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Superposition in Physik und Quantenmechanik
Bei einer Superposition werden gleichartige Größen oder mögliche Zustände zu einem Gesamtzustand verbunden. Klassisch addierst du zum Beispiel Kräfte oder Wellenamplituden. Das funktioniert in dieser einfachen Form nur bei linearen Problemen. In der Quantenmechanik werden Zustände samt ihren Wahrscheinlichkeitsamplituden überlagert.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Superposition?
Superposition
Eine Superposition ist eine Überlagerung gleichartiger Größen, Lösungen oder Zustände. Die einzelnen Beiträge werden mit passenden Gewichtungen kombiniert.
Eine allgemeine Linearkombination lautet
$$x(t)=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i x_i(t).$$
Dabei sind $x_i(t)$ die einzelnen Beiträge und $\alpha_i$ ihre Gewichtungen. Bei einer gewöhnlichen Summe sind alle Gewichtungen gleich $1$.
Entscheidend ist die Linearität: Verdoppelst du einen Beitrag, verdoppelt sich seine Wirkung. Addierst du zwei Eingaben, darfst du auch die zugehörigen Wirkungen addieren.
Superposition bedeutet nicht, dass beliebige Dinge addiert werden dürfen. Die Beiträge müssen gleichartig sein, und das betrachtete Modell muss linear sein.
Wie werden Kräfte und elektrische Quellen überlagert?
Wirken mehrere Kräfte auf denselben Körper, ist ihre gemeinsame Wirkung durch die resultierende Kraft gegeben:
$$\vec F=\sum_{i=1}^{n}\vec F_i.$$
Da Kräfte Vektoren sind, musst du nicht nur ihre Beträge, sondern auch ihre Richtungen berücksichtigen.
Auf eine Kiste wirken gleichzeitig zwei Kräfte: $3\,\mathrm{N}$ nach rechts und $4\,\mathrm{N}$ nach vorne. Die Kräfte stehen senkrecht aufeinander.
Die resultierende Kraft zeigt schräg nach rechts vorne. Ihr Betrag ist
$$F=\sqrt{(3\,\mathrm{N})^2+(4\,\mathrm{N})^2}=5\,\mathrm{N}.$$
Die Beträge $3\,\mathrm{N}$ und $4\,\mathrm{N}$ werden nicht einfach zu $7\,\mathrm{N}$ addiert, weil die Kräfte verschiedene Richtungen haben.
Auch eine lineare elektrische Schaltung mit mehreren idealen Quellen lässt sich schrittweise untersuchen:
- Betrachte jeweils nur eine Quelle.
- Ersetze andere ideale Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und andere ideale Stromquellen durch Unterbrechungen.
- Lass vorhandene Innenwiderstände in der Schaltung.
- Addiere die Teilergebnisse mit ihren Vorzeichen.
Bei nichtlinearen Bauteilen oder verformungsabhängigen mechanischen Systemen reicht diese Addition nicht aus. Dann kann ein Beitrag verändern, wie stark die anderen Beiträge wirken.
Wie erzeugt Superposition Interferenz?
Treffen Wellen gleichen Typs zusammen, werden ihre momentanen Amplituden an jedem Ort addiert:
$$\Psi(\vec x,t)=\sum_{i=1}^{n}\Psi_i(\vec x,t).$$
Diese Überlagerung heißt Interferenz. Gleichgerichtete Auslenkungen verstärken sich konstruktiv. Entgegengesetzte Auslenkungen schwächen sich destruktiv oder löschen sich bei gleichen Beträgen vollständig aus.
An einem Ort besitzt eine Welle die momentane Amplitude $+2\,\mathrm{cm}$, eine zweite die Amplitude $-2\,\mathrm{cm}$.
Die Gesamtamplitude ist
$$+2\,\mathrm{cm}+(-2\,\mathrm{cm})=0\,\mathrm{cm}.$$
In diesem Augenblick liegt dort vollständige destruktive Interferenz vor. Die beiden Einzelwellen sind dadurch nicht dauerhaft verschwunden. Nach dem Überlagerungsgebiet können sie in ihrer ursprünglichen Form weiterlaufen.
