Doppelspalt: Interferenz verstehen und berechnen

Einfarbiges, kohärentes Licht trifft auf zwei nahe beieinanderliegende Spalte. Kohärent bedeutet: Die beiden Wellen besitzen eine feste Phasenbeziehung. An jedem Spalt breitet sich eine neue Welle aus. Auf dem Schirm treffen beide Wellen zusammen.

• Treffen zwei Wellenberge oder zwei Wellentäler zusammen, verstärken sich die Wellen: Es entsteht ein helles Maximum.
• Treffen ein Wellenberg und ein Wellental zusammen, schwächen sie sich ab: Es entsteht ein dunkles Minimum.

In der Mitte sind die Wege von beiden Spalten gleich lang. Deshalb liegt dort das besonders helle Maximum 0. Ordnung. Weitere Maxima erscheinen symmetrisch rechts und links davon.

Der Gangunterschied $Δs$ ist die Differenz der beiden Wege vom Doppelspalt zu einem Punkt auf dem Schirm.

Für einen weit entfernten Schirm gilt näherungsweise:

$$Δs = d · \sin(α)$$

Dabei bedeuten:

• $d$: Abstand der Spaltmitten,
• $α$: Beobachtungswinkel zur Mittelachse,
• $Δs$: Gangunterschied.

Bedingung für Maxima

Ein Maximum der Ordnung $k$ entsteht, wenn der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist:

$$Δs = kλ \quad \text{mit} \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$

Daraus folgt:

$$d · \sin(α) = kλ$$

Bedingung für Minima

Ein Minimum entsteht bei einem ungeraden Vielfachen der halben Wellenlänge. Wenn das erste Minimum mit $k=1$ bezeichnet wird, gilt:

$$Δs = \left(k - \frac{1}{2}\right)λ \quad \text{mit} \quad k = 1, 2, 3, \ldots$$

Manche Darstellungen zählen die Minima ab $k=0$. Dann lautet dieselbe Bedingung $Δs=(k+1/2)λ$. Die Physik ist gleich; nur die Nummerierung unterscheidet sich.

Sei $e$ der Abstand zwischen Doppelspalt und Schirm und $a_k$ der Abstand des Maximums $k$ von der Schirmmitte. Aus der Geometrie folgt exakt:

$$\sin(α)=\frac{a_k}{\sqrt{e^2+a_k^2}}$$

Zusammen mit der Maximumsbedingung ergibt sich:

$$\frac{kλ}{d}=\frac{a_k}{\sqrt{e^2+a_k^2}}$$

Nach der Wellenlänge aufgelöst:

$$λ=\frac{d·a_k}{k\sqrt{e^2+a_k^2}}$$

Kleinwinkelnäherung

Liegt das betrachtete Maximum nahe an der Mitte, sodass $a_k \ll e$ gilt, kann man $\sqrt{e^2+a_k^2}$ durch $e$ annähern. Dann werden die Rechnungen einfacher:

$$a_k \approx \frac{kλe}{d}$$

oder nach der Wellenlänge aufgelöst:

$$λ \approx \frac{d·a_k}{ke}$$

Das einfache Modell behandelt beide Spalte wie punktförmige Wellenquellen. Reale Spalte besitzen jedoch eine endliche Breite. Deshalb entsteht an jedem einzelnen Spalt zusätzlich ein Beugungsmuster.

Dieses Einzelspaltmuster bildet eine Einhüllende für die Doppelspaltstreifen: Die Maxima werden nach außen schwächer, und einzelne Maxima können unterdrückt werden.

Beim Elektronen-Doppelspalt registriert der Schirm einzelne, örtlich begrenzte Treffer. Nach vielen Elektronen entsteht trotzdem eine Verteilung mit Interferenzstreifen. Das Muster bleibt auch erhalten, wenn sich jeweils nur ein Elektron in der Anordnung befindet.

Ein einzelner Treffer lässt sich nicht genau vorhersagen. Für viele gleich vorbereitete Elektronen lässt sich jedoch eine statistische Verteilung angeben. Elektronen sind in diesem Versuch daher nicht angemessen als klassische Kügelchen mit einem stets festgelegten, nur unbekannten Weg zu beschreiben.

Werden die Elektronen so gemessen, dass der durchquerte Spalt eindeutig feststeht, verschwindet das Interferenzmuster. Entscheidend ist dabei die physikalische Wechselwirkung, durch die Welcher-Weg-Information verfügbar wird – nicht das Bewusstsein einer beobachtenden Person.