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Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation erklärt
Ein Quantensystem kann nicht so präpariert werden, dass Ort und Impuls gleichzeitig beliebig scharf festgelegt sind. Je enger die Ortsverteilung ist, desto breiter muss die Impulsverteilung mindestens sein. Das ist eine Eigenschaft des Quantenzustands und keine bloße Schwäche des Messgeräts.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was ist eigentlich unbestimmt?
Stell dir viele Quantenobjekte vor, die auf dieselbe Weise präpariert, also in denselben quantenmechanischen Zustand gebracht wurden. Misst du an jedem Objekt den Ort, erhältst du im Allgemeinen verschiedene Ergebnisse. Aus vielen Ergebnissen entsteht eine Ortsverteilung.
Standardabweichung
Die Standardabweichung beschreibt, wie stark Messwerte um ihren Mittelwert streuen. Für den Ort heißt sie $σ_x$, für den Impuls $σ_p$. Eine kleine Standardabweichung bedeutet eine schmale Verteilung, nicht automatisch einen fehlerfreien Einzelwert.
Die Unbestimmtheit gehört zum präparierten Zustand. Sie bedeutet nicht nur, dass du einen vorhandenen exakten Wert noch nicht kennst. Selbst gleichartig präparierte Objekte liefern verteilte Ergebnisse.
Ein einzelner Nachweis zeigt dagegen immer nur ein Ereignis, etwa einen Auftreffpunkt auf einem Schirm. Erst viele gleichartige Nachweise machen die Wahrscheinlichkeitsverteilung sichtbar.
Wie liest du die Formel?
Für die Standardabweichungen von Ort und Impuls in derselben Raumrichtung gilt:
$$σ_x σ_p ≥ ħ/2$$
Dabei ist $ħ = h/(2π)$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum. Entsprechend gilt $h/(4π)=ħ/2$.
Die Ungleichung setzt eine Untergrenze für das Produkt der beiden Streuungen. Sie sagt nicht, dass $σ_x$ und $σ_p$ immer gleich groß sind. Das wäre wegen ihrer unterschiedlichen Einheiten auch nicht sinnvoll:
- $σ_x$ hat die Einheit Meter.
- $σ_p$ hat die Einheit Kilogramm mal Meter pro Sekunde.
- Das Produkt besitzt die Einheit einer Wirkung, genau wie $ħ$.
Die Relation lautet größer oder gleich. Gleichheit gilt nur für besondere Zustände minimaler Unbestimmtheit, beispielsweise geeignete gaußförmige Wellenpakete.
Die Formel gilt jeweils für zusammengehörige Richtungen: $x$ und $p_x$, $y$ und $p_y$ oder $z$ und $p_z$. Eine kleine Streuung von $x$ erzwingt daher nicht unmittelbar eine große Streuung von $p_y$.
Warum hängen Ort und Impuls zusammen?
Ein Quantenzustand kann durch eine Wellenfunktion $ψ(x)$ beschrieben werden. Das Betragsquadrat $|ψ(x)|²$ liefert die räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte: Wo es groß ist, sind Nachweise wahrscheinlicher. Es sagt nicht voraus, an welchem einzelnen Punkt das nächste Objekt gefunden wird.
Orts- und Impulsdarstellung derselben Wellenfunktion sind durch eine Fouriertransformation miteinander verbunden. Ein räumlich enges Wellenpaket benötigt viele verschiedene Wellenzahlen. Über $p=ħk$ entsprechen diese Wellenzahlen verschiedenen Impulsen. Deshalb besitzt ein enges Ortswellenpaket ein breites Impulsspektrum.
Ein Elektronenstrahl wird quer zu seiner Ausbreitung durch einen Spalt eingeengt. Hinter einem breiten Spalt ist die Ortsverteilung relativ breit, während das Beugungsmuster nur wenig auffächert. Ein engerer Spalt begrenzt den Ort stärker, doch das Muster auf einem fernen Schirm wird breiter. Die größere Breite des Musters zeigt eine breitere Verteilung des Querimpulses.
Die Zuordnung zwischen Schirmverteilung und Impulsverteilung folgt aus der Entwicklung der Wellenfunktion. Sie beweist nicht, dass jedes Elektron vom Spalt aus eine geradlinige klassische Bahn genommen hat.
Eine einfache Spaltabschätzung verwendet
$$d\sin(α) \sim λ, \qquad λ=h/p$$
und führt größenordnungsmäßig zu
$$d\,Δp_x \sim h.$$
Diese Rechnung veranschaulicht den gegenläufigen Zusammenhang. Sie liefert jedoch nicht die exakte Konstante der Standardabweichungsrelation und verwendet andere Breitenmaße.
