Mit Google fortfahren
Materiewellen: De-Broglie-Wellenlänge verstehen
Materieteilchen wie Elektronen können Interferenz und Beugung zeigen. Ihre De-Broglie-Wellenlänge hängt vom Impuls ab. Einzelne Teilchen werden dabei punktförmig nachgewiesen; erst viele Treffer machen die Wahrscheinlichkeitsverteilung sichtbar.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie zeigt ein Elektron Welleneigenschaften?
Stell dir vor, Elektronen fliegen einzeln durch einen Doppelspalt. Auf dem Schirm erscheint jedes Elektron zunächst als einzelner, örtlich begrenzter Treffer. Nach vielen Elektronen entsteht jedoch ein Muster aus Bereichen mit vielen und wenigen Treffern.
Ein solches Interferenzmuster ist typisch für überlagerte Wellen. Es entsteht auch dann, wenn sich immer nur ein Elektron in der Versuchsanordnung befindet. Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Elektronen sind daher nicht nötig.
Welle-Teilchen-Dualismus
Quantenobjekte lassen sich nicht durchgehend als klassische Teilchen oder klassische Wellen beschreiben. Je nach Versuch zeigen sie beispielsweise punktförmige Nachweise oder Interferenz. Sie sind nicht einfach beides zugleich im klassischen Sinn.
Wird festgestellt, welchen Spalt ein Elektron durchlaufen hat, verändert sich das Interferenzmuster. Die beobachtete Verteilung hängt somit von der gesamten Messanordnung ab.
Wie hängen Impuls und Wellenlänge zusammen?
Louis de Broglie ordnete jedem Teilchen mit Impuls eine Wellenlänge zu.
De-Broglie-Wellenlänge
Die De-Broglie-Wellenlänge $\lambda$ eines Teilchens mit Impuls $p$ lautet:
$$\lambda=\frac{h}{p}$$
Dabei ist $h$ das Plancksche Wirkungsquantum. Für langsame, nichtrelativistische Teilchen gilt zusätzlich $p=mv$.
Die Formel zeigt eine umgekehrte Beziehung:
- Größerer Impuls bedeutet kleinere Wellenlänge.
- Kleinerer Impuls bedeutet größere Wellenlänge.
Verdoppelst du den Impuls, halbiert sich die De-Broglie-Wellenlänge.
Beugung wird gut sichtbar, wenn Spaltbreiten oder Gitterabstände ungefähr in der Größenordnung der Wellenlänge liegen. Bei Alltagsgegenständen ist der Impuls groß und die Wellenlänge deshalb extrem klein.
Eine Kugel mit $m=1\,\mathrm{g}=10^{-3}\,\mathrm{kg}$ bewegt sich mit $v=1000\,\mathrm{m/s}$.
Zuerst bestimmst du den Impuls:
$$p=mv=10^{-3}\,\mathrm{kg}\cdot1000\,\mathrm{m/s}=1\,\mathrm{kg\,m/s}$$
Dann setzt du ihn in die De-Broglie-Beziehung ein:
$$\lambda=\frac{6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{J\,s}}{1\,\mathrm{kg\,m/s}}=6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{m}$$
Diese Wellenlänge ist weit kleiner als atomare Abstände. Eine beobachtbare Beugung der Kugel ist deshalb praktisch nicht zu erwarten.
Wie berechnest du eine Elektronenwellenlänge?
Bei nichtrelativistischen Elektronen kannst du zwischen Impuls, Geschwindigkeit und Beschleunigungsspannung wechseln.
Ein Elektron besitzt die De-Broglie-Wellenlänge $\lambda=30\,\mathrm{pm}=30\cdot10^{-12}\,\mathrm{m}$.
1. Impuls bestimmen
$$p=\frac{h}{\lambda}$$
$$p\approx\frac{6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{J\,s}}{30\cdot10^{-12}\,\mathrm{m}}=2{,}21\cdot10^{-23}\,\mathrm{kg\,m/s}$$
2. Geschwindigkeit bestimmen
Mit der Elektronenmasse $m_\mathrm{e}=9{,}109\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}$ gilt:
$$v=\frac{p}{m_\mathrm{e}}\approx2{,}4\cdot10^7\,\mathrm{m/s}$$
3. Beschleunigungsspannung bestimmen
Wurde das Elektron aus der Ruhe durch die Spannung $U$ beschleunigt, gilt näherungsweise:
$$eU=\frac12m_\mathrm{e}v^2$$
Daher:
$$U=\frac{m_\mathrm{e}v^2}{2e}\approx1{,}7\cdot10^3\,\mathrm{V}=1{,}7\,\mathrm{kV}$$
Die Einheiten passen: Aus der Energiegleichung folgt Energie pro Ladung, also Volt.
