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Betragsfunktion: Graph, Fälle und Gleichungen
Die Betragsfunktion $f(x)=|x|$ gibt den Abstand einer Zahl von $0$ an. Deshalb ist ein Betrag nie negativ: Positive Zahlen und $0$ bleiben unverändert, negative Zahlen werden ohne negatives Vorzeichen ausgegeben.
Auf dieser Seite lernst du, Beträge als Abstand zu deuten, Betragsgraphen zu lesen, Terme fallweise aufzulösen und Gleichungen sowie Ungleichungen mit Beträgen zu lösen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Vom Abstand zur Fallformel
Der Betrag beantwortet die Frage: Wie weit liegt eine Zahl von $0$ entfernt? Die Zahlen $4$ und $-4$ liegen beide vier Einheiten von $0$ entfernt. Daher gilt $|4|=4$ und $|-4|=4$.
Betrag
Der Betrag $|x|$ ist der nichtnegative Abstand der reellen Zahl $x$ von $0$.
$$|x|=\begin{cases}x,&x\ge 0,\\-x,&x<0.\end{cases}$$
Das Minus im zweiten Fall bedeutet nicht, dass der Betrag negativ wird. Ist etwa $x=-8$, dann ist $-x=-(-8)=8$.
Berechne $|-2-3|$.
- Rechne zuerst im Betrag: $-2-3=-5$.
- Bilde danach den Betrag: $|-5|=5$.
Bei verschachtelten Beträgen arbeitest du von innen nach außen:
$$\bigl||-4|+|2\cdot3|-10\bigr|=|4+6-10|=|0|=0.$$
Ein einzelner Betrag ist nie negativ. Ein ganzer Term mit Beträgen kann trotzdem negativ sein, zum Beispiel $|2\cdot(-3)|-|8|=6-8=-2$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Der Betrag einer Zahl ist ihr von $0$. Deshalb gilt $|-7|=$ und $|0|=$.
Den Grundgraphen lesen
Für $x\ge0$ ist $f(x)=x$. Rechts von $0$ verläuft der Graph daher wie die Gerade $y=x$. Für $x<0$ ist $f(x)=-x$. Der linke Ast ist die Spiegelung des negativen Teils der Geraden $y=x$ an der $x$-Achse.
So entsteht ein V-förmiger Graph mit seinem tiefsten Punkt bei $(0|0)$.
- Der Definitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen.
- Der Wertebereich besteht aus allen nichtnegativen reellen Zahlen.
- Der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, denn $|-x|=|x|$.
- Für $x<0$ fällt der Graph, für $x>0$ steigt er.
- Die Funktion ist überall stetig: Am Punkt $(0|0)$ gibt es keinen Sprung.
Beträge in Termen und Graphen auflösen
Steht ein Term im Betrag, entscheidet sein Vorzeichen über die passende Formel. Bei $|x+1|$ wechselt das Vorzeichen des inneren Terms an seiner Nullstelle:
$$x+1=0\iff x=-1.$$
Damit gilt
$$|x+1|=\begin{cases}x+1,&x\ge-1,\\-(x+1)=-x-1,&x<-1.\end{cases}$$
Der Grundgraph von $|x|$ ist dadurch um eine Einheit nach links verschoben. Sein tiefster Punkt liegt bei $(-1|0)$.
Berechne $|x+1|$ für $x=-4$.
Da $-4<-1$ ist, verwendest du den zweiten Fall:
$$|-4+1|=-(-4+1)=-(-3)=3.$$
Die Abstandskontrolle bestätigt das Ergebnis: Der innere Wert ist $-3$, sein Abstand von $0$ ist $3$.
Bei einem allgemeinen Graphen $y=f(x)$ wirkt der äußere Betrag $y=|f(x)|$ so:
- Graphenteile auf oder über der $x$-Achse bleiben unverändert.
- Graphenteile unter der $x$-Achse werden an der $x$-Achse gespiegelt.
Gleichungen und Ungleichungen lösen
Eine Gleichung $|u|=b$ fragt nach Zahlen, die vom Nullpunkt den Abstand $b$ haben.
- Für $b>0$ gilt: $u=b$ oder $u=-b$.
- Für $b=0$ gilt nur: $u=0$.
- Für $b<0$ gibt es keine reelle Lösung, weil ein Betrag nicht negativ sein kann.
Löse $|x+3|=5$.
Der innere Term kann $5$ oder $-5$ sein:
$$x+3=5\quad\text{oder}\quad x+3=-5.$$
Daraus folgt
$$x=2\quad\text{oder}\quad x=-8.$$
Probe: $|2+3|=5$ und $|-8+3|=|-5|=5$. Beide Lösungen stimmen.
Für Ungleichungen gelten bei $b\ge0$ zwei Abstandsmuster:
$$|u|\le b\iff -b\le u\le b,$$
$$|u|\ge b\iff u\le-b\quad\text{oder}\quad u\ge b.$$
„Höchstens $b$ entfernt“ beschreibt den Bereich zwischen $-b$ und $b$. „Mindestens $b$ entfernt“ beschreibt die beiden äußeren Bereiche.
Löse $|x-3|\le9$.
$$-9\le x-3\le9$$
Addiere in allen drei Teilen $3$:
$$-6\le x\le12.$$
Die Lösungsmenge ist also das Intervall $[-6,12]$. Seine Mitte ist $3$, und jeder Punkt des Intervalls ist höchstens $9$ Einheiten von $3$ entfernt.
Die Spitze und die Ableitung verstehen
Außerhalb von $0$ besteht $f(x)=|x|$ aus Geraden. Deshalb kannst du dort abschnittsweise ableiten:
$$f'(x)=\begin{cases}1,&x>0,\\-1,&x<0.\end{cases}$$
Bei $x=0$ treffen beide Äste in einer Spitze zusammen. Entscheidend sind die Steigungen von links und rechts.
- Für $h>0$ gilt $\frac{|h|-0}{h}=\frac{h}{h}=1$.
- Für $h<0$ gilt $\frac{|h|-0}{h}=\frac{-h}{h}=-1$.
Die rechtsseitige Steigung ist also $1$, die linksseitige Steigung $-1$. Weil sie verschieden sind, besitzt $|x|$ bei $x=0$ keine Ableitung. Die Funktion bleibt dort trotzdem stetig.
Stetig bedeutet nicht automatisch differenzierbar. Der Graph von $|x|$ ist ohne Sprung verbunden, hat bei $0$ aber eine Spitze mit zwei verschiedenen einseitigen Steigungen.
Zwei wichtige Rechenregeln für Beträge sind
$$|ab|=|a|\,|b|$$
und die Dreiecksungleichung
$$|a+b|\le|a|+|b|.$$
Die Dreiecksungleichung sagt anschaulich: Der direkte Abstand ist nie größer als ein Weg über einen Zwischenpunkt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Betragsfunktion
- Bedeutung: Abstand von $0$
- Fallform: $x$ oder $-x$
- Graph: V-Form und $y$-Achsensymmetrie
- Terme: Vorzeichen an Nullstellen trennen
- Gleichungen: zwei Fälle bei positiver rechter Seite
- Ungleichungen: innerer oder äußerer Bereich
- Äußerer Betrag: negative Graphenteile spiegeln
- Analysis: stetig, bei $0$ nicht differenzierbar