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Die Betragsfunktion macht aus jeder Zahl ihren Abstand von 0. Deshalb hat ihr Graph eine typische V-Form und sie ist ein gutes Beispiel dafür, dass Funktionen auch Knicke haben können.
- Ich kann den Betrag als Abstand von 0 erklären.
- Ich kann die Betragsfunktion $f(x)=|x|$ zeichnen.
- Ich kann einfache Betragsgleichungen lösen.
- Ich kann den Knick bei $x=0$ deuten.
Betrag als Abstand
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von 0 auf der Zahlengeraden. Abstände sind nie negativ.
Betrag
Für eine Zahl \(x\) ist \(|x|\) der Abstand von \(x\) zu 0. Deshalb gilt \(|3|=3\) und \(|-3|=3\).
Berechne:
\(|7|=7\), weil 7 sieben Schritte von 0 entfernt ist.
\(|-7|=7\), weil auch -7 sieben Schritte von 0 entfernt ist.
Ein Betrag ist immer größer oder gleich 0.
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Die Funktion \(f(x)=|x|\)
Für positive \(x\) gibt die Funktion \(x\) zurück. Für negative \(x\) macht sie das Vorzeichen positiv. Deshalb entsteht links und rechts vom Ursprung je eine Gerade.
Betragsfunktion
Die Grundform der Betragsfunktion ist \(f(x)=|x|\). Ihr Graph besteht aus zwei Halbgeraden und hat bei \(x=0\) einen Knick.
Wertetabelle:
\(x=-2,-1,0,1,2\)
\(f(x)=2,1,0,1,2\)
Der kleinste Funktionswert ist 0. Der Graph sieht aus wie ein V.
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Prüfungsmodus
Betragsgleichungen haben oft zwei Lösungen, weil zwei Zahlen denselben Abstand von 0 haben können.
Löse \(|x|=4\).
Gesucht sind Zahlen mit Abstand 4 von 0. Das sind \(x=4\) und \(x=-4\).
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Die Betragsfunktion zeigt Abstände von 0. Ihr Graph hat eine V-Form, und einfache Betragsgleichungen löst du, indem du beide möglichen Richtungen auf der Zahlengeraden beachtest.