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Dezimalzahlen dividieren: Regel und Rechenweg
Beim Dividieren von Dezimalzahlen machst du zuerst den Divisor ganzzahlig: Verschiebe das Komma im Dividend und im Divisor gleich viele Stellen nach rechts. Danach dividierst du wie gewohnt. Der Wert des Quotienten bleibt durch diese gemeinsame Veränderung gleich. Der Divisor darf dabei nie $0$ sein, denn durch $0$ kannst du nicht teilen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die drei Begriffe und die Grundregel
In der Aufgabe $11{,}57 : 1{,}3 = 8{,}9$ haben die Zahlen verschiedene Rollen.
Dividend
Der Dividend ist die Zahl, die geteilt wird. Er steht links vom Divisionszeichen. Hier ist das $11{,}57$.
Divisor
Der Divisor ist die Zahl, durch die geteilt wird. Er steht rechts vom Divisionszeichen. Hier ist das $1{,}3$.
Quotient
Der Quotient ist das Ergebnis einer Division. Hier ist das $8{,}9$.
Warum darfst du beide Kommas gleich verschieben? Du multiplizierst Dividend und Divisor mit derselben Zehnerpotenz. Zum Beispiel bedeutet eine Stelle nach rechts: beide Zahlen mal $10$. Dadurch ändert sich das Verhältnis der Zahlen nicht.
Hat der Divisor ein Komma, mache ihn ganz: Verschiebe die Kommas in beiden Zahlen gleich weit nach rechts.
So machst du den Divisor ganzzahlig
Gehe in drei Schritten vor:
- Zähle die Nachkommastellen des Divisors.
- Verschiebe das Komma in beiden Zahlen genau so viele Stellen nach rechts.
- Ergänze im Dividend bei Bedarf Nullen.
Berechne $11{,}57 : 1{,}3$.
Der Divisor $1{,}3$ hat eine Nachkommastelle. Deshalb verschiebst du beide Kommas um eine Stelle nach rechts:
$$11{,}57 : 1{,}3 = 115{,}7 : 13$$
Nun ist der Divisor $13$ ganzzahlig. Die umgeformte Aufgabe ergibt $8{,}9$.
$$115{,}7 : 13 = 8{,}9$$
Also gilt auch:
$$11{,}57 : 1{,}3 = 8{,}9$$
Wenn im Dividend Stellen fehlen, darfst du Nullen anhängen. Bei $0{,}1 : 0{,}23$ muss das Komma um zwei Stellen wandern. Schreibe deshalb $0{,}10$:
$$0{,}1 : 0{,}23 = 10 : 23$$
So führst du die schriftliche Division aus
Ist der Divisor ganzzahlig, rechnest du wie bei ganzen Zahlen:
- Teile die erste passende Ziffer oder Teilzahl des Dividenden durch den Divisor.
- Multipliziere das Teilergebnis mit dem Divisor.
- Subtrahiere und bestimme den Rest.
- Hole die nächste Ziffer herunter.
- Erreichst du das Komma im Dividend, setzt du an dieser Stelle das Komma im Quotienten.
- Reicht der Dividend noch nicht aus, hängst du rechts Nullen an und rechnest weiter.
Berechne $1{,}21 : 0{,}4$.
Zuerst machst du den Divisor ganzzahlig:
$$1{,}21 : 0{,}4 = 12{,}1 : 4$$
Nun teilst du $12{,}1$ durch $4$. Aus $12 : 4$ entstehen zunächst $3$ Ganze. Beim Weiterrechnen über das Komma setzt du auch im Quotienten ein Komma. Durch angehängte Nullen kannst du die Division fortsetzen:
$$12{,}1 : 4 = 3{,}025$$
Damit ist $1{,}21 : 0{,}4 = 3{,}025$.
Bei der Division zählt man die Nachkommastellen nicht nachträglich wie bei der Multiplikation. Nach dem Ganzzahligmachen des Divisors übernimmt man das Komma aus dem umgeformten Dividend an der passenden Stelle in den Quotienten.
Sonderfälle erkennen und Ergebnisse prüfen
Division durch 10, 100 oder 1000
Hier kannst du direkt vorgehen: Bei der Division durch $10$, $100$, $1000$ und so weiter wandert das Komma im Dividend nach links. Die Anzahl der Nullen bestimmt die Anzahl der Stellen.
$$45{,}6 : 10 = 4{,}56$$
$$128{,}45 : 100 = 1{,}2845$$
$$920 : 1000 = 0{,}92$$
Fehlende Stellen füllst du links mit Nullen auf.
Divisor ist schon ganzzahlig
Bei $12{,}6 : 3$ musst du die Ausgangsaufgabe nicht gemeinsam verschieben. Du kannst direkt dividieren:
$$12{,}6 : 3 = 4{,}2$$
Überschlag und Gegenprobe
Ein Überschlag liefert einen nahen, leicht berechenbaren Vergleichswert. Für $11{,}57 : 1{,}3$ kannst du ungefähr $12 : 1{,}2 = 10$ rechnen. Das genaue Ergebnis $8{,}9$ liegt in der Nähe und ist daher plausibel.
Mit der Gegenprobe prüfst du genauer:
$$8{,}9 \cdot 1{,}3 = 11{,}57$$
Teilst du durch eine positive Zahl kleiner als $1$, wird das Ergebnis größer als der Dividend. Deshalb ist $10 : 0{,}5 = 20$ sinnvoll.
Jetzt übst du selbst
Rechne zuerst ohne Antwortmöglichkeiten. Forme jede Aufgabe so um, dass der Divisor ganzzahlig ist.
- $3{,}78 : 0{,}4$
- $0{,}0063 : 0{,}03$
- $12{,}88 : 0{,}8$
Lösungen mit Rechenweg
- Eine Stelle nach rechts: $3{,}78 : 0{,}4 = 37{,}8 : 4 = 9{,}45$.
- Zwei Stellen nach rechts: $0{,}0063 : 0{,}03 = 0{,}63 : 3 = 0{,}21$.
- Eine Stelle nach rechts: $12{,}88 : 0{,}8 = 128{,}8 : 8 = 16{,}1$.
Prüfe jeweils: Multiplizierst du den Quotienten mit dem ursprünglichen Divisor, erhältst du wieder den Dividend.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Dezimalzahlen dividieren
- Begriffe: Dividend, Divisor, Quotient
- Umformen: Divisor ganzzahlig machen
- Rechnen: schriftlich teilen und Komma übernehmen
- Sonderfall: durch Zehnerpotenzen teilen
- Prüfen: Überschlag und Gegenprobe