Wie nutzt du die Relation für Abschätzungen?
Forme die Ungleichung nach der gesuchten Mindeststreuung um:
$$σ_p ≥ ħ/(2σ_x)$$
oder
$$σ_x ≥ ħ/(2σ_p).$$
Beachte das Wort mindestens: Die Rechnung liefert eine Untergrenze. Der tatsächliche Zustand kann eine größere Streuung besitzen.
Ein Zustand wird zunächst mit der Ortsstreuung $σ_x$ präpariert. Danach soll die Ortsstreuung halb so groß sein: $σ'_x=σ_x/2$.
Für den ersten Zustand beträgt die kleinste mögliche Impulsstreuung
$$σ_{p,\min}=ħ/(2σ_x).$$
Für den engeren Zustand folgt
$$σ'_{p,\min}=ħ/(2(σ_x/2))=ħ/σ_x=2σ_{p,\min}.$$
Wird die Ortsstreuung halbiert, verdoppelt sich also die untere Grenze der Impulsstreuung. Die Aussage betrifft die Mindeststreuung; ein konkreter Zustand kann darüber liegen.
So gehst du bei einer Abschätzung vor:
- Prüfe, ob Ort und Impuls derselben Raumrichtung gemeint sind.
- Ordne die angegebenen Größen $σ_x$ und $σ_p$ zu.
- Stelle die Ungleichung nach der gesuchten Größe um.
- Rechne mit passenden Einheiten.
- Formuliere das Ergebnis als Untergrenze und prüfe seine Bedeutung im Kontext.
Welche Aussagen darfst du nicht verwechseln?
Drei Aussagen werden häufig unter demselben Namen zusammengefasst:
- Zustandsstreuung: Ein Zustand kann nicht gleichzeitig beliebig kleine Orts- und Impulsstreuungen besitzen.
- Simultane Messung: Zwei Größen sollen in einem Messvorgang gemeinsam bestimmt werden.
- Messrauschen und Störung: Eine Messung weicht vom vorherigen Wert ab oder verändert den Zustand.
Diese Aussagen hängen zusammen, sind aber nicht identisch. Die Standardformel $σ_x σ_p ≥ ħ/2$ beschreibt die Streuungen eines Zustands. Sie ist nicht einfach eine Formel für die Ungenauigkeit eines Geräts oder für den Rückstoß bei einer einzelnen Messung.
Die Formulierung „Die Ortsmessung stört den vorher exakt vorhandenen Impuls“ kann eine falsche klassische Vorstellung fördern. Sicherer ist: Der präparierte Quantenzustand besitzt keine gleichzeitig beliebig schmalen Orts- und Impulsverteilungen.
Auch verschiedene Formelvarianten dürfen nicht unkritisch gleichgesetzt werden:
- $σ_x σ_p ≥ ħ/2$ ist die präzise Relation für Standardabweichungen.
- $ΔxΔp\sim h$ ist eine Größenordnungsabschätzung, etwa bei einer Beugungsbetrachtung.
- Die Energie-Zeit-Beziehung hat eine andere Bedeutung, weil Zeit in der Standard-Quantenmechanik kein gewöhnlicher Zustandsoperator wie der Ort ist.
Eine klassische Bahn würde zu jedem Zeitpunkt gleichzeitig einen genauen Ort und einen genauen Impuls voraussetzen. Diese Voraussetzung lässt sich für ein Quantenobjekt nicht erfüllen. Ein Schirmbild darf deshalb nicht als Sammlung bereits vorher festgelegter klassischer Bahnen gedeutet werden.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die Standardrelation verwendet die von Ort und Impuls. Ein engeres Ortswellenpaket besitzt ein Impulsspektrum. Die Untergrenze lautet . Ein einzelner Auftreffpunkt ist ein , nicht die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Unbestimmtheitsrelation
- Zustand: Ort und Impuls nicht gleichzeitig beliebig scharf
- Formel: $σ_x σ_p ≥ ħ/2$
- Wellenbild: enger Ort bedeutet breites Impulsspektrum
- Nachweise: viele Ereignisse ergeben eine Verteilung
- Anwendung: Untergrenze umstellen und Größenordnung prüfen
- Abgrenzung: Zustandsstreuung, Messfehler und Störung unterscheiden
Abschluss-Check
Du beherrschst die Kernidee, wenn du bei einer neuen Situation zuerst fragst: Welche Verteilungen gehören zum präparierten Zustand, welche Größen sind ihre Standardabweichungen und welche Untergrenze setzt die Relation?