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Bruchterme: Definitionsmenge und Rechenregeln
Bei einem Bruchterm steht eine Variable in mindestens einem Nenner. Du rechnest mit Bruchtermen ähnlich wie mit gewöhnlichen Brüchen. Zuerst musst du jedoch alle Werte ausschließen, bei denen ein Nenner null wird.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Bruchterme erkennen
Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Steht eine Variable in einem Nenner, handelt es sich auf dieser Seite um einen Bruchterm.
Bruchterm
Ein Bruchterm ist ein Bruch, bei dem mindestens ein Nenner eine Variable enthält, zum Beispiel $10/(x-5)$.
Ein Nenner darf niemals null sein. Deshalb gehört zum Bruchterm immer die Frage: Welche Werte darf ich für die Variable einsetzen?
Beim Bruchterm $10/(x-5)$ darf der Nenner nicht null werden.
$x-5=0$ gilt für $x=5$.
Bei der Grundmenge ℚ lautet die Definitionsmenge daher: alle rationalen Zahlen außer 5. Kurz: $D=ℚ, x≠5$.
Die Definitionsmenge bestimmen
Die Definitionsmenge enthält alle Werte aus der Grundmenge, für die der Term definiert ist. Gehe in drei Schritten vor:
- Setze jeden ursprünglichen Nenner gleich null.
- Löse die entstehenden Gleichungen.
- Schließe die gefundenen Werte aus der Grundmenge aus.
Bestimme die Definitionsmenge von $13/(4x^2-16)$ über ℝ.
Der Nenner lässt sich faktorisieren:
$4x^2-16=4(x-2)(x+2)$
Er wird für $x=2$ und $x=-2$ null. Daher gilt: $D=ℝ, x≠-2$ und $x≠2$.
Bestimme die Ausschlusswerte immer am ursprünglichen Term, bevor du kürzt oder andere Umformungen ausführst.
Erweitern und kürzen
Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit demselben Faktor. Ist dieser Faktor für den eingesetzten Wert nicht null, bleibt der Wert des Bruchs gleich.
Erweitere $3/x$ mit $(x-1)$:
$3/x = 3(x-1)/(x(x-1))$
Der Ausgangsterm verlangt $x≠0$. Die ausgeschriebene erweiterte Form besitzt zusätzlich den Faktor $(x-1)$ im Nenner und ist bei $x=1$ nicht definiert. Die beiden Schreibweisen stimmen deshalb für $x≠0$ und $x≠1$ überein.
Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Faktor. Erst durch Faktorisieren erkennst du, was gekürzt werden darf.
Vereinfache
$((x+1)(x+2))/(x(x+1))$.
Der gemeinsame Faktor $(x+1)$ darf gekürzt werden:
$((x+1)(x+2))/(x(x+1)) = (x+2)/x$.
Im ursprünglichen Nenner werden die Faktoren $x$ und $(x+1)$ null. Deshalb bleiben $x=0$ und $x=-1$ ausgeschlossen, obwohl der Faktor $(x+1)$ im Ergebnis nicht mehr sichtbar ist.
Summanden darfst du nicht einzeln streichen. Bei $(x+2)/x$ lässt sich das $x$ nicht kürzen, denn der Zähler ist eine Summe und besitzt nicht insgesamt den Faktor $x$.
Addieren und subtrahieren
Bruchterme lassen sich erst addieren oder subtrahieren, wenn sie denselben Nenner haben. Der kleinste geeignete gemeinsame Nenner heißt Hauptnenner.
Bei gleichen Nennern rechnest du nur mit den Zählern:
$a/n+b/n=(a+b)/n$
$a/n-b/n=(a-b)/n$
Berechne $3/x+5/(x+1)$.
- Die ursprünglichen Nenner liefern $x≠0$ und $x≠-1$.
- Der Hauptnenner ist $x(x+1)$.
- Der erste Bruch wird mit $(x+1)$, der zweite mit $x$ erweitert.
- Danach werden die Zähler zusammengefasst:
$3/x+5/(x+1)$
$=3(x+1)/(x(x+1))+5x/(x(x+1))$
$=(3x+3+5x)/(x(x+1))$
$=(8x+3)/(x(x+1))$
Das Ergebnis gilt weiterhin nur für $x≠0$ und $x≠-1$.
Bei einer Subtraktion wirkt das Minuszeichen auf den gesamten zweiten Zähler:
$3/x-5/(x+1)=(3(x+1)-5x)/(x(x+1))=(3-2x)/(x(x+1))$.
Bei Addition und Subtraktion: erst Definitionsmenge bestimmen, dann Hauptnenner bilden, erweitern, die vollständigen Zähler zusammenfassen und zuletzt vereinfachen.
Multiplizieren und dividieren
Beim Multiplizieren gilt: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.
$8/x · 2/(x+1)=16/(x(x+1))$
Aus den ursprünglichen Nennern folgen die Ausschlusswerte $x=0$ und $x=-1$.
Beim Dividieren multiplizierst du mit dem Kehrwert des zweiten Bruchterms. Dabei musst du zusätzlich alle Werte ausschließen, für die der Divisor selbst null wird.
Berechne
$x/(x-5) : x/(x+1)$.
Aus den ursprünglichen Nennern folgen $x≠5$ und $x≠-1$. Der Divisor $x/(x+1)$ wird bei $x=0$ null, also ist auch $x=0$ ausgeschlossen.
Nun wird mit dem Kehrwert multipliziert:
$x/(x-5) · (x+1)/x = (x+1)/(x-5)$.
Trotz des gekürzten Faktors $x$ lautet die Definitionsmenge über ℚ: alle rationalen Zahlen außer $-1$, $0$ und $5$.
Rechentraining
Nutze für jede Aufgabe dieselbe Reihenfolge: Ausschlusswerte bestimmen, passende Bruchregel wählen, faktorisieren oder erweitern und das Ergebnis vereinfachen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Bruchterme
- Definitionsmenge
- ursprüngliche Nenner prüfen
- Ausschlusswerte festhalten
- Umformen
- faktorisieren
- erweitern und kürzen
- Grundrechenarten
- Hauptnenner bei Plus und Minus
- Kehrwert bei Division
- Ergebniskontrolle
- vereinfachen
- Ausschlusswerte beibehalten
- Definitionsmenge
Abschluss-Check
Du bist sicher vorgegangen, wenn du am Ende nicht nur einen vereinfachten Term, sondern auch alle Ausschlusswerte aus dem ursprünglichen Rechenausdruck angeben kannst.