Bruchgleichungen lösen: Anleitung mit Beispielen

Eine Gleichung ist eine Bruchgleichung, wenn die Variable im Nenner mindestens eines Bruchs vorkommt. Ein Beispiel ist

$$\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x}.$$

Im Beispiel werden die Nenner bei $x=0$ beziehungsweise $x=-1$ null. Über den reellen Zahlen gilt deshalb:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{0,-1\}.$$

Nach der Definitionsmenge suchst du einen Hauptnenner. Faktorisiere dazu alle Nenner. Nimm jeden vorkommenden Faktor in der höchsten benötigten Potenz auf.

Für die Nenner $x^2$, $x+1$ und $x$ lautet der Hauptnenner

$$x^2(x+1).$$

Multipliziere die gesamte Gleichung mit diesem Ausdruck. Dadurch kürzen sich die Nenner, solange du nur Werte aus der Definitionsmenge betrachtest.

Das vollständige Verfahren besteht aus fünf Schritten:

1. Nenner faktorisieren.
2. Nennernullstellen aus der Grundmenge ausschließen.
3. Hauptnenner bilden und die gesamte Gleichung damit multiplizieren.
4. Die entstandene bruchfreie Gleichung lösen.
5. Jeden Kandidaten mit der ursprünglichen Definitionsmenge abgleichen.

Wir lösen

$$\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x}.$$

1. Definitionsmenge bestimmen

Aus $x^2\neq0$, $x+1\neq0$ und $x\neq0$ folgt

$$D=\mathbb{R}\setminus\{0,-1\}.$$

2. Mit dem Hauptnenner multiplizieren

Der Hauptnenner ist $x^2(x+1)$. Nach der Multiplikation der gesamten Gleichung entsteht

$$2(x+1)+x^2=x(x+1).$$

3. Folgegleichung lösen

Klammern auflösen und zusammenfassen:

$$2x+2+x^2=x^2+x,$$

$$x+2=0,$$

$$x=-2.$$

4. Kandidaten prüfen

Der Wert $-2$ ist weder $0$ noch $-1$ und liegt deshalb in $D$. Somit lautet die Lösungsmenge

$$\mathbb{L}=\{-2\}.$$

Steht auf jeder Seite genau ein Bruch, kannst du Kreuzmultiplikation verwenden. Für

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

gilt bei $b\neq0$ und $d\neq0$:

$$a\cdot d=b\cdot c.$$

Das ist kein anderes Verfahren, sondern die Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner $b\cdot d$ in Kurzform.

Betrachte

$$\frac{3}{2x+1}=\frac{2}{2-x}.$$

Die Werte $x=-\frac{1}{2}$ und $x=2$ sind ausgeschlossen. Kreuzmultiplizieren ergibt

$$3(2-x)=2(2x+1),$$

$$6-3x=4x+2,$$

$$x=\frac{4}{7}.$$

Da $\frac{4}{7}$ erlaubt ist, gilt

$$\mathbb{L}=\left\{\frac{4}{7}\right\}.$$

Eine Scheinlösung

Bei

$$\frac{x+1}{x-1}=\frac{2}{x-1}$$

ist $x=1$ ausgeschlossen. Nach der Multiplikation mit $x-1$ erhältst du

$$x+1=2$$

und damit den Kandidaten $x=1$. Er ist jedoch nicht erlaubt. Die Gleichung hat deshalb keine Lösung:

$$\mathbb{L}=\varnothing.$$

Eine Identität

Werden nach dem Beseitigen der Brüche beide Seiten identisch, gilt die Gleichung für jeden Wert aus der ursprünglichen Definitionsmenge. Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb{L}=D$ — nicht automatisch ganz $\mathbb{R}$.

Typische Fehler

• Definitionsmenge vergessen: Ein verbotener Kandidat wird fälschlich übernommen.
• Nur einzelne Terme multiplizieren: Beim Hauptnenner muss jeder Term auf beiden Seiten berücksichtigt werden.
• Zu früh kürzen: Kürzen ist nur erlaubt, wenn der gekürzte Faktor nicht null ist; seine Nullstelle bleibt ausgeschlossen.
• Kreuzmultiplikation falsch einsetzen: Die Kurzform passt nur, wenn auf jeder Seite genau ein einzelner Bruch steht.
• Nach der Folgegleichung aufhören: Jeder Kandidat muss noch mit $D$ abgeglichen werden.

Du bist fertig, wenn du bei einer neuen Bruchgleichung die fünf Schritte ohne Auslassung anwenden und begründen kannst: Definitionsmenge, Hauptnenner, bruchfreie Folgegleichung, Lösung und Prüfung.