss zuerst addiert und danach das Betragsquadrat gebildet werden:
$$|\psi_{\mathrm{ges}}|^2=|\psi_{\mathrm{links}}+\psi_{\mathrm{rechts}}|^2.$$
Im Allgemeinen ist das nicht dasselbe wie
$$|\psi_{\mathrm{links}}|^2+|\psi_{\mathrm{rechts}}|^2.$$
Der Unterschied entsteht durch Interferenzterme. Je nach Phasenbeziehung verstärken oder schwächen sich die Amplituden.
Sind zwei Amplituden an einem Ort gleich groß und gleichphasig, verstärken sie sich. Sind sie gleich groß und entgegengesetzt, kann ihre Summe dort null sein. Dann ist auch das Betragsquadrat null, obwohl beide Einzelbeiträge für sich nicht null sind.
Bei Interferenz gilt die Reihenfolge: Amplituden addieren, danach das Betragsquadrat bilden. Wer zuerst Einzelwahrscheinlichkeiten addiert, verliert die Phaseninformation.
Entwicklung, Darstellung und Unbestimmtheit
Für ein nichtrelativistisches Teilchen der Masse $m$ in einem Potential $V$ bestimmt die Schrödinger-Gleichung die zeitliche Entwicklung:
$$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V\psi.$$
$\hbar$ ist das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum und $\Delta$ der Laplace-Operator. Bei festgelegtem Anfangszustand entwickelt sich $\psi$ nach dieser Gleichung bestimmt weiter. Die einzelnen Messergebnisse bleiben trotzdem probabilistisch.
Diese nichtrelativistische Schrödinger-Gleichung beschreibt massebehaftete Quantenteilchen. Photonen sind keine Lösungen dieser Gleichung und benötigen einen anderen theoretischen Rahmen.
Derselbe abstrakte Zustand kann in verschiedenen Darstellungen beschrieben werden:
- $\psi(x,t)$ ist die Wellenfunktion im Ortsraum.
- $\widetilde\psi(p,t)$ ist die Wellenfunktion im Impulsraum.
- Beide Darstellungen sind durch eine Fouriertransformation miteinander verbunden.
Daraus folgt qualitativ ein wichtiger Zusammenhang: Ist ein Zustand räumlich stark eingegrenzt, verteilt sich seine Impulswellenfunktion über einen breiteren Bereich. Eine schmale Ortsverteilung führt also zu einer breiteren Impulsverteilung.
Diese quantenphysikalische Unbestimmtheit ist weder bloß fehlendes Wissen über eine vorhandene Bahn noch lediglich die Ungenauigkeit eines Messgeräts. Sie betrifft die Verteilungen, die der präparierte Zustand selbst für Ort und Impuls zulässt.
Bei mehreren Teilchen hängt die gemeinsame Wellenfunktion von den Koordinaten aller Teilchen ab. Für $N$ Teilchen liegt die Ortsdarstellung im $3N$-dimensionalen Konfigurationsraum. Sie ist daher nicht allgemein als gewöhnliche Welle im dreidimensionalen Raum vorstellbar.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Wellenfunktion
- klassische Bedeutung: messbare Auslenkung
- quantenmechanische Bedeutung: Zustandsdarstellung
- Messvorhersage: Betragsquadrat im Ortsraum
- Normierung: Gesamtwahrscheinlichkeit gleich 1
- Superposition: Amplituden werden addiert
- Interferenz: Phase verändert die Nachweisverteilung
- Dynamik: Schrödinger-Gleichung
- Darstellungen: Ortsraum und Impulsraum
Abschluss-Check
Wenn du Zustand, Wahrscheinlichkeitsdichte und einzelnes Messergebnis klar trennst, vermeidest du die häufigsten Fehlvorstellungen zur Wellenfunktion.