Wichtig ist die Unterscheidung zwischen Amplitude und Intensität: Superponiert werden die Amplituden. Eine beobachtete Intensität hängt häufig vom Quadrat beziehungsweise Betragsquadrat der Gesamtamplitude ab. Deshalb darfst du nicht zuerst die Einzelintensitäten addieren, wenn kohärente Wellen miteinander interferieren.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei Wellen werden die punktweise addiert. Gleichgerichtete Auslenkungen führen zu Interferenz. Gleich große entgegengesetzte Auslenkungen können sich . Die Einzelwellen werden durch die vorübergehende Überlagerung nicht dauerhaft .
Was bedeutet Superposition in der Quantenmechanik?
Ein zulässiger Quantenzustand kann als Linearkombination zulässiger Teilzustände geschrieben werden:
$$|\psi\rangle=\sum_{i=1}^{n}c_i|\varphi_i\rangle.$$
Die komplexen Zahlen $c_i$ heißen Wahrscheinlichkeitsamplituden. Sind die Teilzustände normiert und paarweise orthogonal, dann ist $|c_i|^2$ die Wahrscheinlichkeit, bei einer passenden Messung das Ergebnis zum Zustand $|\varphi_i\rangle$ zu erhalten.
Ein Elektron befinde sich im normierten Spin-Zustand
$$|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle.$$
Für beide möglichen Messergebnisse gilt
$$\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2=\frac{1}{2}=50\,\%.$$
Eine einzelne Messung liefert nur $\uparrow$ oder $\downarrow$. Bei vielen gleich vorbereiteten Elektronen nähert sich die Häufigkeitsverteilung den Wahrscheinlichkeiten von jeweils $50\,\%$ an. Bei genau 100 Messungen müssen es jedoch nicht exakt 50 Ergebnisse jeder Art sein.
Eine Quantensuperposition ist nicht bloß die Aussage: „Der Spin ist schon festgelegt, aber wir kennen ihn noch nicht.“ Der Zustand enthält Wahrscheinlichkeitsamplituden, deren Überlagerung Interferenz ermöglichen kann. Das unterscheidet Superposition von einer klassischen Mischung aus bereits feststehenden, nur unbekannten Möglichkeiten.
Was geschieht bei Messung und Verschränkung?
Eine Messung eines Quantenzustands liefert ein einzelnes klassisches Ergebnis. Direkt danach befindet sich das System im zum Ergebnis gehörenden Zustand. Wiederholst du das Experiment mit vielen gleich vorbereiteten Systemen, zeigt sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Schrödingers Katze soll die Schwierigkeit dieser Aussage sichtbar machen: In einer geschlossenen Box verbindet ein Mechanismus den Zerfall eines Atoms mit dem Schicksal einer Katze. Die Überlagerung „zerfallen oder nicht zerfallen“ wird dadurch gedanklich auf „tot oder lebendig“ übertragen.
Die Katze ist ein Gedankenexperiment, keine Aufforderung, ein einzelnes Quantensystem und einen makroskopischen Körper ohne Einschränkung gleichzusetzen. Quantenmechanische Überlagerungen lassen sich nicht einfach als alltägliche Gleichzeitigkeit zweier sichtbarer Zustände deuten.
Bei Verschränkung gehört der überlagerte Zustand zu einem Gesamtsystem. Ein Beispiel ist
$$|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\downarrow\rangle+|\downarrow\uparrow\rangle\right).$$
Misst du beim ersten Elektron $\uparrow$, ergibt eine anschließende Messung des zweiten Elektrons in diesem Beispiel sicher $\downarrow$. Ohne das erste Messergebnis liefert die Messung am zweiten Elektron beide möglichen Ergebnisse mit jeweils $50\,\%$ Wahrscheinlichkeit.
Die starke Korrelation ermöglicht keine steuerbare Informationsübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit. Das einzelne Ergebnis lässt sich nicht frei wählen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Superposition
- Voraussetzung: lineares Modell
- Klassisch: Kräfte vektoriell addieren
- Wellen: Amplituden addieren und Interferenz erhalten
- Quantenmechanik: Zustände mit Wahrscheinlichkeitsamplituden kombinieren
- Messung: einzelnes Ergebnis nach Wahrscheinlichkeitsverteilung
- Grenze: nichtlineare Systeme nicht einfach addieren
Abschluss-Check
Du beherrschst den Kern, wenn du vor jeder Addition zuerst fragst: Sind die Beiträge gleichartig, und ist das betrachtete Modell linear? In der Quantenmechanik kommt eine zweite Frage hinzu: Werden Wahrscheinlichkeiten aus den Betragsquadraten der Zustandskoeffizienten bestimmt?