Für den Abstand $x$ zwischen dem nullten und ersten Maximum eines Doppelspalts gilt bei kleinen Winkeln näherungsweise:
$$x\approx l\frac{\lambda}{b}$$
Mit Schirmabstand $l=1{,}0\,\mathrm{m}$ und Spaltmittenabstand $b=6{,}2\,\mathrm{\mu m}$ erhältst du:
$$x\approx1{,}0\,\mathrm{m}\cdot\frac{30\cdot10^{-12}\,\mathrm{m}}{6{,}2\cdot10^{-6}\,\mathrm{m}}\approx4{,}8\,\mathrm{\mu m}$$
Bestimme zuerst den Zusammenhang, setze alle Größen in SI-Einheiten um und prüfe das Ergebnis anschließend auf Einheit und Größenordnung.
Was bedeutet die Wellenfunktion?
Eine Materiewelle ist keine klassische Stoffwelle, in der sich die Masse des Teilchens räumlich verteilt. Die Quantenmechanik beschreibt den Zustand durch eine im Allgemeinen komplexe Wellenfunktion $\Psi$.
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
Das Betragsquadrat $|\Psi(\vec r,t)|^2$ gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür an, ein Teilchen zur Zeit $t$ am Ort $\vec r$ nachzuweisen. Für einen kleinen Raumbereich ergibt die Dichte zusammen mit dessen Volumen die entsprechende Nachweiswahrscheinlichkeit.
Ein einzelnes Messergebnis ist punktförmig und nicht vorhersagbar. Wiederholst du denselben Versuch mit vielen gleich präparierten Elektronen, nähern sich die Trefferhäufigkeiten der von $|\Psi|^2$ beschriebenen Verteilung an.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Ein einzelnes Elektron erzeugt einen Nachweis. Viele gleich präparierte Elektronen bilden eine Trefferverteilung. Die messbare Wahrscheinlichkeitsdichte wird durch beschrieben. Die Materiewelle ist .
Warum braucht ein lokalisiertes Teilchen ein Wellenpaket?
Eine einzelne ebene Welle erstreckt sich idealisiert über den ganzen Raum. Ihr Betragsquadrat ist überall gleich. Sie kann daher kein räumlich lokalisiertes Teilchen darstellen.
Wellenpaket
Ein Wellenpaket ist eine Überlagerung von Wellen mit unterschiedlichen Wellenzahlen und Impulsen. Nur in einem begrenzten Bereich verstärken sich die Teilwellen stark. Dort ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit besonders groß.
Eine stärkere räumliche Eingrenzung benötigt eine größere Bandbreite von Impulsen. Das verbindet die Vorstellung des Wellenpakets mit der Unschärfe von Ort und Impuls.
Vertiefung: Gruppen- und Phasengeschwindigkeit
Die Gruppengeschwindigkeit beschreibt die Bewegung des Wellenpakets. Für ein freies Teilchen stimmt sie mit der Teilchengeschwindigkeit überein:
$$v_\mathrm{g}=\frac{d\omega}{dk}=v$$
Die Phasengeschwindigkeit beschreibt dagegen die Bewegung einer Stelle gleicher Phase:
$$v_\mathrm{ph}=\frac{\omega}{k}$$
Sie ist nicht die Geschwindigkeit, mit der das Teilchen oder eine Information übertragen wird. Weil die Dispersionsbeziehung eines massebehafteten freien Teilchens nicht linear ist, können sich die Bestandteile eines Wellenpakets unterschiedlich entwickeln und das Paket kann sich verbreitern.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Materiewellen
- De-Broglie-Beziehung: $\lambda=h/p$
- Nachweis: Beugung und Interferenz
- Einzelereignis: punktförmiger Treffer
- Viele Ereignisse: Verteilung gemäß $|\Psi|^2$
- Lokalisierung: Überlagerung zum Wellenpaket
- Alltagsgrenze: zu kleine Wellenlänge
Abschluss-Check
Du hast den Kern verstanden, wenn du bei einem neuen Beispiel zuerst den Impuls bestimmst, daraus die Wellenlänge berechnest und anschließend zwischen Einzelereignis und Wahrscheinlichkeitsverteilung unterscheidest.