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Bruchgleichungen werden übersichtlich, wenn du zuerst die Nenner beachtest. Nach dieser Erklärung kannst du verbotene Werte finden, lösen und prüfen.
- Ich kann Bruchgleichungen erkennen.
- Ich kann verbotene Werte bestimmen.
- Ich kann mit dem Hauptnenner multiplizieren.
- Ich kann eine Probe durchführen.
Grundidee
Bei Bruchgleichungen ist nicht jede Zahl erlaubt. Sobald ein Nenner 0 würde, ist dieser Wert ausgeschlossen.
Bruchgleichung
Eine Bruchgleichung enthält Bruchterme. Steht die Variable im Nenner, musst du verbotene Werte ausschließen.
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge enthält alle Werte, die in den Term eingesetzt werden dürfen.
Durch 0 darfst du nie teilen. Deshalb kommt die Definitionsmenge vor dem Lösen.
Schritt für Schritt
Bestimme verbotene Werte, multipliziere mit dem Hauptnenner, löse die entstehende Gleichung und mache die Probe.
\(\frac{x}{3}+2=7\): Subtrahiere 2, dann \(\frac{x}{3}=5\). Multipliziere mit 3: \(x=15\). Probe passt.
\(\frac{2}{x-1}=\frac13\): Verboten ist \(x=1\). Mit \(3(x-1)\) multiplizieren: \(6=x-1\), also \(x=7\).
Typische Denkfehler
Eine rechnerische Lösung kann verboten sein oder bei der Probe nicht passen. Dann ist sie keine Lösung der Bruchgleichung.
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Prüfungsmodus
Schreibe zuerst „verboten“. Am Ende prüfst du, ob die Lösung erlaubt ist und die ursprüngliche Gleichung erfüllt.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Bruchgleichungen löst du sicher mit einem festen Ablauf: verbotene Werte, Hauptnenner, Gleichung lösen, Probe. So vermeidest du Division durch 0 und Scheinlösungen.